高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 第5節(jié) 對(duì)數(shù)函數(shù)（第3課時(shí)）基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）

5.3 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)1．理解并掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫(huà)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像．2．根據(jù)圖像掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．3．能利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)來(lái)比較大小、求定義域和值域、確定單調(diào)區(qū)間等．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)如下表所示：a＞10＜a＜1圖像性質(zhì)(1)定義域：______(1)定義域：______(2)值域：______(2)值域：______(3)過(guò)定點(diǎn)______，即當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0(3)過(guò)定點(diǎn)______，即當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0(4)當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0，0＜x＜1時(shí)，y＜0(4)當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0，0＜x＜1時(shí)，y＞0(5)是(0，＋∞)上的______(5)是(0，＋∞)上的______ ①對(duì)數(shù)logax的符號(hào)(x＞0，a＞0，a≠1)：當(dāng)x＜1，a＜1或x＞1，a＞1時(shí)，logax＞0，即當(dāng)真數(shù)x和底數(shù)a同大于(或小于)1時(shí)，對(duì)數(shù)logax＞0，也就是為正數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為“同正”；當(dāng)x＜1，a＞1或x＞1，a＜1時(shí)，logax＜0，即當(dāng)真數(shù)x和底數(shù)a中一個(gè)大于1，而另一個(gè)小于1時(shí)，也就是說(shuō)真數(shù)x和底數(shù)a的取值范圍“相異”時(shí)，對(duì)數(shù)logax＜0，即為負(fù)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為“異負(fù)”．因此對(duì)數(shù)的符號(hào)簡(jiǎn)稱(chēng)為“同正異負(fù)”．②助記口訣：對(duì)數(shù)增減有思路，函數(shù)圖像看底數(shù)，底數(shù)只能大于0，等于1來(lái)也不行．底數(shù)若是大于1，圖像從下往上增，底數(shù)0到1之間，圖像從上往下減．無(wú)論函數(shù)增和減，圖像都過(guò)(1,0)點(diǎn)．【做一做1－1】 函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的圖像過(guò)定點(diǎn)( )．A．(1,1) B．(1,0) C．(0,1) D．(0,0)【做一做1－2】 函數(shù)y＝的定義域是( )．A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)【做一做1－3】 函數(shù)y＝的值域是________．答案：(1)(0，＋∞)　(1)(0，＋∞)　(2)R　(2)R　(3)(1,0)　(3)(1,0)　(5)增函數(shù)　(5)減函數(shù)【做一做1－1】 B【做一做1－2】 D　使函數(shù)有意義，需log2x－2≥0，即log2x≥2＝log24，∴x≥4.【做一做1－3】 [－2，＋∞)　∵4x－x2≤4，∴(4x－x2)≥4＝－2.1．函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的底數(shù)變化對(duì)圖像位置有何影響？剖析：觀察圖像，注意變化規(guī)律：(1)上下比較：在直線x＝1的右側(cè)，a＞1時(shí)，a越大，圖像越靠近x軸，0＜a＜1時(shí)，a越小，圖像越靠近x軸．(2)左右比較：(比較圖像與y＝1的交點(diǎn))交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大，對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大．畫(huà)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的圖像時(shí)，應(yīng)牢牢抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(a,1)，(1,0)，.2．對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有什么區(qū)別和聯(lián)系？剖析：將對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)比列成表，如下表所示：名稱(chēng)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng)＝ax(a＞0，a≠1)y＝logax(a＞0，a≠1)定義域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)單調(diào)性當(dāng)a＞1時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)為減函數(shù)函數(shù)值變化情況當(dāng)a＞1時(shí)：若x＞0，則y＞1；若x＝0，則y＝1；若x＜0，則0＜y＜1當(dāng)a＞1時(shí)：若x＞1，則y＞0；若x＝1，則y＝0；若0＜x＜1，則y＜0當(dāng)0＜a＜1時(shí)：若x＞0，則0＜y＜1；若x＝0，則y＝1；若x＜0，則y＞1當(dāng)0＜a＜1時(shí)：若x＞1，則y＜0；若x＝1，則y＝0；若0＜x＜1，則y＞0圖像y＝ax(a＞0，a≠1)的圖像與y＝logax(a＞0，a≠1)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)通過(guò)將對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞1或0＜a＜1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是一致的；定義域和值域恰好相反；對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究對(duì)數(shù)函數(shù)．應(yīng)該注意到：這兩種函數(shù)都要求底數(shù)a＞0，a≠1.題型一 求定義域【例1】 求函數(shù)f(x)＝的定義域．分析：x取值需使被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)且真數(shù)為正實(shí)數(shù)．