浙江省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習 專題四 數(shù)列第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 文

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1、專題四數(shù)列第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列真題試做1(2020遼寧高考，文4)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則a2a10()A12 B16C20 D242(2020安徽高考，文5)公比為2的等比數(shù)列an的各項都是正數(shù)，且a3a1116，則a5()A1 B2C4 D83(2020北京高考，文6)已知an為等比數(shù)列下面結(jié)論中正確的是()Aa1a32a2Baa2aC若a1a3，則a1a2D若a3a1，則a4a24(2020遼寧高考，文14)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列若a10，且2(anan2)5an1，則數(shù)列an的公比q_.5(2020陜西高考，文16)已知等比數(shù)列an的公比q.(1)若a3，求數(shù)列a

2、n的前n項和；(2)證明：對任意kN，ak，ak2，ak1成等差數(shù)列考向分析高考中對等差(等比)數(shù)列的考查主、客觀題型均有所體現(xiàn)，一般以等差、等比數(shù)列的定義或以通項公式、前n項和公式為基礎(chǔ)考點，常結(jié)合數(shù)列遞推公式進行命題，主要考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力以及計算能力等，中低檔題占多數(shù)考查的熱點主要有三個方面：(1)對于等差、等比數(shù)列基本量的考查，常以客觀題的形式出現(xiàn)，考查利用通項公式、前n項和公式建立方程組求解，屬于低檔題；(2)對于等差、等比數(shù)列性質(zhì)的考查主要以客觀題出現(xiàn)，具有“新、巧、活”的特點，考查利用性質(zhì)解決有關(guān)計算問題，屬中低檔題；(3)對于等差、等比數(shù)列的判斷與證明，主要出現(xiàn)在解

3、答題的第一問，是為求數(shù)列的通項公式而準備的，因此是解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)熱點例析熱點一等差、等比數(shù)列的基本運算【例1】(2020福建莆田質(zhì)檢，20)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，等式anan22an1對任意nN*均成立(1)若a410，求數(shù)列an的通項公式；(2)若a21t，且存在m3(mN*)，使得amSm成立，求t的最小值規(guī)律方法 此類問題應(yīng)將重點放在通項公式與前n項和公式的直接應(yīng)用上，注重五個基本量a1，an，Sn，n，d(q)之間的轉(zhuǎn)化，會用方程(組)的思想解決“知三求二”問題我們重在認真觀察已知條件，在選擇a1，d(q)兩個基本量解決問題的同時，看能否利用等差、等比數(shù)列的基本性

4、質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，否則可能會導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜，無形中增大運算量同時在運算過程中注意消元法及整體代換的應(yīng)用，這樣可減少計算量特別提醒：(1)解決等差數(shù)列an前n項和問題常用的有三個公式：Sn；Snna1d；SnAn2Bn(A，B為常數(shù))，靈活地選用公式，解決問題更便捷；(2)利用等比數(shù)列前n項和公式求和時，不可忽視對公比q是否為1的討論變式訓(xùn)練1 (2020山東青島質(zhì)檢，20)已知等差數(shù)列an的公差大于零，且a2，a4是方程x218x650的兩個根；各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的前n項和為Sn，且滿足b3a3，S313.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)若數(shù)列cn滿足cn求數(shù)列c

5、n的前n項和Tn.熱點二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)【例2】(1)在正項等比數(shù)列an中，a2，a48是方程2x27x60的兩個根，則a1a2a25a48a49的值為()A B9 C9 D35(2)正項等比數(shù)列an的公比q1，且a2，a3，a1成等差數(shù)列，則的值為()A或 BC D規(guī)律方法 (1)解決此類問題的關(guān)鍵是抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手選擇恰當?shù)男再|(zhì)進行求解；(2)應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，特別是等差數(shù)列中若“mnpq，則amanapaq”這一性質(zhì)與求和公式Sn的綜合應(yīng)用變式訓(xùn)練2 (1)(2020江西玉山期末，3)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足S15

