高中數(shù)學(xué) 排列教案 新人教A版選修2-3

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1、排 列【教學(xué)目的】理解排列、排列數(shù)的概念，了解排列數(shù)公式的推導(dǎo)；能用“樹型圖”寫出一個排列中所有的排列；能用排列數(shù)公式計算?！窘虒W(xué)重點】排列、排列數(shù)的概念。【教學(xué)難點】排列數(shù)公式的推導(dǎo)一、問題情景問題1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項活動，其中一名同學(xué)參加上午的活動，一名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的方法？分析：這個問題就是從甲、乙、丙3名同學(xué)中每次選取2名同學(xué)，按照參加上午的活動在前，參加下午活動在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問題，共有6種不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的對象叫做元素。問題2從這四個字母中，每次取出3個按順序排成一列，

2、共有多少種不同的排法？分析：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊的字母，在4個字母中任取1個，有4種方法；第二步確定中間的字母，從余下的3個字母中取，有3種方法；第三步確定右邊的字母，從余下的2個字母中取，有2種方法由分步計數(shù)原理共有：432=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法二、數(shù)學(xué)構(gòu)建1排列的概念：從個不同元素中，任取（）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列。說明：（1）排列的定義包括兩個方面：取出元素，按一定的順序排列； （2）兩個排列相同的條件：元素完全相同，元素的排列順序也相同2排列數(shù)的定

3、義：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從個不同元素中，任取個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列。3排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：由的意義：假定有排好順序的2個空位，從個元素中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)由分步計數(shù)原理完成上述填空共有種填法，=由此，求可以按依次填3個空位來考慮，

4、=，求以按依次填個空位來考慮，得排列數(shù)公式如下：（）說明：（1）公式特征：第一個因數(shù)是，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是，共有個因數(shù)；（2）全排列：當(dāng)時即個不同元素全部取出的一個排列。全排列數(shù)公式如下：（叫做n的階乘） 4階乘的概念：個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列，這時；把正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘表示： ， 即規(guī)定5排列數(shù)的另一個計算公式： 即 =。三、知識運用【例1】計算：（1）； （2）； （3）解：（1） 3360 ；（2） 720 ；（3）360?！纠?】（1）若，則 ， （2）若則用排列數(shù)符號表示為 解：（1）17，14 （2）若則 【例

5、3】（1）從這五個數(shù)字中，任取2個數(shù)字組成分?jǐn)?shù)，不同值的分?jǐn)?shù)共有多少個？（2）5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？（3）某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14隊參加，每隊都要與其余各隊在主客場分別比賽1次，共進(jìn)行多少場比賽？解：（1）；（2）；（3）【例4】計算：； 解：原式=；原式【例5】解方程：3解：由排列數(shù)公式得：， ，即，解得 或，且，原方程的解為【例6】解不等式：解：原不等式即，也就是，化簡得：，解得或，又，且，所以，原不等式的解集為【例7】求證：（1）；（2）證明：（1），原式成立（2）右邊 原式成立說明：（1）解含排列數(shù)的方程和不等式時要注意排列數(shù)中，且這些限制條件，要注意含排

6、列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；（2）公式常用來求值，特別是均為已知時，公式=，常用來證明或化簡。【例8】化簡：；。解：原式提示：由，得，原式。說明：【例9】（1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：（1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從5個元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是：，所以，共有60種不同的送法（2）由于有5種不同的書，送給每個同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書的不同方法種數(shù)是：，所以，共有12

7、5種不同的送法說明：本題兩小題的區(qū)別在于：第（1）小題是從5本不同的書中選出3本分送給3位同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，各人得到那種書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步計數(shù)原理進(jìn)行計算【例10】某信號兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？解：分3類：第一類用1面旗表示的信號有種；第二類用2面旗表示的信號有種；第三類用3面旗表示的信號有種，由分類計數(shù)原理，所求的信號種數(shù)是：，答：一共可以表示15種不同的信號例3將位司機、位售票

8、員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個問題可以分為兩步，第一步：把位司機分配到四輛不同班次的公共汽車上，即從個不同元素中取出個元素排成一列，有種方法；第二步：把位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有種方法，利用分步計數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)解：由分步計數(shù)原理，分配方案共有（種）答：共有576種不同的分配方案【例11】用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解法1：用分步計數(shù)原理：所求的三位數(shù)的個數(shù)是：解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有個，個位數(shù)字是0的三位數(shù)有個，十

