2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 直線與平面的垂直判定和性質(zhì) 理

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1、2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——直線與平面的垂直判定和性質(zhì) 典型例題一 例1下列圖形中，滿足唯一性的是（ ）． A．過(guò)直線外一點(diǎn)作與該直線垂直的直線 B．過(guò)直線外一點(diǎn)與該直線平行的平面 C．過(guò)平面外一點(diǎn)與平面平行的直線 D．過(guò)一點(diǎn)作已知平面的垂線 分析：本題考查的是空間線線關(guān)系和線面關(guān)系，對(duì)定義的準(zhǔn)確理解是解本題的關(guān)鍵．要注意空間垂直并非一定相關(guān)． 解：A．過(guò)直線外一點(diǎn)作與這條直線垂直的直線，由于并沒(méi)有強(qiáng)調(diào)相交，所以這樣的垂線可以作無(wú)數(shù)條．事實(shí)上這無(wú)數(shù)條直線還在同一個(gè)平面內(nèi)，這個(gè)平面為該直線的一個(gè)垂面． B．過(guò)直線外一點(diǎn)可以作一條而且僅能作一條直線與該

2、直線平行，但可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面和該直線平行． C．過(guò)此點(diǎn)作平面內(nèi)任一直線的平行線，這條平行線都平行于平面．所以過(guò)平面外一點(diǎn)與平面平行的直線應(yīng)有無(wú)數(shù)條． D．過(guò)一點(diǎn)作已知平面的垂線是有且僅有一條．假設(shè)空間點(diǎn)、平面，過(guò)點(diǎn)有兩條直線、都垂直于，由于、為相交直線，不妨設(shè)、所確定的平面為，與的交線為，則必有，，又由于、、都在平面內(nèi)，這樣在內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)就有兩條直線和直線垂直，與平面幾何中經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有縣僅有一條直線與已知直線垂直相矛盾． 故選D． 說(shuō)明：有關(guān)“唯一性”結(jié)論的問(wèn)題，常用反證法，或者借助于其它已證明過(guò)的唯一性命題來(lái)證明．在本書(shū)中，過(guò)一點(diǎn)作已知平面的垂線有且僅有一條，同時(shí)，過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂面也

3、是有且僅有一個(gè)．它們都是“唯一性”命題，在空間作圖題中常常用到． 典型例題二 例2 已知下列命題： （1）若一直線垂直于一個(gè)平面的一條斜線，則該直線必垂直于斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影； （2）平面內(nèi)與這個(gè)平面的一條斜線垂直的直線互相平行； （3）若平面外的兩條直線，在這個(gè)平面上的射影互相垂直，則這兩條直線互相垂直； （4）若兩條直線互相垂直，且其中的一條平行一個(gè)平面，另一條是這個(gè)平面的斜線，則這兩條直線在這個(gè)平面上的射影互相垂直． 上述命題正確的是（ ）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4） 分析

4、：本題考查的三垂線定理及其逆定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用．應(yīng)用這兩個(gè)定理時(shí)要特別注意“平面內(nèi)”這一條件，同時(shí)要注意各種不同位置的兩定理的基本圖形及其變式圖形． 解：（1）已知直線不一定在平面內(nèi)，所以不能用三垂線逆定理來(lái)判斷垂直關(guān)系； （2）平面內(nèi)與這個(gè)平面的一條斜線垂直的直線必定與斜線在平面內(nèi)的射影垂直，所以它們之間也平行； （3）根據(jù)三垂線定理可證明直線與另一直線的射影垂直，但不能進(jìn)一步說(shuō)明直線和直線垂直； （4）根據(jù)三垂線定理的逆定理和空間兩直線所成角的概念，不難證明此命題的正確性． 故選D． 說(shuō)明：（3）中若一直線與另一直線的射影垂直，則有另一直線必與這一直線的射影垂直．如在正方體中，分別

5、為棱和上的點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，且，，求． 典型例題三 例3 如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，是底面正方形的中心，求證：平面． 分析：本題考查的是線面垂直的判定方法．根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明平面，只要在平面內(nèi)找兩條相交直線與垂直． 證明：連結(jié)、、，在△中， ∵分別是和的中點(diǎn)， ∴． ∵面， ∴為在面內(nèi)的射影． 又∵， ∴． 同理可證，． 又∵，、面， ∴平面． ∵， ∴平面． 另證：連結(jié)，，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，易證． 又∵， ∴． 在正方體中易求出： ， ， ． ∵， ∴． ∵，、平面， ∴平面． 說(shuō)明：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何

