福建省漳浦縣道周中學(xué)2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用教案 文

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1、福建省漳浦縣道周中學(xué)2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用教案 文1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式?？汲Ｐ聝山呛团c差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)規(guī)律性強(qiáng)，對(duì)公式的正用、逆用、變形應(yīng)用的技巧、方法要求較高，考查公式的靈活運(yùn)用及變形能力.通過(guò)簡(jiǎn)單的恒等變換解決三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值是高考必考內(nèi)容，且一直是高考的熱點(diǎn).2.研究三角函數(shù)的性質(zhì)，一般要化為f(x)Asin(x) (A0，0)的形式，若是奇函數(shù)，則可化為f(x)Asin x；若是偶函數(shù)，則可化為f(x)Acos x.求三角函數(shù)的定義域，實(shí)際上是利用三角函數(shù)圖象或三角函數(shù)線來(lái)確定不等式的解，求函數(shù)的單調(diào)

2、區(qū)間可以轉(zhuǎn)化為求ysin x與ycos x的單調(diào)區(qū)間.3.解三角形問(wèn)題主要有兩種題型：一是與三角函數(shù)結(jié)合起來(lái)考查，通過(guò)三角變換化簡(jiǎn)，然后運(yùn)用正、余弦定理求值；二是與平面向量結(jié)合(主要是數(shù)量積)，判斷三角形形狀或結(jié)合正、余弦定理求值.試題一般為中檔題，客觀題、解答題均有可能出現(xiàn).4.平面向量的線性運(yùn)算，為證明兩線平行提供了重要方法.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算解決了兩向量的夾角、垂直等問(wèn)題.特別是平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與三角函數(shù)的有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了向量應(yīng)用的廣泛性.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1.三角函數(shù)問(wèn)題一是化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，要熟練應(yīng)用公式，緊扣角的范圍，才可避免出錯(cuò)；二是三角函數(shù)的性質(zhì)，要先將函數(shù)式化簡(jiǎn)為yAsin(

3、x) (A0，0)的形式，再研究其性質(zhì).2.向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律與數(shù)量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律形成鮮明對(duì)比，要理解它們的聯(lián)系與區(qū)別.要用向量的思想和方法去分析解決問(wèn)題，一定要突出向量的工具性作用.題型一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題例1已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2cos2x1 (xR).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值.探究提高(1)兩角和與差的三角函數(shù)公式的內(nèi)涵是“揭示同名不同角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律”，對(duì)公式要會(huì)“正用”、“逆用”、“變形用”，記憶公式要注意角、三角函數(shù)名稱排列以及連接符號(hào)“”，“”的變化特點(diǎn).(2)

4、在使用三角恒等變換公式解決問(wèn)題時(shí)，“變換”是其中的精髓，在“變換”中既有公式的各種形式的變換，也有角之間的變換.(3)本題的易錯(cuò)點(diǎn)是易用錯(cuò)公式和角的拆分不準(zhǔn)確. 已知向量m(1，cos xsin x)，n(f(x)，cos x)，其中0，且mn，又函數(shù)f(x)的圖象上任意兩相鄰對(duì)稱軸的間距為.(1)求的值；(2)設(shè)是第一象限角，且f，求的值.題型二三角形中的三角恒等變換例2設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a2bsin A.(1)求B的大?。?2)求cos Asin C的取值范圍.探究提高本題的難點(diǎn)是第(2)問(wèn)，求解三角函數(shù)式的取值范圍，首先要根據(jù)三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)

5、行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)已知條件確定角A或角C的取值范圍，要利用銳角三角形的每個(gè)內(nèi)角都是銳角，構(gòu)造關(guān)于角A的不等式確定其取值范圍，最后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定三角函數(shù)式的取值范圍. 設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c且3b23c23a24bc.(1)求sin A的值；(2)求的值.題型三平面向量與三角函數(shù)例3已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)記f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足(2ac)cos Bbcos C，求函數(shù)f(A)的取值范圍.探究提高向量是一種解決問(wèn)題的工具，是一個(gè)載體，通常是用向量的數(shù)量積運(yùn)算或性質(zhì)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問(wèn)題.

