2020版高考數學 3年高考2年模擬 第12章 極限

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1、第十五章 極限第一部分 五年高考薈萃2020年高考題 一、選擇題 1.（重慶理. 3）已知，則 （A） (B) 2 (C) 3 (D) 6 答案 D 二、填空題 2.（上海文. 2）計算= 答案 3. 在等差數列中，，則__________ 答案 74 三、簡答題 4.（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分）設實數數列的前項和，滿足 （Ⅰ）若成等比數列，求和； （Ⅱ）求證：對有 解：（Ⅰ）由題意，因為所以；

2、 由； （Ⅱ）易見，所以 ； 從而時有： 因為，且，所以； 要證，只要證， 即證此式顯然成立， 所以時有。 最后證，若不然，，又，故 即，矛盾，所以（）。 2020年高考題 一、選擇題: 1.(2020年高考數學湖北卷理科7）如圖，在半徑為r的圓內作內接正六邊形，再作正六邊形的內切圓， 又在此內切圓內作內接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去.設為前個 圓的面積之和，則 A． B. C. D. 【答案】C 2．（2020年高考四川卷理

3、科2）下列四個圖像所表示的函數，在點處連續(xù)的是 （A） （B） （C） （D） 解析：由圖象及函數連續(xù)的性質知，D正確. 答案：D 3．（2020年高考四川卷理科8）已知數列的首項，其前項的和為，且，則 （A）0 （B） （C） 1 （D）2 解析：由,且 作差得an＋2＝2an＋1 又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 T a2＝2a1 故{an}是公比為2的等比數列 Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2

4、n－1)a1 則 答案：B 4．（2020年高考江西卷理科4） A． B． C． D．不存在 【答案】B 5.(2010年高考重慶市理科3)＝ （A） －1 （B） － （C） （D） 1 【答案】B 解析：=. 二、填空題： 1．（2020年高考上海市理科11）將直線、（，）x軸、y軸圍成的封閉圖形的面積記為，則 。 【答案】1 2． （2020年上海市春季高考14) 答案：。 解析：不妨取，…… 故 故，故答案為1. 三、解答題： 1．(2020年高考全國2卷理數18）（本小題滿分12

5、分） 已知數列的前項和． （Ⅰ）求； （Ⅱ）證明：． 【命題意圖】本試題主要考查數列基本公式的運用，數列極限和數列不等式的證明，考查考生運用所學知識解決問題的能力. 【參考答案】 【點評】2020年高考數學全國I、Ⅱ這兩套試卷都將數列題前置,一改往年的將數列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用，也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心. 估計以后的高考，對數列的考查主要涉及數列的基本公式、基本性質、遞推數列、數列求和、數列極限、簡單的數列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù).

6、 2020年高考題 一、選擇題 1、（09重慶理8）已知，其中，則的值為 （ ） A.6 B. C. D. 【解析】 答案 D 2、（09湖北理6）設， 則 （ ） A.-1 B.0 C.1 D. 【解析】令得令時 令時 兩式相加得： 兩式相減得： 代入極限式可得，故選B 答案 B 二、填空題 3、（09陜西理13）設等差數列的前n項和為,若,則 . 答案 1 第二部分 兩年模擬題 2020屆高三模擬題 題組

7、一 一、選擇題 1．（福建省廈門雙十中學2020屆高三12月月考題理）函數的零點所在的區(qū)間是（ ） （A）（0，1） （B）（1，10） （C）（10，100） （D）（100，+∞） 答案 B. 2. （廣西北海二中2020屆高三12月月考試題理）已知等比數列中，公比，且 為數列的前項和，則等于 （ ） A6 B C D 答案 B. 3．（黑龍江大慶實驗中學2020屆高三上學期期中考試理） 設，若函數有大于零的極值點，則（

