山東省鄆城縣實驗中學(xué)2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 離散型隨機變量的均值與方差學(xué)案 新人教A版選修2-3

《山東省鄆城縣實驗中學(xué)2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 離散型隨機變量的均值與方差學(xué)案 新人教A版選修2-3》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《山東省鄆城縣實驗中學(xué)2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 離散型隨機變量的均值與方差學(xué)案 新人教A版選修2-3（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、離散型隨機變量的均值與方差 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題． 自主梳理 1．離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 稱E(X)＝____________________________________為隨機變量X的均值或___________，它反映了離散型隨機變量取值的____________． (2)方差 稱D(X)＝_____________

2、_____________為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的______________，其________________________為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差． 2．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝____________. (2)D(aX＋b)＝____________.(a，b為實數(shù)) 3．兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布，則E(X)＝____，D(X)＝_____________________________. (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝______，D(X)＝____________. 自我檢測 1．若

3、隨機變量X的分布列如下表，則E(X)等于(　　) X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A. B. C. D. 2．(2020·菏澤調(diào)研)已知隨機變量X服從二項分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，則二項分布的參數(shù)n，p的值為(　　) A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4 C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1 3．(2020·全國)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為

4、(　　) A．100 B．200 C．300 D．400 4．(2020·浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的，記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)．若P(X＝0)＝，則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________. 5．(2020·杭州月考)隨機變量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列．若E(ξ)＝，則D(ξ)＝________. 探究點一　離散型隨機變量的期望與方差

5、例1　袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號． (1)求ξ的分布列、期望和方差； (2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值． 變式遷移1　編號1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的個數(shù)是X. (1)求隨機變量X的分布列； (2)求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差． 探究點二　二項分布的期望與方差 例2　(2020·黃山模擬)A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對

6、比試驗．每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效．若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組．設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為. (1)求一個試驗組為甲類組的概率； (2)觀察3個試驗組，用ξ表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 變式遷移2　某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2 min. (1)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率； (

7、2)求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間ξ的分布列及期望． 探究點三　離散型隨機變量期望與方差的應(yīng)用 例3　購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費a元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10 000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為1－. (1)求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p； (2)設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(

8、單位：元)． 變式遷移3　因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果樹的方案，每種方案都需分兩年實施．若實施方案一，預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5.若實施方案二，預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量達到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6.實施每種方案第一年與第二年相互獨立，令ξi(

9、i＝1,2)表示方案i實施兩年后柑桔產(chǎn)量達到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)． (1)寫出ξ1、ξ2的分布列； (2)實施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？ (3)不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產(chǎn)量達不到、恰好達到、超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計利潤分別為10萬元、15萬元、20萬元．問實施哪種方案的平均利潤更大？ 1．若η＝aξ＋b，則E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)． 2．若ξ～B(n，p)，則E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)． 3．求離散型隨機變量的期望與方差的常用方法有：(1)已知隨機變量的分布列求它的期望、方差

10、和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機變量ξ的期望、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用ξ的期望、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機變量，是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的期望、方差公式求解． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2020·福州質(zhì)檢)已知某一隨機變量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，則a的值為(　　) ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B．6 C．7 D．8 2．設(shè)ξ～B(n，p)，若有E(ξ)＝12，D(ξ)＝4，

11、則n、p的值分別為(　　) A．18， B．16， C．20， D．15， 3．隨機變量X的分布列為 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 則E(5X＋4)等于(　　) A．15 B．11 C．2.2 D．2.3 4．設(shè)擲1枚骰子的點數(shù)為ξ，則(　　) A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52 B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5 D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ 5．(2020·成都調(diào)研)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a、b、c∈{

12、－3，－2，－1,0,1,2,3}，在這些拋物線中，記隨機變量ξ為“|a－b|的取值”，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)為(　　) A. B. C. D. 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2020·上海)馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(ξ＝x) ？ ！ ？ 請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝____________. 7．(2020·泰安模擬)設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為1,2,3,4.P(X

13、＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又X的均值E(X)＝3，則a＋b＝________. 8．兩封信隨機投入A、B、C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________. 三、解答題(共38分) 9．(12分)(2020·江西)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進行一次測試，以便確定工資級別．公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對，則月工資定為3 500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2 800元；否則月工資定為2 100元．令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)．

14、假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力． (1)求X的分布列； (2)求此員工月工資的期望． 10．(12分)(2020·山東)紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5，0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立． (1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率； (2)用ξ表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 11．(14分)現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.

15、18萬元、1.17萬元的概率分別為、、；已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價格下降的概率都是p(0

16、 1．(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn　數(shù)學(xué)期望　平均水平　(2) (xi－E(X))2pi　平均偏離程度　算術(shù)平方根　2.(1)aE(X)＋b　(2)a2D(X) 3．(1)p　p(1－p)　(2)np　np(1－p) 自我檢測 1．C　2.B　3.B 4. 解析　由題意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝. 隨機變量X的分布列為： X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 5. 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　要求期望，需先求出分布列，要求分布列，需先求隨機變量取每個值的概率，而求概率離不開常見事件概率的

17、計算方法．第(2)小題注意性質(zhì)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)的應(yīng)用． 解　(1)ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(η)＝aE(ξ)＋b， 所以當(dāng)a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 當(dāng)a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ∴或 變式遷移1　解