6、25，則tan a8的值是()A B C D(2)(2020廣西桂林調(diào)研，7)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，若公比q2，S41，則S8()A17 B16 C15 D256熱點三等差、等比數(shù)列的判定與證明【例3】(2020山東淄博一模，20)已知在數(shù)列an中，a15且an2an12n1(n2，且nN*)(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.規(guī)律方法 證明數(shù)列an為等差或等比數(shù)列有兩種基本方法：(1)定義法an1and(d為常數(shù))an為等差數(shù)列；q(q為常數(shù))an為等比數(shù)列(2)等差、等比中項法2anan1an1(n2，nN*)an為等差數(shù)列；aan1an1(an

7、0，n2，nN*)an為等比數(shù)列我們要根據(jù)題目條件靈活選擇使用，一般首選定義法利用定義法一種思路是直奔主題，例如本題方法；另一種思路是根據(jù)已知條件變換出要解決的目標，如本題還可這樣去做：由an2an12n1，得an12an122n，所以an12(an11)2n，上式兩邊除以2n，從而可得1，由此證得結(jié)論特別提醒：(1)判斷一個數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，還有通項公式法及前n項和公式法，但不作為證明方法；(2)若要判斷一個數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項不成等差(等比)即可；(3)aan1an1(n2，nN*)是an為等比數(shù)列的必要而不充分條件，也就是要注意判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要

8、注意各項不為0.變式訓(xùn)練3 在數(shù)列an中，an1an2n44(nN*)，a123，是否存在常數(shù)使數(shù)列ann為等比數(shù)列，若存在，求出的值及數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由思想滲透1函數(shù)方程思想等差(比)數(shù)列通項與前n項和的計算問題：(1)已知等差(比)數(shù)列有關(guān)條件求數(shù)列的通項公式和前n項和公式，及由通項公式和前n項和公式求首項、公差(比)、項數(shù)及項，即主要指所謂的“知三求二”問題；(2)由前n項和求通項；(3)解決與數(shù)列通項、前n項和有關(guān)的不等式最值問題2求解時主要思路方法為：(1)運用等差(比)數(shù)列的通項公式及前n項和公式中的5個基本量，建立方程(組)，進行運算時要注意消元的方法及整體代換

9、的運用；(2)數(shù)列的本質(zhì)是定義域為正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)，數(shù)列的通項公式即為相應(yīng)的函數(shù)解析式，因此在解決數(shù)列問題時，應(yīng)用函數(shù)的思想求解在等比數(shù)列an中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，a3與a5的等比中項為2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog2an，數(shù)列bn的前n項和為Sn，當最大時，求n的值解：(1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25.又an0，a3a55.又a3與a5的等比中項為2，a3a54.而q(0,1)，a3a5.a34，a51，q，a116.an16n125n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，bn是以

10、4為首項，1為公差的等差數(shù)列Sn，當n8時，0；當n9時，0；當n9時，0；n8或9時，最大1(2020河北冀州一模，5)在等差數(shù)列an中，a9a126，則數(shù)列an前11項的和S11等于()A24 B48 C66 D1322(2020浙江名校創(chuàng)新沖刺卷，4)設(shè)an是等比數(shù)列，則“a1a2a3”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3(2020廣東汕頭質(zhì)檢，2)已知等比數(shù)列an的公比q為正數(shù)，且2a3a4a5，則q的值為()A B2 C D34(2020河北衡水調(diào)研，6)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足S20S40，則下列結(jié)論中正確的是(

11、)AS30是Sn的最大值BS30是Sn的最小值CS300DS6005已知正項等比數(shù)列an滿足a7a62a5，若存在兩項am，an，使得4a1，則的最小值為_6(原創(chuàng)題)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且滿足a1 000a1 013，b1b132，則tan_.7(2020浙江五校聯(lián)考，20)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1，Snn2ann(n1)，n1,2，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求Sn；(2)設(shè)bn，求證：b1b2bn1.8設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和已知S37，且a13,3a2，a34構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bnln a