8、 ） 答案 B. 4．（浙江省杭州市高級中學2020屆高三上學期第三次月考理）已知實數成等比數列，且對函數，當時取到極大值，則等于 ( ) A． B．0 C．1 D．2 答案 A. 二、填空題 5．（浙江省杭州二中2020屆高三11月月考試題文）若函數在處取極值，則___________． 答案：3. 6．（重慶市重慶八中2020屆高三第四次月考理）已知函數，在點處

9、連續(xù)，則 答案 . 7．（重慶市南開中學高2020級高三1月月考理） 若= 。 答案 –1. 三、簡答題 8．（浙江省溫州市嘯秋中學2020學年第一學期高三會考模擬試卷）已知函數在處取得極值． (1)求常數k的值； (2)求函數的單調區(qū)間與極值； 答案 解：(1)，由于在處取得極值， ∴可求得． ………2分 (2)由(1)可知，， 隨的變化情況如下表： 0 + 0 - 0 + 極大值 極小值 ∴當為增函數，為減函數； ………2分

10、∴極大值為極小值為 ………2分 9．（福建省廈門雙十中學2020屆高三12月月考題理）（本小題滿分14分）已知函數 （1）若函數在區(qū)間其中a >0，上存在極值，求實數a的取值范圍； （2）如果當時，不等式恒成立，求實數k的取值范圍； （3）求證. 答案 9.解：（Ⅰ）因為， x >0，則，…………1分 當時，；當時，. 所以在（0，1）上單調遞增；在上單調遞減， 所以函數在處取得極大值. …………3分 因為函數在區(qū)間（其中）上存在極值， 所以 解得.…………5

11、分 （Ⅱ）不等式即為 記 所以…………7分 令，則， ， 在上單調遞增， ，從而， 故在上也單調遞增， 所以，所以 . …………9分 （3）由（2）知：恒成立，即， 令，則 所以 , ， ，… … ， …………12分 疊加得： . 則，所以 …………14分 10．（福建省廈門雙十中學2020屆高三12月月考題理）（本小題滿分12分）已知函數，數列滿足． （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）求； （Ⅲ）求證：

12、 答案10 11.（黑龍江大慶實驗中學2020屆高三上學期期中考試理）（本題12分） 設函數 （Ⅰ）若時函數有三個互不相同的零點，求的范圍； （Ⅱ）若函數在內沒有極值點，求的范圍； （Ⅲ）若對任意的，不等式在上恒成立，求實數的取值范圍． 答案 11. 解：（1）當時， 因為有三個互不相同的零點，所以， 即有三個互不相同的實數根。 令，則。 因為在和均為減函數，在為增函數， 的取值范圍 -----------------------------------4分 （2）由題可知，方程在上沒有實數根， 因為，所以--------------------4分 （3

13、）∵，且， ∴函數的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為和； 當時，又， ∴而 ∴， 又∵在上恒成立， ∴，即，即在恒成立。 ∵的最小值為 ∴---------------------------------4分 12.（黑龍江省哈爾濱市第162中學2020屆高三第三次模擬理）（12分）設是函數的一個極值點。 （Ⅰ）、求與的關系式（用表示），并求的單調區(qū)間； （Ⅱ）、設，。若存在使得 成立，求的取值范圍。 答案 12.設是函數的一個極值點。 （Ⅰ）、求與的關系式（用表示），并求的單調區(qū)間； （Ⅱ）、設，。若存在使得成立，求的取值范圍。 點評：本小題主要考查函數、不等式和導數的

14、應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力。 解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x, 由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a， 則 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x ＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x. 令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是極值點， 所以x+a+1≠0，那么a≠－4. 當a<－4時，x2>3＝x1，則 在區(qū)間（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)為減函數； 在區(qū)間（3，

15、―a―1）上，f `(x)>0，f (x)為增函數； 在區(qū)間（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數。 當a>－4時，x2<3＝x1，則 在區(qū)間（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)為減函數； 在區(qū)間（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)為增函數； 在區(qū)間（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a>0時，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調遞增，在區(qū)間（3，4）上單調遞減，那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f

16、 (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6， 那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]. 又在區(qū)間[0，4]上是增函數， 且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]， 由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只須僅須 （a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0

