福建省2020屆高考數(shù)學一輪經(jīng)典例題 直線與平面的垂直判定和性質(zhì) 理

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1、典型例題一 例1下列圖形中，滿足唯一性的是（ ）． A．過直線外一點作與該直線垂直的直線 B．過直線外一點與該直線平行的平面 C．過平面外一點與平面平行的直線 D．過一點作已知平面的垂線 分析：本題考查的是空間線線關系和線面關系，對定義的準確理解是解本題的關鍵．要注意空間垂直并非一定相關． 解：A．過直線外一點作與這條直線垂直的直線，由于并沒有強調(diào)相交，所以這樣的垂線可以作無數(shù)條．事實上這無數(shù)條直線還在同一個平面內(nèi)，這個平面為該直線的一個垂面． B．過直線外一點可以作一條而且僅能作一條直線與該直線平行，但可以作無數(shù)個平面和該直線平行． C．過此點作平面內(nèi)任一直

2、線的平行線，這條平行線都平行于平面．所以過平面外一點與平面平行的直線應有無數(shù)條． D．過一點作已知平面的垂線是有且僅有一條．假設空間點、平面，過點有兩條直線、都垂直于，由于、為相交直線，不妨設、所確定的平面為，與的交線為，則必有，，又由于、、都在平面內(nèi)，這樣在內(nèi)經(jīng)過點就有兩條直線和直線垂直，與平面幾何中經(jīng)過一點有縣僅有一條直線與已知直線垂直相矛盾． 故選D． 說明：有關“唯一性”結論的問題，常用反證法，或者借助于其它已證明過的唯一性命題來證明．在本書中，過一點作已知平面的垂線有且僅有一條，同時，過一點作已知直線的垂面也是有且僅有一個．它們都是“唯一性”命題，在空間作圖題中常常用到．

3、 典型例題二 例2 已知下列命題： （1）若一直線垂直于一個平面的一條斜線，則該直線必垂直于斜線在這個平面內(nèi)的射影； （2）平面內(nèi)與這個平面的一條斜線垂直的直線互相平行； （3）若平面外的兩條直線，在這個平面上的射影互相垂直，則這兩條直線互相垂直； （4）若兩條直線互相垂直，且其中的一條平行一個平面，另一條是這個平面的斜線，則這兩條直線在這個平面上的射影互相垂直． 上述命題正確的是（ ）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4） 分析：本題考查的三垂線定理及其逆定理的簡單應用．應用這兩個定理時要特別注意

4、“平面內(nèi)”這一條件，同時要注意各種不同位置的兩定理的基本圖形及其變式圖形． 解：（1）已知直線不一定在平面內(nèi)，所以不能用三垂線逆定理來判斷垂直關系； （2）平面內(nèi)與這個平面的一條斜線垂直的直線必定與斜線在平面內(nèi)的射影垂直，所以它們之間也平行； （3）根據(jù)三垂線定理可證明直線與另一直線的射影垂直，但不能進一步說明直線和直線垂直； （4）根據(jù)三垂線定理的逆定理和空間兩直線所成角的概念，不難證明此命題的正確性． 故選D． 說明：（3）中若一直線與另一直線的射影垂直，則有另一直線必與這一直線的射影垂直．如在正方體中，分別為棱和上的點，為棱上的點，且，，求． 典型例題三 例3 如圖，

5、在正方體中，是的中點，是底面正方形的中心，求證：平面． 分析：本題考查的是線面垂直的判定方法．根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明平面，只要在平面內(nèi)找兩條相交直線與垂直． 證明：連結、、，在△中， ∵分別是和的中點， ∴． ∵面， ∴為在面內(nèi)的射影． 又∵， ∴． 同理可證，． 又∵，、面， ∴平面． ∵， ∴平面． 另證：連結，，設正方體的棱長為，易證． 又∵， ∴． 在正方體中易求出： ， ， ． ∵， ∴． ∵，、平面， ∴平面． 說明：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時常用的轉化方法．在證明線線垂直時既要注意三垂線定理及其逆

6、定理的應用，也要注意有時是從數(shù)量關系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應用． 典型例題四 例4 如圖，在△中，，平面，點在和上的射影分別為，求證：． 分析：本題考查的仍是線面垂直的判定和性質(zhì)定理，以及線線垂直和線面垂直相互轉化思想．欲證，可證面，為此須證，進而可轉化為證明平面，而已知，所以只要證即可．由于圖中線線垂直、線面垂直關系較多，所以本題也可以利用三垂線定理和逆定理來證線線垂直． 證明：∵面，平面， ∴． ∵，即，， ∴平面． ∵平面． ∴． 又∵，， ∴平面． ∵平面， ∴， 又∵，， ∴平面． ∵平面． ∴． 另證：由上面可證平面．

