2020高二數(shù)學(xué) 第3章綜合測(cè)試 北師大版必修5

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1、第三章綜合測(cè)試 （時(shí)間：120分鐘　滿分：150分） 第Ⅰ卷（選擇題　共60分） 一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的，把正確的選項(xiàng)填在答題卡中） 1.已知a>b,c>d,n≥2，n∈N,那么下列一定正確的是（　?。? A. B.ac>bd C.an>bn D.a+c>b+d ［答案］　D ［解析］　A中，令a=2,b=1,c=1,d=-1, 則=-2, =1, <,排除A； B中，令a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,則ab=2,cd=12,ab

2、-2,n=2,a2=1,b2=4,a2n C.m

3、　不等式化為：（x+a）(x-5a)＞0,相應(yīng)方程的兩根x1=-a,x2=5a. ∵a＜0，∴x1＞x2.∴不等式的解為x＜5a或x＞-a. 4.（2020·廣東文，5）不等式2x2-x-1>0的解集是（　　） A.(-,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-)∪(1,+∞) ［解答］　D ［解析］　本題主要考查一元二次不等式的解法，利用分解因式. 2x2-x-1=(2x+1)(x-1)>0，所以不等式的解集為（-∞,-）∪(1,+∞). 5.如果函數(shù)y=ax2+bx+a的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則點(diǎn)（a,b）在aOb平面上的區(qū)域（不含

4、邊界）為（　　） ［答案］　C ［解析］　由題意知Δ=b2-4a2>0， ∴(b-2a)(b+2a)>0， b-2a>0 b-2a<0 ∴ 或 ，畫圖知選C. b+2a>0 b+2a<0 6.(2020·重慶理，7)已知a＞0，b＞0，a+b=2，則y=+的最小值是（　　） A. B.4 C. D.5 ［答案］　C ［解析］　本題主要考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用. ∵a+b=2,∴+=1,∴y=+=(+)(+)=++, ∵a>0,b>0,∴+≥2=2,當(dāng)且僅

5、當(dāng)=,且a+b=2, 即a=,b=時(shí)取得等號(hào)， ∴y的最小值是，選C. 7.設(shè)a>1>b>-1,則下列不等式中恒成立的是（　?。? A. < B. > C.a>b2 D.a2>2b ［答案］　C ［解析］　因?yàn)閍>1,b2<1,所以a>b2.故選C. 8.若不等式（a-2）x2+2(a-2)x-4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則a的取值范圍是（　?。? A.(-∞,2］ B.(-2,2) C.(-2,2］ D.(-∞,-2) ［答案］　C ［解析］　當(dāng)a-2=0,即a=2時(shí)，原不等式化為-4<0對(duì)一切x∈R恒成立. 當(dāng)a-2≠0，即a≠2時(shí)

6、，由題意，得 a-2<0 ，解得-2

7、8,當(dāng)且僅當(dāng)0.8x=,即x=5時(shí)等號(hào)成立. x+y≥2, 10.（2020·福建理，8）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(-1,1),若點(diǎn)M(x,y)為平面區(qū)域 x≤1, y≤2 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是（　　） A.［-1,0］ 　B.［0,1］ 　C.［0,2］ 　D.［-1,2］ ［答案］　C ［解析］　本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算與線性規(guī)劃知識(shí). =(-1,1)·(x,y)=y-x,畫出線性約束條件 x+y≥2

8、x≤1表示的平面區(qū)域如圖所示. y≤2 可以看出當(dāng)z=y-x過點(diǎn)A(1,1)時(shí)有最小值0，過點(diǎn)C(0,2) 時(shí)有最大值2，則的取值范圍是［0,2］,故選 C. 11.（2020·長(zhǎng)沙模擬）已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+5=0,那么的最小值為（　?。? A. B. C.2 D.2 ［答案］　A ［解析］　∵y=5-2x,∴=== ∴當(dāng)x=2時(shí)，的最小值為. 12.若直線y=kx+1與圓x2+y2+kx+my-4=0交于M、N兩點(diǎn)，且M、N關(guān)于直線 x-y=0對(duì)稱， kx-y+2≥0 動(dòng)點(diǎn)P（a,b）在不等

9、式組 kx-my≤0 ，表示的平面區(qū)域內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，則ω= y≥0 的取值范圍是（　?。? A.［2,+∞） B.(-∞,-2］ C.［-2,2］ D.（-∞,-2］∪［2,+∞） ［答案］　D ［解析］　由題意分析直線y=kx+1與直線x-y=0垂直，所以k=-1,即直線y=-x+1. 又圓心C(-)在直線x-y=0上，可求得m=-1. -x-y+2≥0 則不等式組為 -x+y≤0 ，所表示的平面區(qū)域如圖，ω=的幾何意義是點(diǎn)Q(1,2) y≥0 與平面區(qū)域上點(diǎn)P(a,b)連線斜率的取值范圍. kOQ=2,kAQ=-

10、2, 故ω的取值范圍為（-∞,-2］∪［2,+∞). 第Ⅱ卷（非選擇題　共90分） 二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每空4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上） 13.點(diǎn)（-2,t）在直線2x-3y+6=0的左上方，則t的取值范圍是 . ［答案］　 (,+∞) ［解析］　當(dāng)x=-2時(shí)，2×(-2)-3y+6=0, ∴y=,∴t>. 14.不等式2x2+2x-4≤的解集為 . ［答案］　［-3，1］ ［解析］　不等式2x2+2x-4≤化為2x2+2x-4≤2-1， ∴x2+2x-4≤-1,∴x2+2x-3≤0, ∴-3≤x≤1, ∴原不等式的解集為

