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1、第二章綜合測試
(時間：120分鐘 滿分150分)
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分，每小題有4個選項，其中有且僅有一個是正確的，把正確的選項填在答題卡中）
1.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c=,b=,B=120°，則a等于 ( )
A. B.2
C. D.
［答案］ D
［解析］ 在△ABC中，由正弦定理，得sinC==,
又∵B=120°，
∴C為銳角，
∴C=30°，
∴A＝30°，
∴a=c=.
2.在△ABC中，角A、B、C所
2、對的邊分別為a,b,c，且A>B，則一定有（ ?。?
A.cosA>cosB B.sinA>sinB
C.tanA>tanB D.sinAB,∴a>b,
由正弦定理，得sinA>sinB,故選B.
3.（2020·遼寧理，4）△ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，asinAsinB+bcos2A=a,則 ( )
A.2 B.2
C. D.
［答案］ D
［解析］ 本小題考查內容為正弦定理的應用.
∵a
3、sinAsinB+bcos2A=a,
∴sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,
sinB=sinA,∴b=a,
∴=.
4.在△ABC中，∠A=60°,a=,b=4.滿足條件的△ABC（ ?。?
A.無解 B.有一解
C.有兩解 D.不能確定
［答案］ A
［解析］ 4×sin60°=2=,
∵<,
即a
4、D.不確定
［答案］ C
［解析］ 由余弦定理可知原式＝（a2+c2-b2）-ac=2accosB-ac=2ac×－ac=0.
6.（2020·沈陽高二檢測）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,則△ABC的形狀一定是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
［答案］ A
［解析］ 結合正、余弦定理，由
2cosBsinA=sinC得
2·a=c,即有a=b,
∴△ABC是等腰三角形.
7.（2020·洛陽高二檢測）△ABC中，sinA=,sinB=,則=（ ）
5、A. B.
C. D.1
［答案］ C
［解析］ 由正弦定理知==,故選C．
8.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,則A= ( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
［答案］ A
［解析］ 由sinC=2sinB及正弦定理，得c=2b,
∴a2-b2=bc=6b2,即a2=7b2.
由余弦定理，cosA==
=,
又∵0°
6、C中，A=45°，b=4,c=，那么cosB=（ ?。┆?
A. B.-
C. D.-
［答案］ D
［解析］ ∵BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA
=16+2-8cos45°=10.
∴BC=,cosB=.
10.在△ABC中，若||=2，||=5，·=-5，則S△ABC=（
A. B.
C. D.5
［答案］ A
［解析］ ∵·=||·||cosA=10cosA=-5,
∴cosA=-,∴si
7、nA=,
∴S△ABC=||·||·sinA=.
11. 在銳角三角形ABC中，b=1,c=2,則a的取值范圍是 ( )
A.10且b2+c2-a２>0,
∴1+a2-4>0
1+4-a2>0.
∴3
8、osA等于 ( )
A. B.
C. D.0
［答案］ C
［解析］ 在△ABC中，設∠ACD=∠BCD=β,∠CAB=α,由∠A：∠B=1：2,得∠ABC=2α.
∵∠A<∠B,
∴AC>BC,
∴S△ACD>S△BCD,
∴S△ACD：S△BCD=3：2,
∴=,
∴.
由正弦定理得
,
∴cosα=,
即cosA=.
故選C.
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4個小題，每空4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上）
13.(202
9、0·新課標文，15)△ABC中 ,B=120°,AC=7,AB=5,則△ABC的面積為 .
［答案］
［解析］ 本題考查三角形面積公式、余弦定理等，先利用余弦定理求BC邊，再利用公式S＝|AB||BC|sinB求面積.
由余弦定理知72=52+BC2+5BC,
即BC2+5BC-24=0.
解之得BC=3.
所以S=×5×3×sin120°=.
14.（2020·宣城高二檢測）在△ABC中，若a2+b2
10、inC=,∴∠C=.
15.（2020·合肥高二檢測）在△ABC中，已知bcosA=acosB,則△ABC的形狀是 .
［答案］ 等腰三角形
［解析］ 由正弦定理，得
sinBcosA=cosBsinA.
即sin(A-B)=0.又A、B為三角形內角，
∴∠A-∠B=0,即∠A=∠B,
∴a=b,即△ABC為等腰三角形.
16.某人在C點測得塔AB在南偏西80°，仰角為45°，沿南偏東40°方向前進10米到O，測得塔A仰角為30°，則塔高為 .
【答案】 10米
【解析】 畫出示意圖，如圖所示，
CO=10，∠OCD=40°，
∠BCD=8
11、0°，∠ACB=45°，∠AOB＝30°，AB⊥平面BCO，
令AB=x,則BC=x,BO=x，
在△BCO中，由余弦定理，得
（x）2=x2+100-2x×10×cos(80°+40°)，
整理得x2-5x-50=0,
解得x=10,x=-5（舍去），
故塔高為10米.
三、解答題（本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分12分）（2020·江蘇，15）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a,b,c.（1）若sin(A+)=2cosA,求A的值；
（2）若cosA=，b=3c,求sinC的值.
［解析］?。?）由題設
12、知sinAcos+cosAsin=2cosA.從而sinA=cosA,所以cosA≠0,tanA=.因為0
13、2-2bccosA
=(c-b) 2+2bc(1-cosA)
=1+2×156×（１－）=25.
又a>0,∴a=5.
19.（本小題滿分12分）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，A=60°,B0,故m=2適合題意.
14、
b+c=2
(2)由 bc=2
b
15、∠A＞∠B＞∠C,
∴c-b=0舍掉，
∴a2-c2-bc=0即a2+4c-c2=0.
結合a+c=8列方程組得
a2+4c-c2=0
a+c=8,
解得
a=
c=.
21.（本小題滿分12分）（2020·山東理，17）在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知.
（1）求的值；
（2）若cosB=，b=2,求△ABC的面積S.
［分析］ 本題主要考查正弦、余弦定理，三角形面積公式以及三角的恒等變形，在（1）問中，首先利用正弦定理把條件等式右邊的邊的關系，轉化為角的關系，再利用恒等性變形即可求得的值.（注意A+B+C=π的應用）.在（2）問中，
16、首先由（1）問中的＝2，轉化邊的關系，即c=2a，再利用余弦定理及題設條件求a，然后求的三角形面積.
［解析］?。?）由正弦定理，設＝＝＝k
則,
所以,
即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB,
化簡可得sin(A+B)=2sin(B+C).
又A+B+C=π,
所以sinC=2sinA.
因此.
(2)由得c=2a.
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及cosB=,b=2.
得4＝a2+4a2-4a2×.
解得a=1.
從而c=2,
又因為cosB=,且0
17、acsinB=×1×2×＝.
22.（本小題滿分14分）如圖，已知扇形AOB，O為頂點，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA相交于點C，設∠AOP=θ,求
△POC面積的最大值及此時θ的值.
［解析］ ∵CP∥OB,
∴∠CPO=∠POB=60°-θ,∠OCP=120°.
在△OCP中，由正弦定理，得
,即,
∴CP=sinθ.
又,
∴OC=sin(60°-θ).
故△POC的面積是S(θ)= CP·CO·sin120°
=·sinθ·sin(60°-θ)·＝·sinθsin(60°-θ)
＝·sinθ（cosθ-sinθ）=［cos(2θ-60°)- ，θ∈(0°,60°)，
∴當θ＝30°時，S(θ)取得最大值為.
2020高二數學 第2章綜合測試 北師大版必修5