7、∴為在平面內(nèi)的射影． ∵， ∴． 說明：在上面的證題過程中我們可以看出，證明線線垂直常轉化為證明線面垂直，而證明線面垂直又轉化為證明線線垂直．立體幾何中的證明常常是在這種相互轉化的過程中實現(xiàn)的．本題若改為下題，想想如何證：已知⊙所在平面，為⊙的直徑，為⊙上任意一點（與不重合）．過點作的垂面交、于點，求證：． 典型例題五 例5 如圖，為平面的斜線，為斜足，垂直平面于點，為平面內(nèi)的直線，，，，求證：． 分析：本題考查的是線面角的定義和計算．要證明三個角余弦值之間關系，可考慮構造直角三角形，在直角三角形中求出三個角的余弦值，再代入驗證證明，其中構造直角三角形則需要用三垂線定理

8、或逆定理． 證明：過點作垂直于點，連． ∵， ∴在平面內(nèi)射影為． ∵，， ∴． 在△中有： ① 在△中有： ② 在△中有： ③ 由①、②、③可得：． 說明：由此題結論易知：斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．若平面的斜線與平面所成角為，則斜線與平面內(nèi)其它直線所成角的范圍為． 典型例題六 例6 如圖，已知正方形邊長為4，平面，，分別是中點，求點到平面的距離． 分析：此題是1991年高考題，考查了直線與直線、直

9、線與平面等位置關系以及邏輯推理和空間想像能力．本題是求平面外一點到平面的距離，可用轉移法將該點到平面的距離轉化為求另一點到該平面的距離．為此要尋找過點與平面平行的直線，因為與平面平行的直線上所有點到平面的距離相等． 證明：連結，和分別交于，連，作于． ∵為正方形，分別為的中點， ∴，為中點． ∵，平面， ∴平面． ∴與平面的距離就是點到平面的距離． ∵，∴． ∵面，∴． ∵， ∴平面． ∵平面， ∴． 又∵，， ∴平面． 即長就是點到平面的距離． ∵正方形邊長為4，， ∴，，． 在△中，． 在△中，． 說明：求點到平面的距離常用三種方法：一是直接法．由該

10、點向平面引垂線，直接計算垂線段的長．用此法的關鍵在于準確找到垂足位置．如本題可用下列證法：延長交的延長線于，連結，作于，作交于，連結，再作于，可得平面，長即為點到平面的距離．二是轉移法．將該點到平面的距離轉化為直線到平面的距離．三是體積法．已知棱錐的體積和底面的面積．求頂點到底面的距離，可逆用體積公式． 典型例題七 例7　如圖所示，直角所在平面外一點，且． (1)求證：點與斜邊中點的連線面； (2)若直角邊，求證：面． 分析：由等腰三角形底邊上的中線得到線線垂直，從而得到線面垂直． 證明：(1)在等腰中，為中點，∴． 取中點，連、． ∵，，∴． 又，∴面，∴．

11、 ∴面（、是面內(nèi)兩相交直線）． (2)∵，∴． 又∵面，∴． ∵，∴面． 說明：證明線面垂直的關鍵在于尋找直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．尋找途徑可由等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直，可由勾股定理進行計算，可由線面垂直得線線垂直等． 典型例題八 例8　如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面． 　已知：，．求證：． 分析：由線面垂直的判定定理知，只需在內(nèi)找到兩條相交直線與垂直即可． 證明：如圖所示，在平面內(nèi)作兩條相交直線、． ∵，∴，． 又∵，從而有，． 由作圖知、為內(nèi)兩條相交直線． ∴． 說明：本題的結論可以作為判定線面垂直的依據(jù)

12、，即當要證的直線與平面的垂直關系不明確或不易證出時，可以考慮證明與已知直線平行的直線與平面垂直． 典型例題九 例9　如圖所示，已知平面平面=，為、外一點，于，于，于．證明：． 分析：先證、、、四點共面，再證明平面，從而得到． 證明：∵，，∴． ∴、、、四點共面． ∵，，，∴，． 又，∴平面． ∴． 說明：與線面平行和線線平行交替使用一樣，線面垂直和線線垂直也?；闂l件和結論．即要證線面垂直，先找線線垂直；要證線線垂直，先找線面垂直．本題證明“、、、四點共面”非常重要，僅由平面，就斷定，則證明是無效的． 典型例題十 例10　平面內(nèi)有一半圓，直徑，過作平面，在半圓