6、證明線面垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法．在證明線線垂直時(shí)既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用． 典型例題四 例4 如圖，在△中，，平面，點(diǎn)在和上的射影分別為，求證：． 分析：本題考查的仍是線面垂直的判定和性質(zhì)定理，以及線線垂直和線面垂直相互轉(zhuǎn)化思想．欲證，可證面，為此須證，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為證明平面，而已知，所以只要證即可．由于圖中線線垂直、線面垂直關(guān)系較多，所以本題也可以利用三垂線定理和逆定理來(lái)證線線垂直． 證明：∵面，平面， ∴． ∵，即，， ∴平面． ∵平面． ∴． 又∵，， ∴平面． ∵平面， ∴，

7、又∵，， ∴平面． ∵平面． ∴． 另證：由上面可證平面． ∴為在平面內(nèi)的射影． ∵， ∴． 說(shuō)明：在上面的證題過(guò)程中我們可以看出，證明線線垂直常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，而證明線面垂直又轉(zhuǎn)化為證明線線垂直．立體幾何中的證明常常是在這種相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的．本題若改為下題，想想如何證：已知⊙所在平面，為⊙的直徑，為⊙上任意一點(diǎn)（與不重合）．過(guò)點(diǎn)作的垂面交、于點(diǎn)，求證：． 典型例題五 例5 如圖，為平面的斜線，為斜足，垂直平面于點(diǎn)，為平面內(nèi)的直線，，，，求證：． 分析：本題考查的是線面角的定義和計(jì)算．要證明三個(gè)角余弦值之間關(guān)系，可考慮構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中求

8、出三個(gè)角的余弦值，再代入驗(yàn)證證明，其中構(gòu)造直角三角形則需要用三垂線定理或逆定理． 證明：過(guò)點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，連． ∵， ∴在平面內(nèi)射影為． ∵，， ∴． 在△中有： ① 在△中有： ② 在△中有： ③ 由①、②、③可得：． 說(shuō)明：由此題結(jié)論易知：斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．若平面的斜線與平面所成角為，則斜線與平面內(nèi)其它直線所成角的范圍為． 典型例題六 例6 如圖，已知正方形邊長(zhǎng)為4，平面，，分別是中點(diǎn)，求

9、點(diǎn)到平面的距離． 分析：此題是1991年高考題，考查了直線與直線、直線與平面等位置關(guān)系以及邏輯推理和空間想像能力．本題是求平面外一點(diǎn)到平面的距離，可用轉(zhuǎn)移法將該點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為求另一點(diǎn)到該平面的距離．為此要尋找過(guò)點(diǎn)與平面平行的直線，因?yàn)榕c平面平行的直線上所有點(diǎn)到平面的距離相等． 證明：連結(jié)，和分別交于，連，作于． ∵為正方形，分別為的中點(diǎn)， ∴，為中點(diǎn)． ∵，平面， ∴平面． ∴與平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離． ∵，∴． ∵面，∴． ∵， ∴平面． ∵平面， ∴． 又∵，， ∴平面． 即長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面的距離． ∵正方形邊長(zhǎng)為4，， ∴，，． 在△中，．

10、 在△中，． 說(shuō)明：求點(diǎn)到平面的距離常用三種方法：一是直接法．由該點(diǎn)向平面引垂線，直接計(jì)算垂線段的長(zhǎng)．用此法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找到垂足位置．如本題可用下列證法：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)，作于，作交于，連結(jié)，再作于，可得平面，長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離．二是轉(zhuǎn)移法．將該點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離．三是體積法．已知棱錐的體積和底面的面積．求頂點(diǎn)到底面的距離，可逆用體積公式． 典型例題七 例7　如圖所示，直角所在平面外一點(diǎn)，且． (1)求證：點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)的連線面； (2)若直角邊，求證：面． 分析：由等腰三角形底邊上的中線得到線線垂直，從而得到線面垂直． 證明：(1)在

