2020版高中數(shù)學(xué) 綜合能力測(cè)試題1 新人教B版選修2-1

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1、綜合能力測(cè)試題一 時(shí)間120分鐘，滿分150分． 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的，把正確的選項(xiàng)填在答題卡中) 1．“a＝b”是“直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件 [答案]　A [解析]　圓心(a，b)，半徑r＝，若a＝b，則圓心(a，b)到直線y＝x＋2的距離d＝r. ∴直線與圓相切，若直線與圓相切則＝，此時(shí)a＝b或a－b＝－4，∴是充分不必要條件，故應(yīng)選A. 2．設(shè)命題甲為“點(diǎn)P的坐標(biāo)適合方

2、程F(x，y)＝0”；命題乙為：“點(diǎn)P在曲線C上；命題丙為：“點(diǎn)Q的坐標(biāo)不適合方程F(x，y)＝0”；命題丁為：“點(diǎn)Q不在曲線C上”，已知甲是乙的必要條件，但不是充分條件，那么(　　) A．丙是丁的充分條件，但不是丁的必要條件 B．丙是丁的必要條件，但不是丁的充分條件 C．丙是丁的充要條件 D．丙既不是丁的充分條件，也不是丁的必要條件 [答案]　A [解析]　由已知條件，得“乙?甲”，即“點(diǎn)P在曲線C上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)適合方程F(x，y)＝0”，它的逆否命題是：“若點(diǎn)P的坐標(biāo)不適合方程F(x，y)＝0，則點(diǎn)P不在曲線C上”，即“丙?丁”． 3．給出下列關(guān)于互不相同的直線m，l，n和

3、平面α，β的四個(gè)命題： ① m?α，l∩α＝A，點(diǎn)A?m，則l與m不共面； ②m，l是異面直線，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，則n⊥α； ③若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m； ④若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，則α∥β. 其中為假命題的是(　　) A．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　D．④ [答案]　C [解析]　逐一驗(yàn)證 ①由異面直線的判定定理得l與m為異面直線，故①正確． ②由線面垂直的判定定理知②正確． ③l可能與m相交或異面，故③錯(cuò)誤． ④由線面垂直的判定定理得α∥β，故④正確，故選C. 4．設(shè)P為雙曲線x2－＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2

4、是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，則ΔPF1F2的面積為(　　) A．6　　　　　　　　　　 B．12 C．12 D．24 [答案]　B [解析]　∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2， 又有|PF1|－|PF2|＝2， ∴|PF1|＝6，|PF2|＝4， 又∵|F1F2|＝2c＝2， ∴(2)2＝62＋42，∴∠F1PF2＝90°， ∴SΔPF1F2＝×6×4＝12. 5.已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為(　　) A．3 B．2 C．2

5、 D．4 [答案]　C [解析]　由題意c＝2，焦點(diǎn)在x軸上，故該橢圓方程為＋＝1，與x＋y＋4＝0聯(lián)立方程組，令Δ＝0，解得a＝. 6．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F在y軸上，又拋物線的點(diǎn)P(k，－2)與點(diǎn)F的距離為4，則k等于(　　) A．4 B．4或－4 C．－2 D．－2或2 [答案]　B [解析]　由題設(shè)條件可設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，又點(diǎn)P在拋物線上，則k2＝4p， ∵|PF|＝4∴＋2＝4，即p＝4，∴k＝±4. 7．設(shè)集合M＝{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)|x2－y＝0}，則集合M∩

6、N中元素的個(gè)數(shù)為(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) [答案]　B 8．若PO⊥平面ABC，O為垂足，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，則PO的長(zhǎng)等于(　　) A．5 B．5 C．10 D．10 [答案]　B 9．已知圓x2＋y2＝1，點(diǎn)A(1,0)，△ABC內(nèi)接于圓，且∠BAC＝60°，當(dāng)BC在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BC中點(diǎn)的軌跡方程是(　　) A．x2＋y2＝ B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝(x<) D．x2＋y2＝(x<) [答案]　D 10