13、上任取一點，連、，且、分別是在、上的射影． (1)求證：； (2)這個圖形中有多少個線面垂直關系？ (3)這個圖形中有多少個直角三角形？ (4)這個圖形中有多少對相互垂直的直線？ 分析：注意利用直線與直線、直線與平面垂直的有關知識進行判斷． (1)證明：連、．如上圖所示， ∵為已知圓的直徑，∴． ∵平面，，∴． ∵，∴平面． ∵平面，∴． ∵于，，∴平面． ∵于，且是在平面的射影，∴． 解(2)：由(1)知，平面，平面，平面． ∵且，∴平面， ∴圖中共有4個線面垂直關系． (3)∵平面，∴、均為直角三角形． ∵平面，∴、均為直角三角形． ∵平面，∴、、均

14、為直角三角形． ∵平面，∴、、、均為直角三角形． 綜上，圖中共有11個直角三角形． (4)由平面知，，，． 由平面知，，，． 由平面知，，，． 由平面知，，． 綜上，圖中共有11對互相垂直的直線． 說明：為了保證(2)(3)(4)答案不出錯，首先應找準(2)的答案，由“線面”可得到“線面內(nèi)線”，當“線面內(nèi)線”且相交時，可得到直角三角形；當“線面內(nèi)線”且不相交時，可得到異面且垂直的一對直線． 典型例題十一 例11　如圖所示，．在平面內(nèi)，是的斜線，．求與平面所成的角． 分析：求與平面所成角，關鍵是確定在平面上射影的位置．由，可考慮通過構造直角三角形，通過全等三角形來確

15、定位置，構造直角三角形則需用三垂線定理． 解：如圖所示，過作于．連結， 則為在面上的射影，為與平面所成的角． 作，由三重線定理可得． 作，同理可得． 由，，， 可得≌，∴． ∵、分別為、在內(nèi)射影，∴． 所以點在的平分線上． 設，又，∴，， ∴． 在中，， ∴，即與所成角為． 說明： (1)本題在得出在面上的射影為的平分線后，可由公式來計算與平面所成的角，此時，，． (2)由與平面上射影為平分線還可推出下面結論：四面體中，若，，則點在面上的射影為的內(nèi)心． 典型例題十二 例12　如圖所示，在平面內(nèi)有，在平面外有點，斜線，，且斜線、分別與平面所成的角相等，設點與

16、平面的距離為，，且．求點與直線的距離． 分析：由點向平面引垂線，考查垂足的位置，連、，推得，，又，故、、、為矩形的四個頂點． 解：作平面，垂足為，連、． ∵，， ∴由三垂線定理的逆定理，有：，， 又，∴為矩形． 又∵，∴，∴為正方形， ∴、互相垂直平分． 設為、的交點，連結， 根據(jù)三垂線定理，有，則為到的距離． 在中，，， ∴． 因此，點到的距離為． 說明：由本例可得到點到直線距離的作法： (1)若點、直線在確定平面內(nèi)，可直接由點向直線引垂線，這點和垂足的距離即為所求． (2)若點在直線所在平面外，可由三垂線定理確定：由這點向平面引垂線得垂足，由垂足引直線的垂

17、線得斜足，則這點與斜足的距離為點到直線的距離． (3)處理距離問題的基本步驟是：作、證、算，即作出符合要求的輔助線，然后證明所作距離符合定義，再通過解直角三角形進行計算． 典型例題十三 例13　如圖，是正方形，垂直于平面，過且垂直于的平面交、、分別于點、、，求證：，． 分析：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)定理，以及線線垂直和線面垂直相互轉化的思想．由于圖形的對稱性，所以兩個結論只需證一個即可．欲證，可證平面，為此須證、，進而轉化證明平面、平面． 證明：∵平面，平面， ∴． 又∵為正方形， ∴． ∴平面． ∵平面， ∴． 又∵平面， ∴． ∴平面． 又∵平面，