17、B．線段AB和CD C．線段AD和BC D．線段AC和BD 答案 A. 2．（江西省2020屆理） 若的最小值為（ ） A．2 B． C． D．3 答案 C. 3. （江西省2020屆理）函數 的定義域是 （ ） A B D 答案 D. 4.（江蘇省2020屆數學理）右圖是函數的部分圖象，則函數的零點所在的區(qū)間是 （ ） A B

18、 D 答案 B. 5. （廣西桂林中學2020屆高三理）已知函數連續(xù)，則 ( ) Ａ. 　　 Ｂ.　 　 ?。? 　 ?。? 答案 B. 7．(廣東省河源市龍川一中2020屆高三文） 直線與圓相交于M,N兩點，若，則k的取值范圍是 A. B. C. D. 答案 A. 8．(河南信陽市2020屆高三理）設函數是定義在R上的以5為周期的奇函數，若，則的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 答案 A. 二 填空題 1．（江蘇泰興市重點中學2020屆

19、理）若的最大值為m，且f（x）為偶函數，則m+u=________________． 答案 1. 2、（江西省2020屆高三文）函數的定義域，值域都是區(qū)間[a,b]，則的值為 答案 4. 3、（江西省2020屆高三文）下列結論： ①； ②； ③成立的充分不必要條件； ④。 其中正確結論的序號為 答案 ②③ 4．（江西省2020屆高三理）函數y＝x2－2x在區(qū)間[a，b]上的值域是[－1，3]，則點(a，b)的軌跡是圖中的 A．線段AB和線段AD B．線段AB和線段CD C．線段AD和線段BC D．線段AC和線段BD 答案 A. 5.（

20、江西省2020屆高三理）若是偶函數，則的遞增區(qū)間為______________ 答案 （0，1] 。 6.（江蘇省2020屆高三理）定義在R上的奇函數，當時，，則當時， 答案 。 7.（江蘇省2020屆高三理）若定義運算 ，則函數的值域是 答案 3. 8.（江蘇省2020屆高三理）已知，若函數在R上是減函數，則實數的取值范圍是 答案 9．(廣西桂林中學2020屆高三理)若() =9， 則實數= . 答案 10、（江西省上高二中2020屆高三文）下列結論： ①； ②； ③成立的充分不

21、必要條件； ④。 其中正確結論的序號為 答案 、②③[ 三 解答題 1．（江蘇泰興市重點中學2020屆理）（本小題滿分16分） 如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對角線MN過C點。已知AB=3米，AD=2米。 （I）設（單位：米），要使花壇AMPN的面積大于32平方米，求的取值范圍； （II）若（單位：米），則當AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積。 答案 1．由于則AM＝

22、 故SAMPN＝AN?AM＝ …………4分 （1）由SAMPN > 32 得 > 32 ， 因為x >2，所以，即（3x－8）（x－8）> 0 從而 即AN長的取值范圍是…………8分 （2）令y＝，則y′＝ ………… 10分 因為當時，y′< 0，所以函數y＝在上為單調遞減函數， 從而當x＝3時y＝取得最大值，即花壇AMPN的面積最大27平方米， 此時AN＝3米，AM=9米 …………15 2．（江蘇泰興市重點中學2020屆理）（本題滿分16分） 已知函數，． （1）當時，若上單調遞減，求a的取值范圍； （2）求滿足下列條件

23、的所有整數對：存在，使得的最大值， 的最小值； （3）對滿足（II）中的條件的整數對，試構造一個定義在且 上的函數：使，且當時，． 答案2．1）當時，，…………………………………………………1分 若，，則在上單調遞減，符合題意；………3分 若，要使在上單調遞減， 必須滿足 ……………………………………………………………………5分 ∴．綜上所述，a的取值范圍是 …………………………………6分 （2）若，，則無最大值，………………………7分 故，∴為二次函數， 要使有最大值，必須滿足即且，…8分 此時，時，有最大值．……………………………………

