小學六年級奧數(shù)題第29講 抽屜原理（一）

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1、第29講 抽屜原理（一） 一、知識要點 如果給你5盒餅干，讓你把它們放到4個抽屜里，那么可以肯定有一個抽屜里至少有2盒餅干。如果把4封信投到3個郵箱中，那么可以肯定有一個郵箱中至少有2封信。如果把3本聯(lián)練習冊分給兩位同學，那么可以肯定其中有一位同學至少分到2本練習冊。這些簡單內(nèi)的例子就是數(shù)學中的“抽屜原理”。 基本的抽屜原理有兩條：（1）如果把x+k（k≥1）個元素放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有2個或2個以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）個元素放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有m+1個或更多個元素。 利用抽屜原理解題時要注意區(qū)分哪些是“抽屜”？哪些是“元素

2、”？然后按以下步驟解答：a、構造抽屜，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屜。C、說明理由，得出結論。 本周我們先來學習第（1）條原理及其應用。 二、精講精練 【例題1】某校六年級有學生367人，請問有沒有兩個學生的生日是同一天？為什么？ 把一年中的天數(shù)看成是抽屜，把學生人數(shù)看成是元素。把367個元素放到366個抽屜中，至少有一個抽屜中有2個元素，即至少有兩個學生的生日是同一天。 平年一年有365天，閏年一年有366天。把天數(shù)看做抽屜，共366個抽屜。把367個人分別放入366個抽屜中，至少在一個抽屜里有兩個人，因此，肯定有兩個學生的生日是同一天。 練習1： 1、某校有370名1

3、992年出生的學生，其中至少有2個學生的生日是同一天，為什么？ 2、某校有30名學生是2月份出生的，能否至少有兩個學生生日是在同一天？ 3、15個小朋友中，至少有幾個小朋友在同一個月出生？ 【例題2】某班學生去買語文書、數(shù)學書、外語書。買書的情況是：有買一本的、二本的、也有三本的，問至少要去幾位學生才能保證一定有兩位同學買到相同的書（每種書最多買一本）？ 首先考慮買書的幾種可能性，買一本、二半、三本共有7種類型，把7種類型看成7個抽屜，去的人數(shù)看成元素。要保證至少有一個抽屜里有2人，那么去的人數(shù)應大于抽屜數(shù)。所以至少要去7+1=8（個）學生才能保證一定有兩位

4、同學買到相同的書。 買書的類型有： 買一本的：有語文、數(shù)學、外語3種。 買二本的：有語文和數(shù)學、語文和外語、數(shù)學和外語3種。 買三本的：有語文、數(shù)學和外語1種。 3+3+1=7（種）把7種類型看做7個抽屜，要保證一定有兩位同學買到相同的書，至少要去8位學生。 練習2： 1、某班學生去買語文書、數(shù)學書、外語書、美術書、自然書。買書的情況是：有買一本的、二本的、三本或四本的。，問至少要去幾位學生才能保證一定有兩位同學買到相同的書（每種書最多買一本）？ 2、學校圖書室有歷史、文藝、科普三種圖書。每個學生從中任意借兩本，那么至少要幾個同學才能保證一定有兩人所借的圖書屬于同一

5、種？ 3、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的玻璃珠子，顏色有綠、紅、黃三種，問最少要取出多少個珠子才能保證有兩個同色的？ 【例題3】一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種。問最少要摸出多少只手套才能保證有3副同色的？ 把四種不同的顏色看成是4個抽屜，把手套看成是元素，要保證有1副同色的，就是1個抽屜里至少有2只手套，根據(jù)抽屜原理，最少要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后，4個抽屜中還剩下3只手套。再根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套又能保證有一副手套是同色的，以此類推。 把四種顏色看成是4個抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證

6、有一副就要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后，4個抽屜中還剩下3只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套又能保證有一副手套是同色的。以此類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有 5+2+2=9（只） 答：最少要摸出9只手套才能保證有3副同色的。 練習3： 1、一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種。問最少要摸出多少只手套才能保證有4副同色的？ 2、布袋中有同樣規(guī)格但顏色不同的襪子若干只。顏色有白、黑、藍三種。問：最少要摸出多少只襪子，才能保證有3雙同色的？ 3、一個布袋里有紅、黃、藍色襪子各8只

7、。每次從布袋中拿出一只襪子，最少要拿出多少只才能保證其中至少有2雙不同襪子？ 【例題4】任意5個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是4的倍數(shù)，這是為什么？ 一個自然數(shù)除以4的余數(shù)只能是0，1，2，3。如果有2個自然數(shù)除以4的余數(shù)相同，那么這兩個自然數(shù)的差就是4的倍數(shù)。 一個自然數(shù)除以4的余數(shù)可能是0，1，2，3，所以，把這4種情況看做時個抽屜，把任意5個不相同的自然數(shù)看做5個元素，再根據(jù)抽屜原理，必有一個抽屜中至少有2個數(shù)，而這兩個數(shù)的余數(shù)是相同的，它們的差一定是4的倍數(shù)。所以，任意5個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是4的倍數(shù)。 練習4： 1、任意

8、6個不相同的自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是5的倍數(shù)，這是為什么？ 2、任意取幾個不相同的自然數(shù)，才能保證至少有兩個數(shù)的差是8的倍數(shù)？ 3、證明在任意的（n+1）個不相同的自然數(shù)中，必有兩個數(shù)之差為n的倍數(shù)。 【例題5】能否在圖29-1的5行5列方格表的每個空格中，分別填上1，2，3這三個數(shù)中的任一個，使得每行、每列及對角線AD、BC上的各個數(shù)的和互不相同？ 由圖29-1可知：所有空格中只能填寫1或2或3。因此每行、每列、每條對角線上的5個數(shù)的和最小是1×5=5，最大是3×5=15。從5到15共有11個互不相同的整數(shù)值，把這11個值看承11個抽

9、屜，把每行、每列及每條對角線上的各個數(shù)的和看承元素，只要考慮元素和抽屜的個數(shù)就可得出結論是不可能的。因為每行、每列、每條對角線上的5個數(shù)的和最小是5，最大是15，從5到15共有11個互不相同的整數(shù)值。而5行、5列及兩條對角線上的各個數(shù)的和共有12個，所以，這12條線上的各個數(shù)的和至少有兩個是相同的。 練習5： 1、能否在6行6列方格表的每個空格中，分別填上1，2，3這三個數(shù)中的任一個，使得每行、每列及對角線上的各個數(shù)的和互不相同？為什么？ 2、證明在8×8的方格表的每個空格中，分別填上3，4，5這三個數(shù)中的任一個，在每行、每列及對角線上的各個數(shù)的和中至少有兩個和是相同的。 3、在3×9的方格圖中（如圖29-2所示），將每一個小方格涂上紅色或者藍色，不論如何涂色，其中至少有兩列的涂色方式相同。這是為什么？