9、位數(shù)字是0的三位數(shù)有個，由分類計數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是：解法3：從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為，其中以0為排頭的排列數(shù)為，因此符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是-說明：解決排列應(yīng)用題，常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過對問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惡头植剑苯佑嬎惴蠗l件的排列數(shù)如解法1，2；間接法：對于有限制條件的排列應(yīng)用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數(shù)求出來，然后再減去不符合限制條件的情況種數(shù)如解法3對于有限制條件的排列應(yīng)用題，要恰當(dāng)?shù)卮_定分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)，防止重復(fù)與遺漏【例12】（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：7個元素的全排列5040（

10、2）7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計數(shù)原理：76543217！5040（3）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列=720（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有種；第二步 余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種，所以，共有=240種排列方法（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）

11、有種方法，所以一共有2400種排列方法解法2：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有=2400種說明：對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，對某些特殊元素可以優(yōu)先考慮【例13】從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單，如果某女演員的獨唱節(jié)目一定不能排在第二個節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？解法一：（從特殊位置考慮）；解法二：（從特殊元素考慮）若選：；若不選：，則共有種；解法三：（間接法）【例14】 7位同學(xué)站成一排，（1）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先

12、將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有種方法；再將甲、乙兩個同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法所以這樣的排法一共有種（2）甲、乙和丙三個同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有720種（3）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和排尾，有種方法；將剩下的4個元素進(jìn)行全排列有種方法；最后將甲、乙兩個同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法所以這樣的排法一共有960種方法解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”

13、在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，若丙站在排頭或排尾有2種方法，所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有種方法，再將其余的5個元素進(jìn)行全排列共有種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以，這樣的排法一共有960種方法（4）甲、乙、丙三個同學(xué)必須站在一起，另外四個人也必須站在一起解：將甲、乙、丙三個同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，另外四個人“捆綁”在一起看成一個元素，時一共有2個元素，一共有排法種數(shù)：（種）說明：對于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）【例15】位同

14、學(xué)站成一排，（1）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？解法一：（排除法）；解法二：（插空法）先將其余五個同學(xué)排好有種方法，此時他們留下六個位置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個位置（空）有種方法，所以一共有種方法（2）甲、乙和丙三個同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？解：先將其余四個同學(xué)排好有種方法，此時他們留下五個“空”，再將甲、乙和丙三個同學(xué)分別插入這五個“空”有種方法，所以一共有1440種說明：對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）【例16】5男5女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（1）男女相間；（2）女生按指定順序排列。解：（1）先將男生排好，有種排法；再將5

15、名女生插在男生之間的6個“空擋”（包括兩端）中，有種排法。故本題的排法有（種）；（2）方法1：；方法2：設(shè)想有10個位置，先將男生排在其中的任意5個位置上，有種排法；余下的5個位置排女生，因為女生的位置已經(jīng)指定，所以她們只有一種排法。故本題的結(jié)論為（種）四、課堂練習(xí)（一） 1四支足球隊爭奪冠、亞軍，不同的結(jié)果有（） 種 10種 12種 16種2信號兵用3種不同顏色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信號有（ ）3種 6種 1種 27種3且則用排列數(shù)符號表示為（ ） 45人站成一排照相，甲不站在排頭的排法有（ ） 24種 72種 96種 120種5給出下列問題：有10個車站，共需要準(zhǔn)備多

16、少種車票？有10個車站，共有多少中不同的票價？平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？有10個同學(xué)，假期約定每兩人通電話一次，共需通話多少次？從10個同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽，有多少中選派方法？以上問題中，屬于排列問題的是 （填寫問題的編號）6若 ，則以為坐標(biāo)的點共有 個7從參加乒乓球團(tuán)體比賽的5名運動員中選出3名進(jìn)行某場比賽，并排定他們的出場順序，有多少種不同的方法？8從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行試驗，有多少中不同的種植方法？9計算：（1） （2）10分別寫出從這4個字母里每次取出兩個字母的所有排列；11寫出從這六個元素中每次取出3個元素且

17、必須含有元素的所有排列答案：1. C 2. B 3. C 4. B 5. 6. 63 7. 60 8. 24 9. 348；64 10.共有個：ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc 11. 共有個，具體的排列略（二） 1若，則 （ ） 2與不等的是 （ ） 3若，則的值為 （ ） 4計算： ； 5若，則的解集是 6（1）已知，那么 ；（2）已知，那么= ；（3）已知，那么 ；（4）已知，那么 7一個火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火車）？8一部紀(jì)錄影片在4個單位輪映，每一單位放映1場，