24、…分 又取最小值時，，………………………………………………………分 依題意，有，則，…………分 ∵且，∴，得，………………分 此時或． ∴滿足條件的整數對是．……………………………12分 （3）當整數對是時， ，是以2為周期的周期函數，………………………分 又當時，,構造如下：當，則， ， 故… 3．（江蘇省2020屆數學理）函數的定義域為(0，1]（為實數）． ⑴當時，求函數的值域； ⑵若函數在定義域上是減函數，求的取值范圍； ⑶求函數在x∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函數取最值時的值． 答案 3、解：（1）顯然函數的值域為；

25、（2）若函數在定義域上是減函數，則任取且都有 成立， 即 只要即可，由，故，所以， 故的取值范圍是； （3）當時，函數在上單調增，無最小值，當時取得最大值； 由（2）得當時，函數在上單調減，無最大值 當x＝1時取得最小值2－a； 當時，函數在上單調減，在上單調增，無最大值， 當 時取得最小值． 4.（江蘇省2020屆高三理）已知函數 （1） 當，時，求函數的值域； （2） 若函數在上的最大值為1，求實數的值 答案 4.（本題滿分14分） 解（1） 由得，∴函數的定義域是…………（3分） ∵，∴是奇函數 ∴＝0…………………

26、……………………（3分） （若直接代入計算也給分 （2） ∵對恒成立 ∴在上是減函數………………………………（5分） ∴…………………………（3分） 5．（江蘇泰興2020屆高三理）（本小題滿分16分） 如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對角線MN過C點。已知AB=3米，AD=2米。 （I）設（單位：米），要使花壇AMPN的面積大于32平方米，求的取值范圍； （II）若（單位：米），則當AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積。 答案 5．由于則

27、AM＝ 故SAMPN＝AN?AM＝ …………4分 （1）由SAMPN > 32 得 > 32 ， 因為x >2，所以，即（3x－8）（x－8）> 0 從而 即AN長的取值范圍是…………8分 （2）令y＝，則y′＝ ………… 10分 因為當時，y′< 0，所以函數y＝在上為單調遞減函數， 從而當x＝3時y＝取得最大值，即花壇AMPN的面積最大27平方米， 此時AN＝3米，AM=9米 …………15 6．（福建省福州八中2020屆高三理）（本小題15分） 已知函數f (x)=ax3+bx2－3x在x=±1處取得極值. （Ⅰ）

28、求函數f (x)的解析式； 　 （Ⅱ）求證：對于區(qū)間[－3，2]上任意兩個自變量的值x1，x2，對于任意一個正實數a都有|f (x1)－f (x2)|≤； （Ⅲ）若過點A（1，m）（m≠－2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍. 答案 6. （本小題15分）解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依題意，f′(1)=f′(－1)=0， 即…………………………………………1分 解得a=1，b=0. ∴f (x)=x3－3x.……………………………………………………3分 （II）∵f(x)=x3

29、－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)， 利用導數求得f(x)在區(qū)間[－3，2]上的最大值和最小值分別為： fmax(x)=f(－1)=f(2)=2，fmin(x)=f(-3)=－18………………………………4分 ∵對于區(qū)間[－3，2]上任意兩個自變量的值x1，x2， 都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)| |f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－18)=20………………………………6分 由條件可得，，當且僅當時，等號成立，即恒成立，∴對于任意一個正實數a都有|f (x1)－f (x2)|≤.………8分

30、 （III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)， ∵曲線方程為y=x3－3x，∴點A（1，m）不在曲線上. 設切點為M（x0，y0），則點M的坐標滿足 因，故切線的斜率為， 整理得. ∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線， ∴關于x0方程=0有三個實根.……………………10分 設g(x0)= ，則g′(x0)=6， 由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1. ∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減. ∴函數g(x0)= 的極值點為x0=0，x0=1………………12分 ∴關于x0方程=0有