18、 ∴，同理可證． 說明：(1)證明線線垂直，常用的方法有：同一平面內(nèi)線線垂直、線面垂直的性質(zhì)定理，三垂線定理與它的逆定理，以及與兩條平行線中一條垂直就與另一條垂直．(2)本題的證明過程中反復交替使用“線線垂直”與“線面垂直”的相互聯(lián)系，充分體現(xiàn)了數(shù)學化思想的優(yōu)越性． 典型例題十四 例14　如圖，求證：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上． 已知：在平面內(nèi)，點，，，，垂足分別是、、，．求證：． 證明：∵， ∴為在內(nèi)的射影． ∵，， ∴． 同理可證：． 又∵，，， ∴． 說明：本題是一個較為典型的題目，與此題類似的

19、有下面命題：從一個角的頂點引這個角所在平面的斜射線，使斜射線和這個角兩邊的夾角相等，則斜射線在平面內(nèi)的射影，是這個角的平分線所在的直線．由此結論和上一個例題很容易求解下面這道題：已知，為平面外一點，，求與平面所成角． 典型例題十五 例15　判斷題：正確的在括號內(nèi)打“√”號，不正確的打“×”號． (1)一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的任何直線平行．（　?。? (2)如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直．（　?。? (3)垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊．（　?。? (4)過點垂直于直線的所有直線都在過點垂直于的平面內(nèi)．（　?。? (5)如果三條

20、共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面．（　?。? 解：(1)直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的直線的位置關系不外乎有兩種①平行　②異面，因此應打“×”號 (2)該命題的關鍵是這無數(shù)條直線具有怎樣的位置關系．①若為平行，則該命題應打“×”號；若為相交，則該命題應打“√”，正是因為這兩種情況可能同時具備，因此，不說明面內(nèi)無這數(shù)條線的位置關系，則該命題應打“×”號． (3)垂直于三角形兩邊的直線必垂直于三角形所在的平面，由線面垂直定義的逆用，則該直線必垂直于三角形的第三邊，∴該命題應打“√”． (4)前面介紹了兩個命題，①過一點有且只有一個平面與已知直線垂直，②過一點有且

21、只有一條直線與已知平面垂直，根據(jù)第一個命題知：過點垂直于直線的平面惟一，因此，過點且與直線垂直的直線都在過點且與直線垂直的平面內(nèi)，∴該命題應打“√”號． (5)三條共點直線兩兩垂直，設為，，且，，共點于， ∵，，，且，確定一平面，設為，則， 同理可知垂直于由，確定的平面，垂直于由了確定的平面， ∴該命題應打“√”號． 說明：本題是利用直線和平面垂直的定義及判定定理等知識來解答的問題．解答此類問題必須作到：概念清楚、問題理解透徹、相關知識能靈活運用． 典型例題十六 例16　如圖，已知空間四邊形的邊，，引，為垂足，作于，求證：． 分析：若證，只須利用直線和平面垂直的判定

22、定理，證垂直平面中兩條相交直線即可． 證明：取中點，連、， ∵，∴． 又∵，∴，∴， 又，∴ 又，∴，， 又，∴． 典型例題十七 例17　如果平面與外一條直線都垂直，那么． 已知：直線，，．求證：． 分析：若證線面平行，只須設法在平面內(nèi)找到一條直線，使得，由線面平行判定定理得證． 證明：(1)如圖，若與相交，則由、確定平面，設． ． (2)如圖，若與不相交， 則在上任取一點，過作，、確定平面，設． ． 典型例題十八 例18　如圖，已知在中，，線段，，為垂足． 求證：不可能是的垂心． 分析：根據(jù)本題所證結論，可采用反證法予以證明． 證明

23、：如圖所示，假設是的垂心，則． ∵，∴， ∴，∴． 又∵，∴， ∴， ∴，這與已知矛盾， ∴假設不成立，故不可能是的垂心． 說明：本題只要滿足，此題的結論總成立．不妨給予證明． 典型例題十九 例19　在空間，下列哪些命題是正確的（　?。? ①平行于同一條直線的兩條直線互相平行 ②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 ③平行于同一個平面的兩條直線互相平行 ④垂直于不一個平面的兩條直線互相平行 A．僅②不正確　　　　B．僅①、④正確 C．僅①正確　　　　　D．四個命題都正確 分析：①該命題就是平行公理，即課本中的公理4，因此該命題是正確的；②如圖，直線平面，，，且

