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1、江西省九江實驗中學高中數(shù)學 第二章 平面向量教案 新人教A版必修4
一、向量及向量的基本運算
1）向量的有關概念
①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：。向量的大小即向量的模（長度），記作||。
2）向量加法
①求兩個向量和的運算叫做向量的加法。設，則+==。向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”。 說明：（1）； （2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；
3)向量的減法
① 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作,零向量的相反向量仍是零向量。
關于相反向量有： （i）
2、=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。
②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：。求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。
的作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）。
注：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。
（2） 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點。
4)實數(shù)與向量的積
①實數(shù)λ與向量
3、的積是一個向量，記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，λ的方向與的方向相同；當時，λ的方向與的方向相反；當時，，方向是任意的。
②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。
5)兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=。
6)平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。
7)特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運算。（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件。（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），
4、而向量平行則包括共線（重合）的情況。（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關。
二、平面向量的坐標運算
1、 平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底。由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標。
注：(1)相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量。(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關。
2、 平面向量的坐標
5、運算
(1) 若，則
(2) 若，則
(3) 若=(x,y)，則=(x, y)
(4) 若，則
(5) 若，則，若，則
三、平面向量的數(shù)量積
（1） 平面向量的數(shù)量積的定義
① 向量，的夾角：已知兩個非零向量，過O點作，則∠AOB=θ（00≤θ≤1800）叫做向量，的夾角。當且僅當兩個非零向量同方向時，θ=00，當且僅當反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。
② 垂直；如果的夾角為900則稱垂直，記作。
③ 的數(shù)量積：兩個非零向量，它們的夾角為θ，則叫做稱的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，
規(guī)定=0 非零
6、向量 當且僅當時，θ=900，這時=0。
④在方向上的投影：（注意是射影）所以，的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。
（2） 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
設是兩個非零向量，是單位向量，于是有：①；②；
③當同向時，；當反向時，，特別地，。
④；⑤
(3)平面向量數(shù)量積的運算律
①交換律成立： ②對實數(shù)的結(jié)合律成立：
③分配律成立：
特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0
四、線段的定比分點與平移
1、 線段的定比分點
（1）定義：設P1,P2是直線L上的兩點，點P是L上不同于P1,P2的任意一點，則存在一
7、個實數(shù)，使，
叫做點P分有向線段所成的比。當點P在線段上時，；當點P在線段或的延長線上時，<0
（2）定比分點的坐標形式
,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)，向量形式呢？
（3）中點坐標公式
當=1時，分點P為線段的中點，即有，向量形式呢？
2、平移
（1）圖形平移的定義：設F是坐標平面內(nèi)的一個圖形，將圖上的所有點按照同一方向移動同樣長度，得到圖形F’，我們把這一過程叫做圖形的平移。
（2）平移公式設P(x,y)是圖形F上任意一點，它在平移后圖形上的對應點P’(x’,y’’)，且的坐標為(h,k)，則有，這個公式叫做點的平移公式，它反映了圖
8、形中的每一點在平移后的新坐標與原坐標間的關系。
五、解三角形及應用舉例
1、角的變換：在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC．
2、 三角形邊、角關系定理——正弦定理，余弦定理．
（1）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即==.
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題.①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進一步求出其他的邊和角）
（2）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的
9、兩倍，即
a2=b2+c2－2bccosA； b2=c2+a2－2cacosB； c2=a2+b2－2abcosC.
在余弦定理中，令C=90°，這時cosC=0，所以c2=a2+b2.
由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得cosA=； cosB=； cosC=.
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：①已知三邊，求三個角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.
3、三角形的面積公式：
（1）S△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）．（2）S△＝absinC＝bcsinA＝acsinB．
（3）S△＝＝＝．（4）S△＝2R2sinAsinBsinC． （R為外接圓半徑）
（5）S△＝．（6）S△＝（7）S△＝r·s．
江西省九江實驗中學高中數(shù)學 第二章 平面向量教案 新人教A版必修4