7、．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量的是(　　) ①(－)－； ②(＋)－； ③(－)－2； ④(＋)＋. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ [答案]　A 11．如圖所示，在直二面角α—l—β中，A，B∈l，AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l，|AC|＝6，|AB|＝8，|BD|＝24，則線段CD的長(zhǎng)是(　　) A．25 B．26 C．27 D．28 [答案]　B [解析]　∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴·＝0，·＝0，·＝0，＝＋＋， ∴||2＝|＋＋|2＝676，

8、 ∴||＝26. 12．在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，已知點(diǎn)P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和點(diǎn)Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直線OP與直線OQ垂直，則x的值為(　　) A. B. C.或 D.或 [答案]　C [解析]　由題意得⊥，得cosx(2cosx＋1)－(2cos2x＋2)＝0，利用cos2x＝2cos2x－1，化簡(jiǎn)后得2cos2x－cosx＝0，于是cosx＝0或cosx＝，因?yàn)閤∈[0，π]，所以x＝或. 二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每空4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上) 13．命題“若a>b

9、，則3a>3b－1”的否命題為_(kāi)_______． [答案]　若a≤b，則3a≤3b－1 [解析]　“a>b”的否命題是“a≤b”，“3a>3b－1”的否命題是“3a≤3b－1”． ∴原命題的否命題是“若a≤b，則3a≤3b－1”． 14．如果過(guò)兩點(diǎn)A(a,0)和B(0，a)的直線與拋物線y＝x2－2x－3沒(méi)有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是____． [答案]　(－∞，－) [解析]　過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線為：x＋y＝a與拋物線y＝x2－2x－3聯(lián)立得x2－x－a－3＝0，因?yàn)橹本€x與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)，則方程無(wú)解．即Δ＝1＋4(a＋3)<0，解之a(chǎn)<－. 15．在正三棱柱ABC—A1B1C

10、1中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面三角形的邊長(zhǎng)為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角的大小是________． [答案]　 [解析]　取AC中點(diǎn)E，連接BE，則BE⊥平面ACC1A1，∴∠BC1E為線面角． 由已知得BE＝，BC1＝， ∴sin∠BC1E＝，∴∠BC1E＝. 16．與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，且兩條漸近線互相垂直的雙曲線方程為_(kāi)_______． [答案]　x2－y2＝2 三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，分別求出平面ABC1D1和平面A1B1CD的一個(gè)法向量，并

11、證明這兩個(gè)平面互相垂直． [解析]　設(shè)D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)． 則＝(0,1,0)，＝(－1,0,1)． 設(shè)平面ABC1D1的一個(gè)法向量為n1＝(x，y，z)，則 n1·＝y(tǒng)＝0，n1·＝－x＋z＝0，不妨令x＝1，則z＝1. 故n1＝(1,0,1)，設(shè)平面A1B1CD的一個(gè)法向量為n2，同理，可求n2＝(－1,0,1)， ∵n1·n2＝(1,0,1)·(－1,0,1)＝－1＋0＋

12、1＝0， ∴n1⊥n2.∴平面ABC1D1⊥平面A1B1CD. 18．(本小題滿分12分)已知條件p：|5x－1|>a和條件q：>0，請(qǐng)選取適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)a的值，分別利用所給的兩個(gè)條件作為A，B構(gòu)造命題：若A則B.使得構(gòu)造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題，并說(shuō)明為什么這一命題是符合要求的命題． [解析]　已知條件p即5x－1<－a或5x－1>a，∴x<或x>. 已知條件q即2x2－3x＋1>0，∴x<或x>1. 令a＝4，則p即x<－或x>1，此時(shí)必有p?q成立，反之不然，故可以選取的一個(gè)實(shí)數(shù)是a＝4，A為p，B為q，對(duì)應(yīng)的命題是“若A則B”．由以上過(guò)程可知，這一命題的原命題為真命題

