高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 第5節(jié) 對(duì)數(shù)函數(shù)（第3課時(shí)）基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）

《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 第5節(jié) 對(duì)數(shù)函數(shù)（第3課時(shí)）基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 第5節(jié) 對(duì)數(shù)函數(shù)（第3課時(shí)）基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）（5頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、5.3 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì) 1．理解并掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像． 2．根據(jù)圖像掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)． 3．能利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)來比較大小、求定義域和值域、確定單調(diào)區(qū)間等． 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì) 如下表所示： a＞1 0＜a＜1 圖像 性質(zhì) (1)定義域：______ (1)定義域：______ (2)值域：______ (2)值域：______ (3)過定點(diǎn)______， 即當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0 (3)過定點(diǎn)______， 即當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0 (4)當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0， 0＜x＜1時(shí)，y＜0 (4)當(dāng)x＞1時(shí)，y＜

2、0， 0＜x＜1時(shí)，y＞0 (5)是(0，＋∞)上的______ (5)是(0，＋∞)上的______ ①對(duì)數(shù)logax的符號(hào)(x＞0，a＞0，a≠1)： 當(dāng)x＜1，a＜1或x＞1，a＞1時(shí)，logax＞0，即當(dāng)真數(shù)x和底數(shù)a同大于(或小于)1時(shí)，對(duì)數(shù)logax＞0，也就是為正數(shù)，簡(jiǎn)稱為“同正”； 當(dāng)x＜1，a＞1或x＞1，a＜1時(shí)，logax＜0，即當(dāng)真數(shù)x和底數(shù)a中一個(gè)大于1，而另一個(gè)小于1時(shí)，也就是說真數(shù)x和底數(shù)a的取值范圍“相異”時(shí)，對(duì)數(shù)logax＜0，即為負(fù)數(shù)，簡(jiǎn)稱為“異負(fù)”． 因此對(duì)數(shù)的符號(hào)簡(jiǎn)稱為“同正異負(fù)”． ②助記口訣： 對(duì)數(shù)增減有思路，函

3、數(shù)圖像看底數(shù)， 底數(shù)只能大于0，等于1來也不行． 底數(shù)若是大于1，圖像從下往上增， 底數(shù)0到1之間，圖像從上往下減． 無論函數(shù)增和減，圖像都過(1,0)點(diǎn)． 【做一做1－1】 函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的圖像過定點(diǎn)( )． A．(1,1) B．(1,0) C．(0,1) D．(0,0) 【做一做1－2】 函數(shù)y＝的定義域是( )． A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞) 【做一做1－3】 函數(shù)y＝的值域是____

4、____． 答案：(1)(0，＋∞)　(1)(0，＋∞)　(2)R　(2)R　(3)(1,0)　(3)(1,0)　(5)增函數(shù)　(5)減函數(shù) 【做一做1－1】 B 【做一做1－2】 D　使函數(shù)有意義，需log2x－2≥0， 即log2x≥2＝log24，∴x≥4. 【做一做1－3】 [－2，＋∞)　∵4x－x2≤4， ∴(4x－x2)≥4＝－2. 1．函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的底數(shù)變化對(duì)圖像位置有何影響？ 剖析：觀察圖像，注意變化規(guī)律： (1)上下比較：在直線x＝1的右側(cè)，a＞1時(shí)，a越大，圖像越靠近x軸，0＜a＜1時(shí)，a越小，圖像越靠近x軸． (2

5、)左右比較：(比較圖像與y＝1的交點(diǎn))交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大，對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大． 畫對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的圖像時(shí)，應(yīng)牢牢抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(a,1)，(1,0)，. 2．對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 剖析：將對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)比列成表，如下表所示： 名稱 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 解析式 y＝ax(a＞0，a≠1) y＝logax(a＞0，a≠1) 定義域 (－∞，＋∞) (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) (－∞，＋∞) 單調(diào)性 當(dāng)a＞1時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)為減函數(shù) 函數(shù)值變化情況 當(dāng)a＞1時(shí)： 若x＞0，則y＞1； 若x＝0

6、，則y＝1； 若x＜0，則0＜y＜1 當(dāng)a＞1時(shí)： 若x＞1，則y＞0； 若x＝1，則y＝0； 若0＜x＜1，則y＜0 當(dāng)0＜a＜1時(shí)： 若x＞0，則0＜y＜1； 若x＝0，則y＝1； 若x＜0，則y＞1 當(dāng)0＜a＜1時(shí)： 若x＞1，則y＜0； 若x＝1，則y＝0； 若0＜x＜1，則y＞0 圖像 y＝ax(a＞0，a≠1)的圖像與y＝logax(a＞0，a≠1)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱 通過將對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞1或0＜a＜1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是一致的；定義域和值域恰好相反；對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以可以利用指數(shù)函