反思：求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時(shí)，除遵循前面已學(xué)習(xí)過(guò)的求函數(shù)定義域的方法外，還要對(duì)這種函數(shù)自身有如下要求：(1)要特別注意真數(shù)大于零；(2)要注意對(duì)數(shù)的底數(shù)；(3)按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性，有針對(duì)性地解不等式．題型二 比較大小【例2】 比較下列各組中兩個(gè)值的大?。?1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.141.分析：(1)構(gòu)造函數(shù)y＝log3x，利用其單調(diào)性比較；(2)分別比較與0的大?。?3)分類(lèi)討論底數(shù)a的取值范圍．反思：比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值大小的方法：①單調(diào)性法：當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)利用其單調(diào)性來(lái)比較大小，如本題(1)；②中間量法：當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)都不相同時(shí)，通常借助常數(shù)(常用－1,0,1)為媒介間接比較大小，如本題(2)；③分類(lèi)討論：當(dāng)?shù)讛?shù)與1的大小關(guān)系不確定時(shí)，要對(duì)底數(shù)與1的大小分類(lèi)討論，如本題(3)．題型三 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像【例3】 作出函數(shù)y＝log2|x＋1|的圖像，由圖像指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)明它的圖像可由y＝log2x的圖像經(jīng)過(guò)怎樣變換而得到．分析：反思：(1)掌握對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的圖像．(2)由y＝logax到y(tǒng)＝loga(x＋h)是平移變換，由y＝logax到y(tǒng)＝loga|x|是對(duì)稱(chēng)變換，有對(duì)稱(chēng)又有平移時(shí)，先對(duì)稱(chēng)再平移．(3)圖像與性質(zhì)是對(duì)應(yīng)的，由圖像得性質(zhì)較直觀、形象．題型四 求單調(diào)區(qū)間【例4】 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y＝； (2)y＝.分析：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然用復(fù)合函數(shù)判斷法，即“同增異減”，但要考慮函數(shù)的定義域．反思：有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，仍然用“同增異減”來(lái)處理，但要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，即真數(shù)必須大于零．答案：【例1】 解：要使函數(shù)有意義，需有即解得＜x≤1.∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?【例2】 解：(1)(單調(diào)性法)因?yàn)閥＝log3x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以log31.9＜log32.(2)(中間量法)因?yàn)閘og23＞log21＝0，log0.32＜0，所以log23＞log0.32.(3)(分類(lèi)討論)當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝logax在定義域上是增函數(shù)，則有l(wèi)ogaπ＞loga3.141；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝logax在定義域上是減函數(shù)，則有l(wèi)ogaπ＜loga3.141.綜上所得，當(dāng)a＞1時(shí)，logaπ＞loga3.141；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，logaπ＜loga3.141.【例3】 解：作出函數(shù)y＝log2x的圖像，將其關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)得到圖像y＝log2|x|的另一分支曲線．再將整個(gè)圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)y＝log2|x＋1|的圖像．如圖所示．由圖可得函數(shù)y＝log2|x＋1|的遞減區(qū)間為(－∞，－1)，遞增區(qū)間為(－1，＋∞)．【例4】 解：(1)令t＝x2－2x－3，則y＝在(0，＋∞)上遞減．而t＝x2－2x－3在(－∞，1]上遞減，在[1，＋∞)上遞增，但t＝x2－2x－3＞0，∴x＞3或x＜－1.故函數(shù)f(x)＝(x2－2x－3)的遞增區(qū)間為(－∞，－1)，遞減區(qū)間為(3，＋∞)．(2)令t＝ x，則t＝x在(0，＋∞)上遞減，而y＝t2－6t＋2在(－∞，3]上遞減，在[3，＋∞)上遞增， ∴t＝≤3，即x≥時(shí)，y＝()2－6＋2遞增；當(dāng)t＝≥3，即0＜x≤時(shí)，函數(shù)遞減．故函數(shù)y＝()2－6＋2的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.1 (2020廣東高考，文2)函數(shù)f(x)＝lg(x－1)的定義域是( )．A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)2 已知函數(shù)f(x)＝log(a＋1)x是(0，＋∞)上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是( )．A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－1,0) D．(0，＋∞)3 若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)等于( )．A．log2x B. C． D．2x－24 (2020浙江臺(tái)州高一期末)設(shè)f(x)＝則＝__________.5 比較loga2與loga3的大小(a＞0，a≠1)．答案：1．B　由x－1＞0，得x＞1，所以定義域?yàn)?1，＋∞)．2．D　由題意得a＋1＞1，解得a＞0.3．A　由題意，知f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴l(xiāng)oga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.故選A.4．0　，＝f(0)＝20－1＝0.5．解：設(shè)f(x)＝logax，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)＝logax是減函數(shù)，則f(2)＞f(3)，即loga2＞loga3；當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)＝logax是增函數(shù)，則f(2)＜f(3)，即loga2＜loga3.綜上可得，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga2＞loga3；當(dāng)a＞1時(shí)，loga2＜loga3.。