11、等腰中，為中點(diǎn)，∴． 取中點(diǎn)，連、． ∵，，∴． 又，∴面，∴． ∴面（、是面內(nèi)兩相交直線）． (2)∵，∴． 又∵面，∴． ∵，∴面． 說(shuō)明：證明線面垂直的關(guān)鍵在于尋找直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．尋找途徑可由等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直，可由勾股定理進(jìn)行計(jì)算，可由線面垂直得線線垂直等． 典型例題八 例8　如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面． 　已知：，．求證：． 分析：由線面垂直的判定定理知，只需在內(nèi)找到兩條相交直線與垂直即可． 證明：如圖所示，在平面內(nèi)作兩條相交直線、． ∵，∴，． 又∵，從而有，． 由作圖知、為

12、內(nèi)兩條相交直線． ∴． 說(shuō)明：本題的結(jié)論可以作為判定線面垂直的依據(jù)，即當(dāng)要證的直線與平面的垂直關(guān)系不明確或不易證出時(shí)，可以考慮證明與已知直線平行的直線與平面垂直． 典型例題九 例9　如圖所示，已知平面平面=，為、外一點(diǎn)，于，于，于．證明：． 分析：先證、、、四點(diǎn)共面，再證明平面，從而得到． 證明：∵，，∴． ∴、、、四點(diǎn)共面． ∵，，，∴，． 又，∴平面． ∴． 說(shuō)明：與線面平行和線線平行交替使用一樣，線面垂直和線線垂直也?；闂l件和結(jié)論．即要證線面垂直，先找線線垂直；要證線線垂直，先找線面垂直．本題證明“、、、四點(diǎn)共面”非常重要，僅由平面，就斷定，則證明是無(wú)效的

13、． 典型例題十 例10　平面內(nèi)有一半圓，直徑，過(guò)作平面，在半圓上任取一點(diǎn)，連、，且、分別是在、上的射影． (1)求證：； (2)這個(gè)圖形中有多少個(gè)線面垂直關(guān)系？ (3)這個(gè)圖形中有多少個(gè)直角三角形？ (4)這個(gè)圖形中有多少對(duì)相互垂直的直線？ 分析：注意利用直線與直線、直線與平面垂直的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行判斷． (1)證明：連、．如上圖所示， ∵為已知圓的直徑，∴． ∵平面，，∴． ∵，∴平面． ∵平面，∴． ∵于，，∴平面． ∵于，且是在平面的射影，∴． 解(2)：由(1)知，平面，平面，平面． ∵且，∴平面， ∴圖中共有4個(gè)線面垂直關(guān)系． (3)∵平面，∴

14、、均為直角三角形． ∵平面，∴、均為直角三角形． ∵平面，∴、、均為直角三角形． ∵平面，∴、、、均為直角三角形． 綜上，圖中共有11個(gè)直角三角形． (4)由平面知，，，． 由平面知，，，． 由平面知，，，． 由平面知，，． 綜上，圖中共有11對(duì)互相垂直的直線． 說(shuō)明：為了保證(2)(3)(4)答案不出錯(cuò)，首先應(yīng)找準(zhǔn)(2)的答案，由“線面”可得到“線面內(nèi)線”，當(dāng)“線面內(nèi)線”且相交時(shí)，可得到直角三角形；當(dāng)“線面內(nèi)線”且不相交時(shí)，可得到異面且垂直的一對(duì)直線． 典型例題十一 例11　如圖所示，．在平面內(nèi)，是的斜線，．求與平面所成的角． 分析：求與平面所成角，關(guān)鍵是確

15、定在平面上射影的位置．由，可考慮通過(guò)構(gòu)造直角三角形，通過(guò)全等三角形來(lái)確定位置，構(gòu)造直角三角形則需用三垂線定理． 解：如圖所示，過(guò)作于．連結(jié)， 則為在面上的射影，為與平面所成的角． 作，由三重線定理可得． 作，同理可得． 由，，， 可得≌，∴． ∵、分別為、在內(nèi)射影，∴． 所以點(diǎn)在的平分線上． 設(shè)，又，∴，， ∴． 在中，， ∴，即與所成角為． 說(shuō)明： (1)本題在得出在面上的射影為的平分線后，可由公式來(lái)計(jì)算與平面所成的角，此時(shí)，，． (2)由與平面上射影為平分線還可推出下面結(jié)論：四面體中，若，，則點(diǎn)在面上的射影為的內(nèi)心． 典型例題十二 例12　如圖所示，在