12、3n1，n1,2，求數(shù)列bn的前n項和Tn.參考答案命題調(diào)研明晰考向真題試做1B解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，a2a10a4a816，故選B.2A解析：由題意可得，a3a11a16，a74.a51.3B解析：A中當a1，a3為負數(shù)，a2為正數(shù)時，a1a32a2不成立；B中根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及均值不等式得，aa22a；C中取a1a31，a21，顯然a1a2；D中取a11，a22，a34，a48，可知a4a2不成立綜上可知僅有B正確42解析：等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且a10，公比q1.又2(anan2)5an1，2an2anq25anq.an0，2q25q20.q2或q(舍去)公比q為2.5(1)解：

13、由a3a1q2及q，得a11，所以數(shù)列an的前n項和Sn.(2)證明：對任意kN，2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk)a1qk1(2q2q1)，由q得2q2q10，故2ak2(akak1)0.所以，對任意kN，ak，ak2，ak1成等差數(shù)列精要例析聚焦熱點熱點例析【例1】解：(1)anan22an1對nN*都成立，數(shù)列an為等差數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公差為d，a11，a410，且a4a13d10.d3.ana1(n1)d3n2.數(shù)列an的通項公式為an3n2.(2)a21t，公差da2a1t.ana1(n1)d1(n1)t.Snna1dnt.由amSm得1(m1)tmt，(m1)

14、t(m1)t.t1t.t.m3，2t0.t的最小值為2.【變式訓(xùn)練1】解：(1)設(shè)an的公差為d(d0)，bn的公比為q(q0)，則由x218x650，解得x5或x13.因為d0，所以a2a4，則a25，a413.則解得a11，d4，所以an14(n1)4n3.因為解得b11，q3.所以bn3n1.(2)當n5時， Tna1a2a3ann42n2n；當n5時，TnT5(b6b7b8bn)(2525).所以Tn【例2】(1)B解析：依題意知a2a483.又a1a49a2a48a3，a250，a1a2a25a48a49a9.(2)C解析：因為a2，a3，a1成等差數(shù)列，所以a3a1a2.q21q.

15、又q0，解得q，故.【變式訓(xùn)練2】(1)B解析：S1515a825，a8.tan a8tan tantan.(2)A解析：S8S4(a5a6a7a8)S4q4S417.【例3】(1)證明：設(shè)bn，b12，bn1bn(an12an)1(2n11)11，數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列(2)解：由(1)知，(n1)1，an(n1)2n1.Sn(2211)(3221)(n2n11)(n1)2n1，Sn221322n2n1(n1)2nn.設(shè)Tn221322n2n1(n1)2n，則2Tn222323n2n(n1)2n1.由，得Tn221(22232n)(n1)2n1n2n1，Snn2n1nn(2n11

16、)【變式訓(xùn)練3】解：假設(shè)an1(n1)(ann)成立，整理得an1an2n12，與an1an2n44比較得.數(shù)列是以為首項，1為公比的等比數(shù)列故ann(1)n1，即ann(1)n1.創(chuàng)新模擬預(yù)測演練1D解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由a9a126得a18d(a111d)6，整理得a15d12，即a612，S1111a6132.2C解析：由a1a2a3，得有或則數(shù)列an是遞增數(shù)列，反之顯然成立，故選C.3B解析：由2a3a4a5得2a3a3qa3q2，q2q20，解得q2或q1(舍去)4D解析：由S20S40得a21a22a23a400，a21a400.S60(a1a60)60(a21a40

17、)600.5解析：由a7a62a5，得q2q20，解得q2或q1(舍去)，amana1qm1a1qn116a.qmn22mn224.mn24.mn6.(mn)(54)(當且僅當4m2n2時，“”成立)6解析：因為數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，所以由它們的性質(zhì)可得a1 000a1 013a1a2 012，b1b13b2，則tantan.7證明：(1)由Snn2ann(n1)(n2)，得Snn2(SnSn1)n(n1)，即(n21)Snn2Sn1n(n1)，所以SnSn11，對n2成立S11，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，S1a1，所以Sn，當n1時也成立(2)bn，b1b2bn111.8解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q1)由已知得即即解得a11，q2或a14，q(舍去)an2n1.(2)由(1)得a3n123n，bnln a3n1ln 23n3nln 2，bn1bn3ln 2.bn是以b13ln 2為首項，公差為3ln 2的等差數(shù)列Tnb1b2bn，即Tn.