18、有多少種輪映次序？答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. 6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 （三）1將1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，沒格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法（ ）種. 6 9 11 232有5列火車停在某車站并排的五條軌道上，若快車A不能停在第三條軌道上，貨車B不能停在第一條軌道上，則五列火車的停車方法有（ ）種.78 72 120 96 3由0，3，5，7這五個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中是5的倍數(shù)的共有多少個（ ）9 21 24 42 4從七個數(shù)中，每次選不重

19、復(fù)的三個數(shù)作為直線方程的系數(shù)，則傾斜角為鈍角的直線共有（ ）條. 14 30 70 60 5從4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行實驗，有 _種不同的種植方法 69位同學(xué)排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，這樣的排法種數(shù)共有 種。7（1）由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？ （2）由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字，并且比13000大的正整數(shù)？8學(xué)校要安排一場文藝晚會的11個節(jié)目的出場順序，除第1個節(jié)目和最后1個節(jié)目已確定外，4個音樂節(jié)目要求排在第2、5、7、10的位置， 3個舞蹈節(jié)目要求排在第3、6、9的位置，2個曲藝節(jié)

20、目要求排在第4、8的位置，共有多少種不同的排法？9某產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過5道工序，（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少種排列加工順序的方法？（2）如果其中某兩工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少種排列加工順序的方法？10一天的課表有6節(jié)課，其中上午4節(jié)，下午2節(jié)，要排語文、數(shù)學(xué)、外語、微機、體育、地理六節(jié)課，要求上午不排體育，數(shù)學(xué)必須排在上午，微機必須排在下午，共有多少種不同的排法？11. 由數(shù)字0，1，2，3，4，（1）可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字且比20000大的自然數(shù)？（2）2不在千位，且4不在十位的五位數(shù)有多少個？ 答案：1. B 2. A 3. B 4. C 5. 24 6.

21、 166320 7.325； 1148. 288 9.96； 36 10. 4811. （1）,（2）（） （四）1停車場上有一排七個停車位，現(xiàn)有四輛汽車需要停放，若要使三個空位連在一起，則停放方法數(shù)為（ ） 2五種不同商品在貨架上排成一排，其中兩種必須連排，而兩種不能連排，則不同的排法共有（ ）12種 20種 24種 48種 36張同排連號的電影票，分給3名教師與3名學(xué)生，若要求師生相間而坐，則不同的分法有（ ） 4某人射出8發(fā)子彈，命中4發(fā)，若命中的4發(fā)中僅有3發(fā)是連在一起的，那么該人射出的8發(fā)，按“命中”與“不命中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有（ ）720種 480種 24種 20種 5設(shè)且，

22、則在直角坐標(biāo)系中滿足條件的點共有 個67人站一排，甲不站排頭，也不站排尾，不同的站法種數(shù)有 種；甲不站排頭，乙不站排尾，不同站法種數(shù)有 種7一部電影在相鄰5個城市輪流放映，每個城市都有3個放映點，如果規(guī)定必須在一個城市的各個放映點放映完以后才能轉(zhuǎn)入另一個城市，則不同的輪映次序有 種（只列式，不計算）8一天課表中，6節(jié)課要安排3門理科，3門文科，要使文、理科間排，不同的排課方法有 種；要使3門理科的數(shù)學(xué)與物理連排，化學(xué)不得與數(shù)學(xué)、物理連排，不同的排課方法有 種9某商場中有10個展架排成一排，展示10臺不同的電視機，其中甲廠5臺，乙廠3臺，丙廠2臺，若要求同廠的產(chǎn)品分別集中，且甲廠產(chǎn)品不放兩端，則

23、不同的陳列方式有多少種？10用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中（1）三個偶數(shù)字連在一起的四位數(shù)有多少個？（2）十位數(shù)字比個位數(shù)字大的有多少個？11在上題中，含有2和3并且2和3不相鄰的四位數(shù)有多少個？答案：1. C 2. C 3. D 4. D 5. 6 6. 3600, 3720 7. 8. 72, 144 9. 10.30； 15011. 66種四、課堂小結(jié) 1對有約束條件的排列問題，應(yīng)注意如下類型： 某些元素不能在或必須排列在某一位置；某些元素要求連排（即必須相鄰）；某些元素要求分離（即不能相鄰）2基本的解題方法：有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法）；某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看作一個元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；某些元素不相鄰排列時，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”；在處理排列問題時，一般可采用直接和間接兩種思維形式，從而尋求有效的解題途徑，這是學(xué)好排列問題的根基 。