16、平面內(nèi)有，在平面外有點(diǎn)，斜線，，且斜線、分別與平面所成的角相等，設(shè)點(diǎn)與平面的距離為，，且．求點(diǎn)與直線的距離． 分析：由點(diǎn)向平面引垂線，考查垂足的位置，連、，推得，，又，故、、、為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)． 解：作平面，垂足為，連、． ∵，， ∴由三垂線定理的逆定理，有：，， 又，∴為矩形． 又∵，∴，∴為正方形， ∴、互相垂直平分． 設(shè)為、的交點(diǎn)，連結(jié)， 根據(jù)三垂線定理，有，則為到的距離． 在中，，， ∴． 因此，點(diǎn)到的距離為． 說(shuō)明：由本例可得到點(diǎn)到直線距離的作法： (1)若點(diǎn)、直線在確定平面內(nèi)，可直接由點(diǎn)向直線引垂線，這點(diǎn)和垂足的距離即為所求． (2)若點(diǎn)在直線所在

17、平面外，可由三垂線定理確定：由這點(diǎn)向平面引垂線得垂足，由垂足引直線的垂線得斜足，則這點(diǎn)與斜足的距離為點(diǎn)到直線的距離． (3)處理距離問(wèn)題的基本步驟是：作、證、算，即作出符合要求的輔助線，然后證明所作距離符合定義，再通過(guò)解直角三角形進(jìn)行計(jì)算． 典型例題十三 例13　如圖，是正方形，垂直于平面，過(guò)且垂直于的平面交、、分別于點(diǎn)、、，求證：，． 分析：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)定理，以及線線垂直和線面垂直相互轉(zhuǎn)化的思想．由于圖形的對(duì)稱性，所以兩個(gè)結(jié)論只需證一個(gè)即可．欲證，可證平面，為此須證、，進(jìn)而轉(zhuǎn)化證明平面、平面． 證明：∵平面，平面， ∴． 又∵為正方形， ∴． ∴平面

18、． ∵平面， ∴． 又∵平面， ∴． ∴平面． 又∵平面， ∴，同理可證． 說(shuō)明：(1)證明線線垂直，常用的方法有：同一平面內(nèi)線線垂直、線面垂直的性質(zhì)定理，三垂線定理與它的逆定理，以及與兩條平行線中一條垂直就與另一條垂直．(2)本題的證明過(guò)程中反復(fù)交替使用“線線垂直”與“線面垂直”的相互聯(lián)系，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化思想的優(yōu)越性． 典型例題十四 例14　如圖，求證：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上． 已知：在平面內(nèi)，點(diǎn)，，，，垂足分別是、、，．求證：． 證明：∵， ∴為在內(nèi)的射影． ∵，， ∴． 同理可證：．

19、 又∵，，， ∴． 說(shuō)明：本題是一個(gè)較為典型的題目，與此題類(lèi)似的有下面命題：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜射線，使斜射線和這個(gè)角兩邊的夾角相等，則斜射線在平面內(nèi)的射影，是這個(gè)角的平分線所在的直線．由此結(jié)論和上一個(gè)例題很容易求解下面這道題：已知，為平面外一點(diǎn)，，求與平面所成角． 典型例題十五 例15　判斷題：正確的在括號(hào)內(nèi)打“√”號(hào)，不正確的打“×”號(hào)． (1)一條直線和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線平行．（　?。? (2)如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直．（　?。? (3)垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊．（　?。? (4)過(guò)點(diǎn)

20、垂直于直線的所有直線都在過(guò)點(diǎn)垂直于的平面內(nèi)．（　?。? (5)如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面．（　?。? 解：(1)直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系不外乎有兩種①平行　②異面，因此應(yīng)打“×”號(hào) (2)該命題的關(guān)鍵是這無(wú)數(shù)條直線具有怎樣的位置關(guān)系．①若為平行，則該命題應(yīng)打“×”號(hào)；若為相交，則該命題應(yīng)打“√”，正是因?yàn)檫@兩種情況可能同時(shí)具備，因此，不說(shuō)明面內(nèi)無(wú)這數(shù)條線的位置關(guān)系，則該命題應(yīng)打“×”號(hào)． (3)垂直于三角形兩邊的直線必垂直于三角形所在的平面，由線面垂直定義的逆用，則該直線必垂直于三角形的第三邊，∴該命題應(yīng)打“√”． (4)前