6、已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若1，求 的值.8.平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題試題：(12分)設(shè)向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin ).(1)若a與b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16，求證：ab.審題視角(1)利用向量的垂直關(guān)系，將向量間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)式，化簡(jiǎn)求值.(2)根據(jù)向量模的定義，將求模問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的問(wèn)題.(3)轉(zhuǎn)化成證明與向量平行等價(jià)的三角函數(shù)式.規(guī)范解答(1)解由a與b2c垂直，得a(b2

7、c)ab2ac0，即4sin()8cos()0，tan()2.4分(2)解|bc|2(bc)2b2c22bcsin216cos2cos216sin22(sin cos 16sin cos )1730sin cos 1715sin 2，最大值為32，所以|bc|的最大值為4.8分(3)證明由tan tan 16，得sin sin 16cos cos ，即4 cos 4cos sin sin 0，故ab.12分第一步：將向量間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)式.第二步：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式.第三步：求三角函數(shù)式的值或分析三角函數(shù)式的性質(zhì).第四步：明確結(jié)論.第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和規(guī)范解答.批閱筆記(1

8、)本題是典型的向量與三角函數(shù)的綜合，題目難度中檔，屬高考的重點(diǎn)題型.(2)本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.根據(jù)向量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式的問(wèn)題，利用三角函數(shù)解決.(3)易錯(cuò)分析.在將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式時(shí)易出錯(cuò).在第(3)問(wèn)中，學(xué)生不知道要推出怎樣的三角關(guān)系式才能說(shuō)明ab.事實(shí)上是學(xué)生忽略了ab的條件.方法與技巧1.研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的主要思想方法是數(shù)形結(jié)合思想，這主要體現(xiàn)在運(yùn)用三角函數(shù)的圖象研究三角函數(shù)的圖象變換、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等知識(shí)；運(yùn)用三角函數(shù)的圖象解決取值范圍、交點(diǎn)個(gè)數(shù)、定義域等內(nèi)容.2.三角函數(shù)與向量的交匯綜合是近幾年高考的熱點(diǎn)題型，主要從以下兩個(gè)方面

9、進(jìn)行考查.(1)利用平面向量的知識(shí)(如向量的模、數(shù)量積、向量的夾角)，通過(guò)向量的有關(guān)運(yùn)算，將向量條件轉(zhuǎn)化為三角關(guān)系，然后通過(guò)三角變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等解決問(wèn)題.(2)從三角與向量的關(guān)聯(lián)點(diǎn)(角與距離)處設(shè)置問(wèn)題，把三角函數(shù)中的角與向量的夾角統(tǒng)一為一類問(wèn)題考查.3.加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的考查，轉(zhuǎn)化思想主要體現(xiàn)在把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題.失誤與防范1.對(duì)于三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，一要熟練應(yīng)用公式化簡(jiǎn)，二要注意角的范圍.2.平面向量與三角函數(shù)問(wèn)題，一般是通過(guò)向量運(yùn)算，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式，要注意轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)確性和靈活性.專題三三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用(時(shí)間：60分鐘)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1

10、.已知向量a(2，sin x)，b(cos2x,2cos x)，則函數(shù)f(x)ab的最小正周期是 ()A. B. C.2 D.42.已知a，b，c為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量m(，1)，n(cos A，sin A).若mn，且acos Bbcos Acsin C，則角A，B的大小分別為 ()A.， B.，C.， D.，3.已知a，b(1，)，則|atb| (tR)的最小值等于 ()A.1 B. C. D.二、填空題4.已知00，0，|)，若該函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為，與其相鄰的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是.(1)求函數(shù)yAsin(x)的解析式；(2)求函數(shù)的最小值，并寫出函數(shù)取得最小值時(shí)自

11、變量x的集合.8.ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m(2sin B，)，n且mn.(1)求銳角B的大??；(2)如果b2，求SABC的最大值.B組專項(xiàng)能力提升題組一、選擇題1.已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，則向量與向量的夾角的取值范圍是 ()A. B.C. D.2.在ABC中，3，ABC的面積SABC，則與夾角的取值范圍是 ()A. B.C. D.3.(2020大綱全國(guó))設(shè)向量a，b，c滿足|a|b|1，ab，ac，bc60，則|c|的最大值等于 ()A.2 B.C. D.1二、填空題4.已知向量a(cos ，sin )，向量b(，1)，則|2

