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1、第2講 參數(shù)方程
隨堂演練鞏固
1.(2020上海春招,10)若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則|OP||PF|的最小值為 .
【答案】 2
【解析】 由題意可知,O(0,0),F(-1,0),設(shè)cossin
則|OP||PF|cossincossin
coscoscos
所以當cos時,|OP||PF|取得最小值2.
2.直角坐標系xOy中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,設(shè)點A,B分別在曲線:為參數(shù))和曲線:上,則|AB|的最小值為 .
【答案】 1
【解析】 曲線:為參數(shù))的直角坐標
2、方程是(x-3)
可知曲線是以(3,0)為圓心,1為半徑的圓,曲線:的直角坐標方程是x
可知是以原點為圓心,1為半徑的圓.
題意就是求分別在兩個圓和上的兩點A,B的最短距離,
由圓的方程知,這兩個圓相離,
所以|AB|=d-1-1=1.
3.已知直線l的參數(shù)方程 求直線l的傾斜角.
【解】 ∵ (t為參數(shù)),
∴.
∴直線l的傾斜角.
4.設(shè)是單位圓上的一個動點,求動點的軌跡方程.
【解】 由題意,可設(shè)Q(cossin
則
即
∴
消去得即為動點P的軌跡方程.
課后作業(yè)夯基
基礎(chǔ)鞏固
1.在直角坐標系xOy中,曲線的參數(shù)方程為
3、 為參數(shù)),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,曲線的方程為cossin則與的交點個數(shù)為.
【答案】 2
【解析】 曲線的參數(shù)方程可化為曲線的極坐標方程cossin化為直角坐標方程為x-y+1=0.直線x-y+1=0過定點(0,1),位于橢圓內(nèi),故與有2個交點.
2.若直線: (t為參數(shù))與直線: (s為參數(shù))垂直,則k= .
【答案】 -1
【解析】 直線:kx+2y=k+4,直線:2x+y=1.
∵與垂直,∴2k+2=0.∴k=-1.
3.若直線2xR)與曲線 為參數(shù))相切,則k值為
4、 .
【答案】
【解析】 把曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程為.
由題意得解得.
4.直線 被雙曲線截得的弦長為 .
【答案】
【解析】 直線參數(shù)方程化為
代入雙曲線得.
設(shè)兩交點對應(yīng)的參數(shù)為則
弦長d=||.
5.已知圓C的圓心是直線 (t為參數(shù))與x軸的交點,且圓C與直線x+y+3=0相切,求圓C的方程.
【解】 直線(t為參數(shù))與x軸的交點為(-1,0),故圓C的圓心為(-1,0).又圓C與直線x+y+3=0相切,
∴圓C的半徑.∴圓C的方程為.
6.已知直線l的斜率為k=-1,經(jīng)過點-1),點在直線l上,求直線l的
5、參數(shù)方程.
【解】 ∵直線l的斜率k=-1,∴傾斜角.
因此cossin.
∴直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)).
7.已知O為坐標原點,點在曲線C:為參數(shù))上運動,點P(x,y)是線段OM的中點,求點P的軌跡方程.
【解】 ∵
∴cossin.
∴曲線C的普通方程為.
∵點在曲線C上運動,∴.
∵點P(x,y) 是線段OM的中點,
∴ 即
∴即 .
∴點P的軌跡方程為.
8.已知圓的方程為6ysincoscos.
(1)求圓心軌跡的參數(shù)方程C;
(2)點P(x,y)是(1)中曲線C上的動點,求2x+y的取值范圍.
【解】 (
6、1)將圓的方程整理得: (x-4cossin.
設(shè)圓心坐標為P(x,y),則 ,360).
(2)由(1)可知2x+y=8cossinsin,其中sincos.
∴.
∴2x+y的取值范圍是.
9.已知P為半圓C: 為參數(shù))上的點,點A的坐標為(1,0),O為坐標原點,點M在射線OP上,線段OM與C的弧AP的長度均為.
(1)以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,求點M的極坐標;
(2)求直線AM的參數(shù)方程.
【解】 (1)由已知,點M的極角為且點M的極徑等于
故點M的極坐標為.
(2)點M的直角坐標為
故直線AM的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).
7、
10.在直角坐標系xOy中,曲線的參數(shù)方程為 為參數(shù)).M是上的動點,P點滿足點的軌跡為曲線.
(1)求的方程;
(2)在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與的異于極點的交點為A,與的異于極點的交點為B,求|AB|.
【解】 (1)設(shè)P(x,y),則由條件知.
由于M點在上,所以 即
從而的參數(shù)方程為 為參數(shù)).
(2)曲線的極坐標方程為sin 曲線的極坐標方程為8sin.
射線與的交點A的極徑為sin
射線與的交點B的極徑為sin.
所以|AB|=||.
拓展延伸
11.在平面直角坐標系xOy中,曲線的參數(shù)方程為 為
8、參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為 為參數(shù)).在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線l:與各有一個交點.當時,這兩個交點間的距離為2,當時,這兩個交點重合.
(1)分別說明是什么曲線,并求出a與b的值;
(2)設(shè)當時,l與的交點分別為當時,l與的交點分別為求四邊形的面積.
【解】 是圓是橢圓.
當時,射線l與交點的直角坐標分別為(1,0),(a,0),
因為這兩點間的距離為2,所以a=3.
當時,射線l與交點的直角坐標分別為(0,1),(0,b),因為這兩點重合,所以b=1.
的普通方程分別為和.
當時,射線l與交點的橫坐標為與交點的橫坐標為x′.
當時,射線l與的兩個交點分別與關(guān)于x軸對稱,因此四邊形為梯形.
故四邊形的面積為.
高中數(shù)學一輪復(fù)習 第2講 參數(shù)方程