18、　(1)P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝；P(X＝3)＝＝. ∴隨機變量X的分布列為 X 0 1 3 P (2)E(X)＝0×＋1×＋3×＝1. D(X)＝(1－0)2×＋(1－1)2×＋(3－1)2×＝1. 例2　解題導(dǎo)引　(1)準(zhǔn)確理解事件“甲類組”的含義，把“甲類組”這一復(fù)雜事件用幾個互斥的基本事件的和來表示； (2)第(2)小題首先判斷隨機變量ξ服從二項分布，再求其分布列和均值． 解　(1)設(shè)Ai表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2， Bi表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2. 依題

19、意有 P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝. P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝. 所求的概率為 P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2) ＝×＋×＋×＝. (2)ξ的可能值為0,1,2,3，且ξ～B. P(ξ＝0)＝3＝， P(ξ＝1)＝C××2＝， P(ξ＝2)＝C×2×＝， P(ξ＝3)＝3＝. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 變式遷移2　解　(1)設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件A.因為事件A等價于事件“這名學(xué)生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在

20、第三個路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為 P(A)＝××＝. (2)由題意可得，ξ的可能取值為0,2,4,6,8(單位：min)．事件“ξ＝2k”等價于事件“該學(xué)生在上學(xué)路上遇到k次紅燈”(k＝0,1,2,3,4)，所以P(ξ＝2k)＝Ck4－k (k＝0,1,2,3,4)． 即ξ的分布列是 ξ 0 2 4 6 8 P 所以ξ的期望是 E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝. 例3　解題導(dǎo)引　各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是p，投保人中出險人數(shù)ξ～B(104，p)，進而利用二項分布的有關(guān)性質(zhì)求解． 解　各投保人是否出險互相獨立，且出險

21、的概率都是p，記投保的10 000人中出險的人數(shù)為ξ，則ξ～B(104，p)． (1)記A表示事件：保險公司為該險種至少支付10 000元賠償金，則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)ξ＝0， P(A)＝1－P()＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104， 又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001. (2)該險種總收入為10 000a元，支出是賠償金總額與成本的和．支出10 000ξ＋50 000. 盈利η＝10 000a－(10 000ξ＋50 000)， 盈利的期望為E(η)＝10 000a－10 000E(ξ)－50 000， 由ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝10 000×10

22、－3， E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104 ＝104a－104×104×10－3－5×104. E(η)≥0?104a－104×10－5×104≥0 ?a－10－5≥0?a≥15(元)． 故每位投保人應(yīng)交納的最低保費為15元． 變式遷移3　解　(1)ξ1的所有取值為0.8、0.9、1.0、1.125、1.25， ξ2的所有取值為0.8、0.96、1.0、1.2、1.44. ξ1、ξ2的分布列分別為： ξ1 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 ξ2 0.8 0.96 1.

23、0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 (2)令A(yù)、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件， P(A)＝0.15＋0.15＝0.3， P(B)＝0.24＋0.08＝0.32. 可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大． (3)令η表示方案i的預(yù)計利潤，則 η1 10 15 20 P 0.35 0.35 0.3 η2 10 15 20 P 0.5 0.18 0.32 所以E(η1)＝14.75，E(η2)＝14.1， 可見，方案一的預(yù)計利潤更大． 課后練習(xí)區(qū) 1．C　

24、[由分布列性質(zhì)知：0.5＋0.1＋b＝1， ∴b＝0.4. ∴E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3. ∴a＝7.] 2．A　[E(ξ)＝np＝12，D(ξ)＝np(1－p)＝4. ∴1－p＝＝，∴p＝，∴n＝18.] 3．A　[∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2， ∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15.] 4．B　[E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5， D(ξ)＝[(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋(3－3.5)2＋(4－3.5)2＋(5－3.5)2＋(6－3.5)2]＝.] 5．A　[對稱軸在y軸的左側(cè)(

25、a與b同號)的拋物線有2CCC＝126條，ξ的可取值有0、1、2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.] 6．2 解析　設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為1－2x，則 E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2. 7. 解析　離散型隨機變量X的可能取值為1,2,3,4. P(X＝k)＝ak＋b (k＝1,2,3,4)，所以 (a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1， 又X的均值E(X)＝3，則(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a

26、＋10b＝3，∴a＝，b＝0， ∴a＋b＝. 8. 解析　由題意知X～B，∴E(X)＝2×＝. 9．解　(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4.(2分) P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)．(4分) 即 X 0 1 2 3 4 P (6分) (2)令Y表示此員工的月工資，則Y的所有可能取值為2 100，2 800,3 500.(8分) 則P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝， P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝， P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝. E(Y)＝3 500×＋2 800×＋2 100×＝2 280.(10分

27、) 所以此員工月工資的期望為2 280元．(12分) 10．解　(1)設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則，，分別表示甲不勝A，乙不勝B，丙不勝C的事件． 因為P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5， 由對立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5， P()＝0.5.(2分) 紅隊至少兩人獲勝的事件有：DE，DF，EF，DEF. 由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，(4分) 因此紅隊至少兩人獲勝的概率為 P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF) ＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.

28、5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(6分) (2)由題意知ξ可能的取值為0,1,2,3.(8分) 又由(1)知F，E，D是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，(9分) 因此P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1， P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋P(D ) ＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5 ＝0.35， P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由對立事件的概率公式得 P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.(11分) 所以ξ的分布列為： ξ

29、0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.(12分) 11．解　(1)ξ1的概率分布為 ξ1 1.2 1.18 1.17 P E(ξ1)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18. (3分) 由題設(shè)得ξ～B(2，p)，即ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 P (1－p)2 2p(1－p) p2 (5分) 故ξ2的概率分布為 ξ2 1.3 1.25 0.2 P (1－p)2 2p(1－p) p2 所以ξ2的數(shù)學(xué)期望是E(ξ2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3.(8分) (2)由E(ξ1)1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0， 解得－0.4