21、面介紹了兩個(gè)命題，①過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直，②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，根據(jù)第一個(gè)命題知：過(guò)點(diǎn)垂直于直線的平面惟一，因此，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線都在過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面內(nèi)，∴該命題應(yīng)打“√”號(hào)． (5)三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，設(shè)為，，且，，共點(diǎn)于， ∵，，，且，確定一平面，設(shè)為，則， 同理可知垂直于由，確定的平面，垂直于由了確定的平面， ∴該命題應(yīng)打“√”號(hào)． 說(shuō)明：本題是利用直線和平面垂直的定義及判定定理等知識(shí)來(lái)解答的問(wèn)題．解答此類(lèi)問(wèn)題必須作到：概念清楚、問(wèn)題理解透徹、相關(guān)知識(shí)能靈活運(yùn)用． 典型例題十六 例16　如圖，已知空間四邊形的邊，，引，

22、為垂足，作于，求證：． 分析：若證，只須利用直線和平面垂直的判定定理，證垂直平面中兩條相交直線即可． 證明：取中點(diǎn)，連、， ∵，∴． 又∵，∴，∴， 又，∴ 又，∴，， 又，∴． 典型例題十七 例17　如果平面與外一條直線都垂直，那么． 已知：直線，，．求證：． 分析：若證線面平行，只須設(shè)法在平面內(nèi)找到一條直線，使得，由線面平行判定定理得證． 證明：(1)如圖，若與相交，則由、確定平面，設(shè)． ． (2)如圖，若與不相交， 則在上任取一點(diǎn)，過(guò)作，、確定平面，設(shè)． ． 典型例題十八 例18　如圖，已知在中，，線段，，為垂足． 求證：不可能是

23、的垂心． 分析：根據(jù)本題所證結(jié)論，可采用反證法予以證明． 證明：如圖所示，假設(shè)是的垂心，則． ∵，∴， ∴，∴． 又∵，∴， ∴， ∴，這與已知矛盾， ∴假設(shè)不成立，故不可能是的垂心． 說(shuō)明：本題只要滿足，此題的結(jié)論總成立．不妨給予證明． 典型例題十九 例19　在空間，下列哪些命題是正確的（　?。? ①平行于同一條直線的兩條直線互相平行 ②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 ③平行于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行 ④垂直于不一個(gè)平面的兩條直線互相平行 A．僅②不正確　　　　B．僅①、④正確 C．僅①正確　　　　　D．四個(gè)命題都正確 分析：①該命題就是平

24、行公理，即課本中的公理4，因此該命題是正確的；②如圖，直線平面，，，且，則，，即平面內(nèi)兩條直交直線，都垂直于同一條直線，但，的位置關(guān)系并不是平行．另外，，的位置關(guān)系也可以是異面，如果把直線平移到平面外，此時(shí)與的位置關(guān)系仍是垂直，但此時(shí)，，的位置關(guān)系是異面． ③如圖，在正方體中，易知，，但，因此該命題是錯(cuò)誤的． ④該命題是線面垂直的性質(zhì)定理，因此是正確的． 綜上可知①、④正確． ∴應(yīng)選B． 典型例題二十 例20　設(shè)，為異面直線，為它們的公垂線 (1)若，都平行于平面，則； (2)若，分別垂直于平面、，且，則． 分析：依據(jù)直線和平面垂直的判定定理證明；證明線與線的平行

