高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第3節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）

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1、3 函數(shù)的單調(diào)性 1理解函數(shù)單調(diào)性的定義2會用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性3能從給定的函數(shù)圖像上直觀得出函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間1增函數(shù)(1)定義：在函數(shù)yf(x)的定義域內(nèi)的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩數(shù)x1，x2A，當(dāng)x1x2時，都有_，那么，就稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間A上是增加的，有時也稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間A上是遞增的 設(shè)x1，x2A，x1x2，f(x)在A上是增加的(x1x2)f(x1)f(x2)00.(2)幾何意義：函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間A上是_的(3)圖示：如圖所示【做一做1】 下列命題正確的是( )A定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，如果存在x1，x2(a，b)，使得x1x2

2、時，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上為增函數(shù)B定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，如果有無窮多對x1，x2(a，b)，使得x1x2時，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上為增函數(shù)C如果f(x)在區(qū)間I1上為增函數(shù)，在區(qū)間I2上也為增函數(shù)，那么f(x)在I1I2上也一定為增函數(shù)D如果f(x)在區(qū)間I上為增函數(shù)且f(x1)f(x2)(x1，x2I)，那么x1x22減函數(shù)(1)定義：在函數(shù)yf(x)的定義域內(nèi)的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩數(shù)x1，x2A，當(dāng)x1x2時，都有_，那么，就稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間A上是減少的，有時也稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間A上是遞減的設(shè)x1，x2

3、A，x1x2，f(x)在A上是減少的(x1x2)f(x1)f(x2)00.(2)幾何意義：函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間A上是_的(3)圖示：如圖所示【做一做21】 設(shè)函數(shù)f(x)(2a1)xb是R上的減函數(shù)，則有( )Aa Ba Ca Da【做一做22】 函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，則有( )Af(3)f(5) Bf(3)f(5)Cf(3)f(5) Df(3)f(5)3單調(diào)性(1)定義：如果函數(shù)yf(x)在定義域的某個子集上是_或是_，那么就稱函數(shù)yf(x)在這個子集上具有單調(diào)性如果函數(shù)yf(x)在_內(nèi)是增加的或是減少的，我們分別稱這個函數(shù)為增函數(shù)或減函數(shù)，統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)(2)幾何意義：函數(shù)f(x

4、)的圖像在區(qū)間A上是_或_的 一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上單調(diào)區(qū)間時，不能用“”而應(yīng)該用“和”來表示如函數(shù)y，其定義域為(，0)(0，)，不能說函數(shù)在(，0)(0，)上遞減，而只能說函數(shù)在(，0)和(0，)上遞減書寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間端點的開或閉沒有嚴格規(guī)定，習(xí)慣上，若函數(shù)在區(qū)間端點處有定義，則寫成閉區(qū)間，當(dāng)然寫成開區(qū)間也可以；若函數(shù)在區(qū)間端點處沒有定義，則必須寫成開區(qū)間【做一做31】 函數(shù)yx2的單調(diào)增區(qū)間為( )A(，0 B0，)C(1，) D(，)【做一做32】 已知函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示，則它的單調(diào)減區(qū)間為_4最大值和最小值(1)定義：一般地，對于函數(shù)yf(x)，其定義域為D

5、，如果存在x0D，f(x0)M，使得對于任意的xD，都有f(x)M或f(x)M，那么，我們稱M是函數(shù)yf(x)的最大(小)值，即當(dāng)xx0時，f(x0)是函數(shù)yf(x)的最大(小)值，記作ymaxf(x0)或yminf(x0)(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)的最大(小)值是其圖像上最高(低)點的縱坐標(biāo)【做一做4】 函數(shù)f(x)x1在區(qū)間3,6上的最大值和最小值分別是( )A6,3 B5,2 C9,3 D7,4答案：1(1)f(x1)f(x2)(2)上升【做一做1】 DA，B項中的x1，x2不具有任意性，C項中f(x)在I1和I2上均為增函數(shù)，但在I1I2上的單調(diào)性無法判定2(1)f(x1)f(x2