11、［-3，1］. y≤x 15.已知z=2x-y，式中變量x，y滿足約束條件 x+y≥1，則z的最大值為 . x≤2 ［答案］　5 y≤x ［解析］　由 x+y≥1，作出可行域如圖.  x≤2 由圖可知，目標(biāo)函數(shù)z=2x-y在點(diǎn)A（2，-1）處取最大值z(mì)=2×2+1=5. 16.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是 . ［答案］　 ［解析］　由x2+y2+xy=1得1=(x+y) 2-xy

12、 ∴(x+y) 2=1+xy≤1+ ()2,解得 －≤x+y≤, ∴x+y的最大值為. 三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） ≤1 17.（本小題滿分12分）解不等式組 . 2x2-x-1>0 ［解析］　≤1≤0x∈［-2,6）, 2x2-x-1>0(2x+1)(x-1)>0 x∈ (-∞,-)∪(1+∞), 所以，原不等式組的解集為x∈［-2,- ）∪(1,6). 18.（本小題滿分12分）已知關(guān)于x的不等式（a2-4）x2+(a+

13、2)x-1≥0的解集是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. ［解析］　當(dāng)a2-4=0,即a=±2. 若a=2時(shí)，原不等式化為4x-1≥0，∴x≥. 此時(shí)，原不等式的解集不是空集. 若a=-2時(shí)，原不等式化為-1≥0，無解. 此時(shí)，原不等式的解集為空集. 當(dāng)a2-4≠0時(shí)，由題意，得 a2-4<0 Δ=(a+2) 2-4(a2-4)×（-1）<0 ∴-2

14、()2=6. 3x=2y, x=2 當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取“＝”號(hào). 3x+2y=12, y=3 所以當(dāng)x=2,y＝3時(shí)，xy取得最大值6. （2）+ () = (3++)≥ (3+2) =1+. = x=-3+3 當(dāng)且僅當(dāng) ,即 時(shí)，取“=”號(hào). x+2y=3 y=3- 所以，當(dāng)x=-3+3,y=3-時(shí)，取得最小值1+. 20.（本小題滿分12分）制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈

15、利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100％和50％，可能的最大虧損率分別為30％和10％，投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？ ［解析］　設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目， x+y≤10 由題意知 0.3x+0.1y≤1.8，目標(biāo)函數(shù)z=x+0.5y. x≥0 y≥0 上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可 行域. 作直線l0:x+0.5y=0,并作

16、平行于直線l0的一組直線，x+0.5y=z,z∈R. 與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點(diǎn)，且與直線x+0.5y=0的距離最大，這里M點(diǎn)是直線x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交點(diǎn).解方程組 x+y=10 x=4 得 . 0.3x+0.1y=1.8 y=6 此時(shí)z=1×4+0.5×6＝7（萬元）. x=4 ∴當(dāng) ，時(shí)z取得最大值. y=6 答：投資人用4萬元投資甲項(xiàng)目、6萬元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能盈利最大. 21.（本小題滿分12分）已

17、知函數(shù)f(x)= (a、b為常數(shù))，且方程f(x)-x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=3,x2=4. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設(shè)k>1，解關(guān)于x的不等式f(x)<. ［解析］　(1)將x1=3,x2=4分別代入方程-x+12=0,得 a=-1 ，解得 . b=2 ∴f(x)= (x≠2). (2)原不等式即為,可化為<0. 即（x-2）(x-1)(x-k)>0. ①當(dāng)12;  ②當(dāng)k=2時(shí)，x>1且x≠2; ③當(dāng)k>2時(shí)，1k. 綜上所述，當(dāng)1

18、<2時(shí)，原不等式的解集為｛x|12｝; 當(dāng)k=2時(shí)，原不等式的解集為｛x|x>1且x≠2｝; 當(dāng)k>2時(shí)，原不等式的解集為｛x|1k｝. 22.（本小題滿分14分）(2020·揭陽高二檢測(cè))國(guó)際上鉆石的重量計(jì)量單位為克拉.已知某種鉆石的價(jià)值（美元）與其重量（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該鉆石的價(jià)值為54000美元. （1）寫出鉆石的價(jià)值y關(guān)于鉆石重量x的函數(shù)關(guān)系式； （2）把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為m克拉和n克拉，試證明：當(dāng)m=n時(shí)，價(jià)值損失的百分率最大. (注：價(jià)值損失的百分率＝×100％；在切割過程中的重量損耗忽略不計(jì) ［解析］?。?）由題意可設(shè)價(jià)值與重量的關(guān)系式為：y=kx2, ∵3克拉的價(jià)值是54000美元， ∴54000＝k·32,解得：k=6000, ∴y=6000x2, 答：此鉆石的價(jià)值與重量的函數(shù)關(guān)系式為y=6000x2. (2)若兩顆鉆石的重量為m、n克拉，則原有價(jià)值是6000(m+n) 2, 現(xiàn)有價(jià)值是6000m2+6000n2, 價(jià)值損失的百分率＝×100％＝×100％ ≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào). 答：當(dāng)m=n時(shí)，價(jià)值損失的百分率最大.