24、，則，，即平面內(nèi)兩條直交直線，都垂直于同一條直線，但，的位置關系并不是平行．另外，，的位置關系也可以是異面，如果把直線平移到平面外，此時與的位置關系仍是垂直，但此時，，的位置關系是異面． ③如圖，在正方體中，易知，，但，因此該命題是錯誤的． ④該命題是線面垂直的性質(zhì)定理，因此是正確的． 綜上可知①、④正確． ∴應選B． 典型例題二十 例20　設，為異面直線，為它們的公垂線 (1)若，都平行于平面，則； (2)若，分別垂直于平面、，且，則． 分析：依據(jù)直線和平面垂直的判定定理證明；證明線與線的平行，由于此時垂直的關系較多，因此可以考慮利用線面垂直的性質(zhì)證明． 　　

25、　　　 圖１　　　　　　　　　　　圖２ 證明：(1)如圖1，在內(nèi)任取一點，設直線與點確定的平面與平面的交線為， 設直線與點確定的平面與平面的交線為 ∵，，∴， 又∵，，∴，， ∴． (2)如圖2，過作，則， 則 又∵，∴垂直于由和確定的平面． ∵，∴，，∴． ∴也垂直于由和確定的平面． 故． 說明：由第(2)問的證明可以看出：利用線面垂直的性質(zhì)證明線與線的平行，其關鍵是構造出平面，使所證線皆與該平面垂直．如題中，通過作出輔助線，構造出平面，即由相交直線與確定的平面．然后借助于題目中的其他垂直關系證得． 典型例題二十一 例21　如圖，在正方體中，為異面直線與的公

26、垂線，求證：． 分析：證明，構造與、都垂直的平面是關鍵．由于是和的公垂線，這一條件對構造線面垂直十分有用． 證明：連結，由于，， ∴． 又，， ∴．　　　?、? ∵，， ∴． ∵四邊形為正方形， ∴，， ∴， 而，∴． 同理，， ∴．　　?、? 由①、②可知：． 典型例題二十二 例22　如圖，已知為外一點，、、兩兩垂直，，求點到平面的距離． 分析：欲求點到平面的距離，可先過點作平面的垂線，進一步求出垂線段的長． 解：過作于點，連、、， ∴，， ∵， ∴≌≌， ∴， ∴為的外心． ∵、、兩兩垂直， ∴，為正三角形， ∴，∴． 因此點到

27、平面的距離． 說明：(1)求點到平面距離的基本程序是：首先找到或作出要求的距離；然后使所求距離在某一個三角形中；最后在三角形中根據(jù)三角形的邊角關系求出距離． (2)求距離問題轉化到解三角形有關問題后，在三角形中求距離常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有關三角函數(shù)知識． (3)點到平面距離是立體幾何中一個重要內(nèi)容，高考命題中出現(xiàn)較多，應充分注意，除了上面提到方法之外，還有其他一些方法，比如以后學習的等積法，希望同學們在學習過程不斷總結． 典型例題二十三 例23　如圖，已知在長方體中，棱，，求直線和平面的距離． 分析：求線面距離，其基本方法是在線上選一點，作出點面距，距

28、離然后根據(jù)求點面距的有關方法求解． 解：如圖，∵，且，， ∴． 從而點到平面的距離即為所求． 過點作于， ∵，且， ∴． 又， ∴． 即線段的長即為所求， 在中，， ∴直線到平面的距離為． 說明：本題考查長方體的性質(zhì)，線面距離的概念等基礎知識以及計算能力和轉化的數(shù)學思想，解答本題的關鍵是把線面距離轉化為點面距離，進而轉化為點線距離，再通過解三角形求解，這種轉化的思想非常重要，數(shù)學解題的過程就是將復雜轉化為簡單，將未知轉化為已知，從而求解． 典型例題二十四 例24　、分別為兩條異面直線上的兩條線段，已知這兩條異面直線所成的角為，，，．求線段的長． 分析：首先依據(jù)題意，畫出圖形，利用平移，將異面直線、所成的角、垂直關系轉化到某一個或某幾個平面內(nèi)，應用平面幾何有關知識計算出之長． 解：如圖，在平面內(nèi)，過作，過作，兩線交于． ∵， ∴就是、所成的角， ． ∵， ∴四邊形是矩形．連， ∵，，且， ∴． ∵，∴．∵，∴． 在中，得，∴． 說明：解決空間問題，常常將空間關系轉化一個或幾個平面上來，只有將空間問題歸化到平面上來，才能應用平面幾何知識解題，而平移變換是轉化的重要手段．