6、)(2)下降【做一做21】 Df(x)是R上的減函數(shù)，2a10，即a.【做一做22】 C函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，35，f(3)f(5)3(1)增加的減少的整個定義域(2)上升下降【做一做31】 A【做一做32】 和【做一做4】 B函數(shù)f(x)x1在區(qū)間3,6上是增加的，則當(dāng)3x6時，f(3)f(x)f(6)，即2f(x)5，所以最大值和最小值分別是5,2.理解函數(shù)的單調(diào)性剖析：函數(shù)的單調(diào)性刻畫了函數(shù)的圖像特征，它反映了函數(shù)圖像的變化趨勢(當(dāng)自變量增大時，函數(shù)值是增大還是減小，圖像是上升還是下降)；函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(減函數(shù))，等價于對于D中任意的兩個自變量x1，x2且x1x2

7、，都有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)，其中“任意”二字是關(guān)鍵，不能用具體的兩個自變量代替，否則會產(chǎn)生錯誤比如函數(shù)f(x)，取x11x21，f(x1)1，f(x2)1，f(x1)f(x2)，如果由此推出f(x)是增函數(shù)就會產(chǎn)生錯誤，原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性另一方面，從反面考慮，由于存在x11x21，f(x1)1，f(x2)1，f(x1)f(x2)，我們可以下這樣的結(jié)論：f(x)在整個定義域上肯定不是減函數(shù)；由定義還可以看出，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)定義域內(nèi)某個區(qū)間上的性質(zhì)，因此它是一個局部的性質(zhì)，并且在考察單調(diào)性時，必須先看函數(shù)的定義域，如果一個函數(shù)有多個單調(diào)增(減)區(qū)間，這

8、些增(減)區(qū)間應(yīng)該用逗號隔開(即“局部”)，而不能用并集的符號連接(并完之后就成了“整體”)例如f(x)的單調(diào)減區(qū)間可以寫成(0，)，(，0)或者寫成(0，)和(，0)，但不能寫成(0，)(，0)；由于函數(shù)的單調(diào)性是反映函數(shù)圖像變化趨勢的，所以在一點處沒法討論函數(shù)的單調(diào)性，比如函數(shù)yx2的單調(diào)增區(qū)間可以寫成(0，)，也可以寫成0，)，但是如果定義域中不包含這個點，則必須使用開區(qū)間表示；如果要證明一個函數(shù)的單調(diào)性，要嚴格按照定義進行，步驟如下：(1)取值：在指定區(qū)間上任意取兩個自變量x1，x2且x1x2；(2)變形：主要是配方或分解因式、通分等；(3)定號：判斷f(x1)f(x2)的符號；(4)

9、結(jié)論：由定義給出結(jié)論題型一 判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【例1】 證明函數(shù)f(x)x在(0,1)上是減少的分析：在(0,1)上任取x1，x2，且x1x2，只需證明f(x1)f(x2)即可反思：證明函數(shù)單調(diào)性，主要有2種方法(1)定義法其步驟是：在所給的區(qū)間上任取兩個自變量x1和x2，通常令x1x2；比較f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比較法比較大小，此時比較它們大小的步驟是作差、變形、看符號；再歸納結(jié)論(2)圖像法借助圖像，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的幾何意義來判斷此法適合客觀題(選擇題和填空題)題型二 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】 畫出函數(shù)yx22|x|3的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析：只需畫出函數(shù)的

10、圖像，看曲線在哪些區(qū)間是上升的，在哪些區(qū)間是下降的，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間反思：利用函數(shù)圖像確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，具體做法是：先化簡函數(shù)解析式，然后再畫出它的草圖，最后根據(jù)函數(shù)定義域與草圖的位置、狀態(tài)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題型三 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例3】 已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，試比較f(a2a1)與f的大小分析：要比較兩函數(shù)值的大小，需先比較自變量的大小反思：利用函數(shù)單調(diào)性的定義比較大小，一方面是正向應(yīng)用，即若yf(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)x1x2時，f(x1)f(x2)，當(dāng)x1x2時，f(x1)f(x2)；另一方面是逆向應(yīng)用，即若yf(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)f(x1