13、，但它的逆命題為假命題． 19．(本小題滿分12分)設(shè)命題p：函數(shù)f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定義域?yàn)镽；命題q：不等式<1＋ax對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立．如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解析]　命題p為真命題?f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定義域?yàn)镽?ax2－x＋a>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立?a>2，所以命題p為真命題?a>2.命題q為真命題?－1＝＝對(duì)一切正實(shí)數(shù)x均成立，由于x>0，所以>1，所以＋1>2，所以<1，所以命題q為真命題?a≥1.由題意知p與q有且只有一個(gè)是真命題．當(dāng)p真q假時(shí)，a不存在；當(dāng)p假q真時(shí)，a∈

14、[1,2]．綜上知a∈[1,2]． 20．(本小題滿分12分)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)． (1)若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且·＝－，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的斜率k的取值范圍． [解析]　(1)由題意得a＝2，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)． 設(shè)P(x，y)(x>0，y>0)，則·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝－，聯(lián)立解得∴∴P(1，)． (2)顯然k＝0不滿足題設(shè)條件．可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，設(shè)A(x1，y1)，

15、B(x2，y2)．聯(lián)立 ∴x2＋4(kx＋2)2＝4， ∴(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0， ∴x1x2＝，x1＋x2＝－， 由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0,16k2－3(1＋4k2)>0,4k2－3>0，得k2>①. 又∠AOB為銳角，∴cos∠AOB>0，∴·>0， ∴·＝x1x2＋y1y2>0. 又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2) ＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4， ∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·＋2k·(－)＋4＝－＋4＝>0，∴0

16、取值范圍是(－2，－)∪(，2)． 21．(本小題滿分12分)(2020·天津理，20)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－a,0)，點(diǎn)Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且·＝4.求y0的值． [解析]　(1)解：由e＝＝，得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，得a＝2b. 由題意可知×2a×2b＝4，即ab＝2. 解方程組得a＝2，b＝1， 所以橢圓的方程為＋y2＝1. (2)由(1)可知A(－2,0)，設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，直

17、線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋2)． 于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 由方程組消去y并整理，得 (1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0. 由－2x1＝，得 x1＝，從而y1＝. 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為. 以下分兩種情況： ①當(dāng)k＝0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)，由·＝4，得y0＝±2. ②當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為 y－＝－. 令x＝0，解得y0＝－. 由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)． ·＝－2x1－y0(y1－y0) ＝＋ ＝＝4

18、， 整理得7k2＝2，故k＝±，所以y0＝±. 綜上，y0＝±2或y0＝±. 22．(本小題滿分14分)如圖所示，四棱錐S－ABCD的底面是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD，若邊BC上存在異于B，C的一點(diǎn)P，使得⊥. (1)求a的最大值； (2)當(dāng)a取最大值時(shí)，求異面直線AP與SD所成角的大小； (3)當(dāng)a取最大值時(shí)，求平面SCD的一個(gè)單位法向量n0及點(diǎn)P到平面SCD的距離． [解析]　(1)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)||＝x， 則A(0,0,0)，S(0,0,1)，D(0,2,0)，P(a，x,0)， ∴＝(－a，－x,1)， ＝(－a,2－x,0

19、)． ∵⊥，∴·＝0，即a2－x(2－x)＝0. 即a2＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1， 則x＝1∈(0,2)時(shí)，a的最大值為1. (2)由(1)可知，當(dāng)a取最大值時(shí)，＝(1,1,0)， ＝(0,2，－1)， ∴cos<，>＝＝. ∴異面直線AP與SD所成角的大小為arccos. (3)設(shè)平面SCD的法向量為n＝(x，y，z)，則 ∴ ∵C(1,2,0)，＝(1,2，－1)， ＝(0,2，－1) ∴， 取y＝1，則z＝2，x＝0，∴n＝(0,1,2)， ∴n0＝＝(0,1,2)＝(0，，)． ∵P到平面SCD的距離d等于在n0上的射影長(zhǎng)， ∴d＝|||cos<，n0>|＝ ＝|·n0|＝|(0,1,0)·(0，，)|＝.