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1、課題：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
教學目標：掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的的定理，并會簡單運用；
利用不等式求最值時要注意到“一正”“二定”“三相等”．
教學重點：均值不等式的靈活應用。
（一） 主要知識：
兩個數(shù)的均值不等式：若，則≥（等號僅當時成立）
三個數(shù)的均值不等式：若，則≥（等號僅當時成立）
幾個重要的不等式：
① ≤≤ ②≤；
③如果，則≥≥≥
最值定理：當兩個正數(shù)的和一定時，其乘積有最大值；當兩個正數(shù)的乘積一定時，其和
有最小值。
（二）主要方法：
常見構(gòu)造條件的變換：加項變換，系數(shù)變換，平方變換，拆項變換，常量代換，三角代換等.當
2、使用均值定理時等號不能成立時，應考慮函數(shù)的單調(diào)性（例如“對號”函數(shù)，導數(shù)法）.
（三）典例分析：
問題1．求下列函數(shù)的最值：
；；；
； ；
已知（為常數(shù)），，求的最小值
問題2．已知，，且，求 的最大值.
問題3．求最小值；
問題4．設，，且，則
已知≥，≥，且，求證：≤
若, 求的最小值
（四）課后作業(yè)：
已知那么的最小值是
已知：，求證：
若，
3、則的最大值是 此時，
已知，則的最小值為
已知實數(shù)滿足則的最小值和最大值分別為
， ， ， ，無最大值
求的最小值
當時，求證：．
已知正數(shù)、滿足,則的最大值是
下列函數(shù)中，的最小值為的是
若，且，則的最大值是
（內(nèi)江二中）已知，則的最小值是
4、
若是正實數(shù)，，則的最大值是
要使不等式對所有正數(shù)都成立，試問的最小值是
（屆高三西安市第一次質(zhì)檢），由不等式≥，≥，
≥，…，啟發(fā)我們得到推廣結(jié)論：
≥，則
已知：、，，求的最小值
（五）走向高考：
(湖南)設則以下不等式中不恒成立的是
（重慶）若是正數(shù)，則的最小值是
(福建文)下列結(jié)論正確的是
當且時，則 當時，
當≥時，的最小值為 當時，無最大值
（陜西）已知不等式≥對任意正實數(shù)恒成立,則正實數(shù)的
最小值為
5、
（重慶文）若且，則的最小值是
（重慶）若且,則的最小值為
（山東）函數(shù)（，）的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為
（山東文）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是
（上海）若，且，則的最大值是
（上海）若關于的不等式≤的解集是，則對任意實常數(shù)，總有 ， ，， ，
（上海）已知函數(shù)＝有如下性質(zhì)：如果常數(shù)＞0，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
如果函數(shù)＝（）的值域為，求的值；
研究函數(shù)＝（常數(shù)）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；
對函數(shù)＝和＝（常數(shù)）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)＝＋（是正整數(shù)）在區(qū)間上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）．
高三數(shù)學 第40課時 均值不等式教案