11、)f(x2)時，x1x2，當(dāng)f(x1)f(x2)時，x1x2.當(dāng)yf(x)在給定區(qū)間上是減函數(shù)時，同理可得相應(yīng)的結(jié)論【例4】 已知f(x)是定義在1,1上的增函數(shù)，且f(x2)f(1x)，求x的取值范圍分析：欲求x的取值范圍，需由f(x2)f(1x)得出x2與1x的大小關(guān)系，同時要注意函數(shù)的定義域反思：解答此類問題的關(guān)鍵是充分利用函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的不等關(guān)系，即將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式求解題型四 單調(diào)性與最值的綜合運用【例5】 已知函數(shù)yf(x)對任意x，yR均有f(x)f(y)f(xy)，且當(dāng)x0時，f(x)0，f(1).(1)判斷并證明f(x)在R上的單調(diào)

12、性；(2)求f(x)在3,3上的最大、最小值分析：抽象函數(shù)的性質(zhì)要緊扣定義，并同時注意特殊值的應(yīng)用反思：證明函數(shù)的單調(diào)性，必須用定義嚴格證明，不能用特殊值去檢驗，判斷函數(shù)的最值，往往從單調(diào)性入手題型五 易錯辨析易錯點 對單調(diào)區(qū)間與在區(qū)間上單調(diào)兩個概念理解錯誤【例6】 若函數(shù)y|xa|在區(qū)間(，4上是減少的，則實數(shù)a的取值范圍是_錯解：函數(shù)y|xa|的圖像如圖所示，由于函數(shù)在區(qū)間(，4上是減少的，因此a4.錯因分析：錯解中把函數(shù)在區(qū)間(，4上是減少的誤認為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(，4若把原題目改為：函數(shù)y|xa|的單調(diào)減區(qū)間是(，4，則a4符合題意答案：【例1】 證明：設(shè)0x1x21，則f(x1)f

13、(x2)(x1x2)(x1x2).0x1x21，x1x210，x1x20.則f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)x在(0,1)上是減少的【例2】 解：yx22|x|3函數(shù)圖像如圖所示函數(shù)在(，1和0,1上是增加的；函數(shù)在1,0和1，)上是減少的所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(，1和0,1，單調(diào)減區(qū)間是1,0和1，)【例3】 解：a2a12，與a2a1都是區(qū)間(0，)上的值又f(x)在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，ff(a2a1)【例4】 解：由題意可知解得1x2.f(x)是定義在1,1上的增函數(shù)，且f(x2)f(1x)，x21x.x.1x為滿足題設(shè)條件的x的取值范圍【例5】 解：(1)令x

14、y0，可得f(0)0，令yx可得f(x)f(x)在R上任取x1x2，則f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)x1x2，x2x10.又x0時，f(x)0，f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)由定義可知f(x) 在R上為單調(diào)遞減函數(shù)(2)f(x)在R上是減函數(shù)，f(x)在3,3上是減少的f(3)最大，f(3)最小f(3)f(2)f(1)f(1)f(1)f(1)32.f(3)f(3)2，即f(x)在3,3上的最大值為2，最小值為2.【例6】 正解：函數(shù)y|xa|的圖像如圖所示，所以只要a4或a在4的右側(cè)，都能保證函數(shù)y|xa|在區(qū)間(，4上是減少的，因此a4.1 函數(shù)yx26x1

15、0在區(qū)間(2,4)上是( )A遞減函數(shù) B遞增函數(shù)C先遞增再遞減 D先遞減再遞增2 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )A0，) B(，0C(，0)，(0，) D(，0)(0，)3 下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上增加的是( )Ay3x Byx21Cyx2 Dyx22x34 函數(shù)f(x)x2|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是_5 求證：函數(shù)f(x)在(1，)上是減少的答案：1D由函數(shù)圖像可知，函數(shù)yx26x10在區(qū)間(2,4)上先遞減再遞增，選D.2C由y的圖像知，選C.3B(排除法)選項A，y3x在R上是減函數(shù)；選項C，yx2在(0，)上是減少的；選項D，yx22x3(x1)24，當(dāng)x1時，y是x的減函數(shù)，當(dāng)x1時，y是x的增函數(shù)，而在(0,2)上并不嚴格單調(diào)，故選B.4.和當(dāng)x0時，f(x)x2x，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是，當(dāng)x0時，f(x)x2x，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是.5證明：任取x1，x2(1，)，且x1x2，則f(x1)f(x2).x1，x2(1，)，且x1x2，x110，x210，x2x10.f(x1)f(x2)0.f(x)在(1，)上是減少的