12、ab|的最大值、最小值分別是_.5.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ADAB，AD1，BC2，AB3，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，tanDPA的值為_.6.(2020上海)在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn).若AB3，BD1，則_.三、解答題7.在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且lg alg blg cos Blg cos A0.(1)判斷ABC的形狀；(2)設(shè)向量m(2a，b)，n(a，3b)，且mn，(mn)(nm)14，求a，b，c的值.8.已知兩個(gè)不共線的向量a，b的夾角為，且|a|3，|b|1，x為正實(shí)數(shù).(1)若a2b與a4b垂直，求tan ；(2)若，

13、求|xab|的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值，并指出向量a與xab的位置關(guān)系；(3)若為銳角，對(duì)于正實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程|xab|ma|有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，且xm，求m的取值范圍.答案題型分類深度剖析例1解(1)由f(x)2sin xcos x2cos2x1，得f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin.所以函數(shù)f(x)的最小正周期為.因?yàn)閒(x)2sin在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又f(0)1，f2，f1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為1.(2)由(1)，可知f(x0)2sin.又因?yàn)閒(x0)，所以sin.由x0，得2x0.從而co

14、s.所以cos 2x0coscoscos sinsin .變式訓(xùn)練1(1)(2)例2解(1)由a2bsin A，根據(jù)正弦定理得sin A2sin Bsin A，所以sin B，由ABC為銳角三角形可得B.(2)由(1)可知ACB，故CA.故cos Asin Ccos Asincos Asincos Acos Asin Acos Asin Asin，由ABC為銳角三角形可得，0C，故0A，解得A，又0A，所以A.故A，所以sin，所以sin，即cos Asin C的取值范圍為.變式訓(xùn)練2(1)(2)例3解(1)mnsin cos cos2sin sin，mn1，sin.cos12sin2，cos

15、cos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC).ABC，sin(BC)sin A0.cos B，0B，B.0A.，sin.又f(x)sin.f(A)sin.故函數(shù)f(A)的取值范圍是.變式訓(xùn)練3(1)(2)課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組1.B2.C3.B4.42m5.或6.7.解(1)由題意知A3，T，所以T，2.y3sin(2x)，又由22k，kZ，得2k，kZ.因?yàn)閨，所以.所以y3sin，xR.(2)由(1)知，函數(shù)的最小值為3；由

16、2x2k，kZ，得xk，kZ，函數(shù)取得最小值時(shí)自變量x的集合為.8.解(1)mn，2sin Bcos 2B，sin 2Bcos 2B，即tan 2B.又B為銳角，2B(0，).2B，B.(2)B，b2，由余弦定理cos B，得a2c2ac40，又a2c22ac，代入上式，得ac4(當(dāng)且僅當(dāng)ac2時(shí)等號(hào)成立).SABCacsin Bac(當(dāng)且僅當(dāng)ac2時(shí)等號(hào)成立).SABC的最大值為.B組1.D2.B3.A4.4、05.6.7.解(1)因?yàn)閘g alg blg cos Blg cos A0，所以1，所以sin 2Asin 2B且ab.因?yàn)锳，B(0，)且AB，所以2A2B，即AB且AB.所以AB

17、C是非等腰的直角三角形.(2)由mn，得mn0.所以2a23b20.由(mn)(nm)14，得n2m214，所以a29b24a2b214，即3a28b214.聯(lián)立，解得a，b2.所以c.故所求的a，b，c的值分別為，2，.8.解(1)由題意得，(a2b)(a4b)0，即a22ab8b20，得32231cos 8120，得cos ，又(0，)，故，因此，sin ，tan .(2)|xab|，故當(dāng)x時(shí)，|xab|取得最小值為，此時(shí)，a(xab)xa2ab931cos 0，故向量a與xab垂直.(3)對(duì)方程|xab|ma|兩邊平方整理，得9x2(6cos )x19m20，設(shè)方程的兩個(gè)不同正實(shí)數(shù)解為x1，x2，則由題意得，解之得，sin m.若xm，則方程可以化為(6cos )x10，則x，即m.而xm，故得m.令sin ，得得060，且45，當(dāng)060，且45時(shí)，m的取值范圍為；當(dāng)6090，或45時(shí)，m的取值范圍為.