7、數(shù)的性質(zhì)來研究對(duì)數(shù)函數(shù)．應(yīng)該注意到：這兩種函數(shù)都要求底數(shù)a＞0，a≠1. 題型一 求定義域 【例1】 求函數(shù)f(x)＝的定義域． 分析：x取值需使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)且真數(shù)為正實(shí)數(shù)． 反思：求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時(shí)，除遵循前面已學(xué)習(xí)過的求函數(shù)定義域的方法外，還要對(duì)這種函數(shù)自身有如下要求：(1)要特別注意真數(shù)大于零；(2)要注意對(duì)數(shù)的底數(shù)；(3)按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性，有針對(duì)性地解不等式． 題型二 比較大小 【例2】 比較下列各組中兩個(gè)值的大?。? (1)log31.9，log32； (2)log23，log0.32； (3)logaπ，loga3.141. 分析：(1

8、)構(gòu)造函數(shù)y＝log3x，利用其單調(diào)性比較； (2)分別比較與0的大小； (3)分類討論底數(shù)a的取值范圍． 反思：比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值大小的方法：①單調(diào)性法：當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)利用其單調(diào)性來比較大小，如本題(1)；②中間量法：當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)都不相同時(shí)，通常借助常數(shù)(常用－1,0,1)為媒介間接比較大小，如本題(2)；③分類討論：當(dāng)?shù)讛?shù)與1的大小關(guān)系不確定時(shí)，要對(duì)底數(shù)與1的大小分類討論，如本題(3)． 題型三 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像 【例3】 作出函數(shù)y＝log2|x＋1|的圖像，由圖像指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并說明它的圖像可由y＝log2x的圖像經(jīng)過怎樣變換而得到． 分析： 反思：(1

9、)掌握對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的圖像． (2)由y＝logax到y(tǒng)＝loga(x＋h)是平移變換，由y＝logax到y(tǒng)＝loga|x|是對(duì)稱變換，有對(duì)稱又有平移時(shí)，先對(duì)稱再平移． (3)圖像與性質(zhì)是對(duì)應(yīng)的，由圖像得性質(zhì)較直觀、形象． 題型四 求單調(diào)區(qū)間 【例4】 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)y＝； (2)y＝. 分析：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然用復(fù)合函數(shù)判斷法，即“同增異減”，但要考慮函數(shù)的定義域． 反思：有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，仍然用“同增異減”來處理，但要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，即真數(shù)必須大于零． 答案：【例1】 解：要使函數(shù)有意義，需

10、有 即解得＜x≤1. ∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)? 【例2】 解：(1)(單調(diào)性法)因?yàn)閥＝log3x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以log31.9＜log32. (2)(中間量法)因?yàn)閘og23＞log21＝0，log0.32＜0， 所以log23＞log0.32. (3)(分類討論)當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝logax在定義域上是增函數(shù)，則有l(wèi)ogaπ＞loga3.141； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝logax在定義域上是減函數(shù)，則有l(wèi)ogaπ＜loga3.141. 綜上所得，當(dāng)a＞1時(shí)，logaπ＞loga3.141； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，logaπ＜loga3.141. 【例3】

11、解：作出函數(shù)y＝log2x的圖像，將其關(guān)于y軸對(duì)稱得到圖像y＝log2|x|的另一分支曲線．再將整個(gè)圖像向左平移1個(gè)單位長度就得到函數(shù)y＝log2|x＋1|的圖像．如圖所示． 由圖可得函數(shù)y＝log2|x＋1|的遞減區(qū)間為(－∞，－1)，遞增區(qū)間為(－1，＋∞)． 【例4】 解：(1)令t＝x2－2x－3，則y＝在(0，＋∞)上遞減． 而t＝x2－2x－3在(－∞，1]上遞減，在[1，＋∞)上遞增，但t＝x2－2x－3＞0， ∴x＞3或x＜－1. 故函數(shù)f(x)＝(x2－2x－3)的遞增區(qū)間為(－∞，－1)，遞減區(qū)間為(3，＋∞)． (2)令t＝ x，則t＝x在(0，＋∞)上遞

12、減，而y＝t2－6t＋2在(－∞，3]上遞減，在[3，＋∞)上遞增， ∴t＝≤3，即x≥時(shí)，y＝()2－6＋2遞增；當(dāng)t＝≥3，即0＜x≤時(shí)，函數(shù)遞減．故函數(shù)y＝()2－6＋2的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為. 1 (2020廣東高考，文2)函數(shù)f(x)＝lg(x－1)的定義域是( )． A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 2 已知函數(shù)f(x)＝log(a＋1)x是(0，＋∞)上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是( )． A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(

13、－1,0) D．(0，＋∞) 3 若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)等于( )． A．log2x B. C． D．2x－2 4 (2020浙江臺(tái)州高一期末)設(shè)f(x)＝則＝__________. 5 比較loga2與loga3的大小(a＞0，a≠1)． 答案：1．B　由x－1＞0，得x＞1， 所以定義域?yàn)?1，＋∞)． 2．D　由題意得a＋1＞1，解得a＞0. 3．A　由題意，知f(x)＝logax，∵f(2)＝1， ∴l(xiāng)oga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.故選A. 4．0　， ＝f(0)＝20－1＝0. 5．解：設(shè)f(x)＝logax， 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)＝logax是減函數(shù)， 則f(2)＞f(3)，即loga2＞loga3； 當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)＝logax是增函數(shù)， 則f(2)＜f(3)，即loga2＜loga3. 綜上可得，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga2＞loga3； 當(dāng)a＞1時(shí)，loga2＜loga3.