25、，由于此時(shí)垂直的關(guān)系較多，因此可以考慮利用線面垂直的性質(zhì)證明． 　　　　　 圖１　　　　　　　　　　　圖２ 證明：(1)如圖1，在內(nèi)任取一點(diǎn)，設(shè)直線與點(diǎn)確定的平面與平面的交線為， 設(shè)直線與點(diǎn)確定的平面與平面的交線為 ∵，，∴， 又∵，，∴，， ∴． (2)如圖2，過(guò)作，則， 則 又∵，∴垂直于由和確定的平面． ∵，∴，，∴． ∴也垂直于由和確定的平面． 故． 說(shuō)明：由第(2)問(wèn)的證明可以看出：利用線面垂直的性質(zhì)證明線與線的平行，其關(guān)鍵是構(gòu)造出平面，使所證線皆與該平面垂直．如題中，通過(guò)作出輔助線，構(gòu)造出平面，即由相交直線與確定的平面．然后借助于題目中的其他垂直關(guān)系證得

26、． 典型例題二十一 例21　如圖，在正方體中，為異面直線與的公垂線，求證：． 分析：證明，構(gòu)造與、都垂直的平面是關(guān)鍵．由于是和的公垂線，這一條件對(duì)構(gòu)造線面垂直十分有用． 證明：連結(jié)，由于，， ∴． 又，， ∴．　　　?、? ∵，， ∴． ∵四邊形為正方形， ∴，， ∴， 而，∴． 同理，， ∴．　　?、? 由①、②可知：． 典型例題二十二 例22　如圖，已知為外一點(diǎn)，、、兩兩垂直，，求點(diǎn)到平面的距離． 分析：欲求點(diǎn)到平面的距離，可先過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，進(jìn)一步求出垂線段的長(zhǎng)． 解：過(guò)作于點(diǎn)，連、、， ∴，， ∵， ∴≌≌， ∴， ∴為的

27、外心． ∵、、兩兩垂直， ∴，為正三角形， ∴，∴． 因此點(diǎn)到平面的距離． 說(shuō)明：(1)求點(diǎn)到平面距離的基本程序是：首先找到或作出要求的距離；然后使所求距離在某一個(gè)三角形中；最后在三角形中根據(jù)三角形的邊角關(guān)系求出距離． (2)求距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化到解三角形有關(guān)問(wèn)題后，在三角形中求距離常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有關(guān)三角函數(shù)知識(shí)． (3)點(diǎn)到平面距離是立體幾何中一個(gè)重要內(nèi)容，高考命題中出現(xiàn)較多，應(yīng)充分注意，除了上面提到方法之外，還有其他一些方法，比如以后學(xué)習(xí)的等積法，希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程不斷總結(jié)． 典型例題二十三 例23　如圖，已知在長(zhǎng)方體中，棱，，求直線和平面的距

28、離． 分析：求線面距離，其基本方法是在線上選一點(diǎn)，作出點(diǎn)面距，距離然后根據(jù)求點(diǎn)面距的有關(guān)方法求解． 解：如圖，∵，且，， ∴． 從而點(diǎn)到平面的距離即為所求． 過(guò)點(diǎn)作于， ∵，且， ∴． 又， ∴． 即線段的長(zhǎng)即為所求， 在中，， ∴直線到平面的距離為． 說(shuō)明：本題考查長(zhǎng)方體的性質(zhì)，線面距離的概念等基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，解答本題的關(guān)鍵是把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離，再通過(guò)解三角形求解，這種轉(zhuǎn)化的思想非常重要，數(shù)學(xué)解題的過(guò)程就是將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將未知轉(zhuǎn)化為已知，從而求解． 典型例題二十四 例24　、分別為兩條異面直線上的兩條線段，已知這兩條異面直線所成的角為，，，．求線段的長(zhǎng)． 分析：首先依據(jù)題意，畫(huà)出圖形，利用平移，將異面直線、所成的角、垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化到某一個(gè)或某幾個(gè)平面內(nèi)，應(yīng)用平面幾何有關(guān)知識(shí)計(jì)算出之長(zhǎng)． 解：如圖，在平面內(nèi)，過(guò)作，過(guò)作，兩線交于． ∵， ∴就是、所成的角， ． ∵， ∴四邊形是矩形．連， ∵，，且， ∴． ∵，∴．∵，∴． 在中，得，∴． 說(shuō)明：解決空間問(wèn)題，常常將空間關(guān)系轉(zhuǎn)化一個(gè)或幾個(gè)平面上來(lái)，只有將空間問(wèn)題歸化到平面上來(lái)，才能應(yīng)用平面幾何知識(shí)解題，而平移變換是轉(zhuǎn)化的重要手段．