31、三個實根的充要條件是 ，解得－3

32、考/資*源*網 ∴實數的值－2 …………………………3分 （II）由得或 …………………………4分 ①當時， 由得 由得 ∴函數得單調增區(qū)間為 ，單調減區(qū)間為 …………6分 ②當時，，同理可得函數得單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為 ………………………………8分 （II）假設存在滿足要求的兩點A，B，即在點A、B處的切線都與y軸垂直，則即解得或 ∴A,B 又線段AB與x軸有公共點，∴， …………………………1

33、0分 即 又，解得 所以當時，存在滿足要求的點A、B. …………………………13分 題組三 一、選擇題： 1.（四川省成都市2020屆高三第三次診斷理科）計算的結果是( ) (A) (B)3 (C) (D)2 【答案】B 【解析】因為 所以＝3 2. (四川省綿陽市2020年4月高三三診理科試題)=（ C ） （A）- （B）-5 （C） （D）0 3. （四川省雅安市2020屆高三第三次診斷性考試理科）已知函數在上連續(xù)，則( A ) A．2 B．1 C．0 D．1 4．（四川省自貢市2020屆高三

34、三診理科試題）設要使在 內連續(xù)，則的值為（ C ） A．6 B． C． D．[ (x≤1) (x＞1) 5．（四川省南充高中2020屆高三4月月考理科試題）已知函數 在點x＝1處連續(xù)，則f－1(3)＝（ C ） A．13 B．1 C． D． 6.（四川省眉山市2020年4月高三第二次診斷性考試理科）函數在處不連續(xù)，且存在，則的值等于（ D ） A． B． C． D． 7．（四川省瀘州市2020屆高三第二次教學質量診斷性考試理科）的值等于（ C ） A． B． C

35、． D． 二、填空題： M(x,y) ρ θ 0 x y 8. （四川省成都市2020屆高三第三次診斷文科）在平面直角坐標系中定義另一種坐標(“∠坐標”)如下：在平面直角坐標系中任意一點M(原點除外)，用ρ表示線段OM的長度，用θ表示以原點O為頂點，以射線Ox為始邊，射線OM為終邊的角，我們把有序實數對(ρ,θ)稱為點M的“∠坐標”. 有下列命題： ①“∠坐標”為(5，)，(5，)的點在平面直角坐標系中不重合； ②若點M的“∠坐標”為(2，)，則點M的平面直角坐標為(1，)； ③一直圓M在平面直角坐標系中的參數方程為(α為參數)，則該圓上的

36、點P的“∠坐標”滿足ρ2－4ρcosθ＋3＝0； ④點M的“∠坐標”滿足ρ2sinθ＝ρ2cosθ＋(θ∈(0,))，則點M到x軸的最短距離為2。 其中你認為正確的所有命題的序號是___________________. 【答案】①②③ 【解析】根據“∠坐標”的定義，我們可以得到“∠坐標”(ρ,θ)與直角坐標系中普通坐標(x,y)的轉換關系為： 或 利用這兩個轉換公式逐一檢驗即可知，①②③正確，④錯誤。 注：本題中的“∠坐標”實質上就是新教材中的“極坐標”。 9．（四川省資陽市2020學年度高三第三次高考模擬理）已知，點表示原點，點（），是向量與向量的夾角， ，設，則____

37、_____． 10．（四川省瀘州市2020屆高三第二次教學質量診斷性考試理科）在平面上取定一點，從出發(fā)引一條射線，再取定一個長度單位及計算角的正方向，合稱為一個極坐標系。這樣，平面上任一點的位置就可以用線段的長度以及從到的角度來確定，有序數對稱為點的極坐標，稱為點的極徑，稱為點的極角。在一個極坐標系下，給出下列命題： ①點的極徑為4，極角為；②有序數對與表示兩 個不同點； ③點關于極點的對稱點為 ④圓心在，半徑的圓的極坐標方程為； ⑤過點垂直極軸的直線方程為。其中真命題序號是 . ①③④ 11．(四川省成都市石室中學2020屆高三三診模擬理科)若，則a+b= 3 。