高中數(shù)學一輪復習 第4講 函數(shù)y=Asin 的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應用

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1、第4講 函數(shù)y=Asin的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應用 1.將函數(shù)y=sin(6x+的圖象上各點向右平移個單位,則得到新函數(shù)的解析式為( ) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 【答案】 A 【解析】 新函數(shù)解析式為y=sinsin故選A. 2.為了得到函數(shù)y=2sinR)的圖象,只需把函數(shù)y=2sinR)的圖象上所有的點( ) A.向左平移個單位長度,再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變) B.向右平移個單位長度,再把所得各點

2、的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變) C.向左平移個單位長度,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變) D.向右平移個單位長度,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變) 【答案】 C 【解析】 將函數(shù)y=2sinx的圖象向左平移個單位得到函數(shù)y=2sin(x+的圖象,將函數(shù)y=2sin圖象上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變),則得到函數(shù)y=2sin的圖象,故選C. 3.已知函數(shù)f(x)=sin的最小正周期為,則該函數(shù)圖象( ) A.關于直線對稱 B.關于直線對稱 C.關于點對稱 D.關于點對稱 【答案】 D 【解析】 根據(jù)

3、函數(shù)f(x)的最小正周期為,可得f(x)=sin(2x+.當時所以該函數(shù)圖象關于點對稱;當時.故選D. 4.若函數(shù)f(x)=sin 在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則( ) A.3 B.2 C. D. 【答案】 C 【解析】 根據(jù)函數(shù)f(x)=sin 在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,可知(Z),可知選項C中符合. 1.將函數(shù)y=sin的圖象上各點的縱坐標不變,橫坐標伸長到原來的2倍,再向右平移個單位,所得到的圖象解析式是( ) A.y=sinx B.y=c

4、osx C.y=sin4x D.y=cos4x 【答案】 A 【解析】 y=sin橫坐標伸長到原來的2倍縱坐標不變y=sin(x+向右平移個單位y=sinsinx. 2.若函數(shù)f(x)=sin||<的圖象(部分)如圖所示,則f(x)的解析式為( ) A.f(x)=sin B.f(x)=sin C.f(x)=sin D.f(x)=sin 【答案】 A 【解析】 由,得T=4,∴.又函數(shù)圖象過點,0),可得. 3.若函數(shù)y=Asin的最大值為4,最小值為0,最小正周期為直線是其圖象的一條對稱軸,則它的解析式是( ) A.y=4sin B.y=

5、2sin C.y=2sin D.y=2sin 【答案】 D 【解析】 由題意得 ∴ ∵∴. ∴y=2sin. ∵是其對稱軸,∴sin. ∴Z). ∴Z). 當k=1時. 4.已知函數(shù)f(x)=2sin其中||的最小正周期是,且則( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ∵函數(shù)||的最小正周期為, ∴.∴. ∵f(0)=2sin 即sin|| ∴故選D. 5.設函數(shù)y=sin的圖象向右平移個單位后與原圖象重合,則的最小值是( ) A. B. C. D.3 【答案】 C 【

6、解析】 由題意知∴即的最小值為. 6.若函數(shù)f(x)=2sin對任意x都有x),則等于( ) A.2或0 B.-2或2 C.0 D.-2或0 【答案】 B 【解析】 由可知是函數(shù)f(x)的一條對稱軸.又∵f(x)=2sin在對稱軸處取得最值, ∴選B. 7.已知],關于x的方程2sin有兩個不同的實數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 令sin作出的圖象如圖所示: 若關于x的方程2sin在(0,]上有兩個不同的實數(shù)解,則與應有兩個不同的交點,所以a<2. 8.已知函數(shù)y=A

7、sin的最大值為4,最小值是0,最小正周期是直線是其圖象的一條對稱軸,若A>0則函數(shù)解析式為. 【答案】 y=2sin 【解析】 由題設得,A且當時,sin故. 故所求解析式為y=2sin. 9.給出下列六種圖象變換方法: (1)圖象上所有點的縱坐標不變,橫坐標縮短到原來的; (2)圖象上所有點的縱坐標不變,橫坐標伸長到原來的2倍; (3)圖象向右平移個單位; (4)圖象向左平移個單位; (5)圖象向右平移個單位; (6)圖象向左平移個單位. 請用上述變換中的兩種變換,將函數(shù)y=sinx的圖象變換到函數(shù)y=sin的圖象,那么這兩種變換正確的標

8、號是(要求按變換先后順序填上一種你認為正確的標號即可). 【答案】 (4)(2)或(2)(6) 【解析】 y=sinx(4)y=sin(2)y=sin或y=sinx(2)y=sin(6)y=sinsin. 10.已知函數(shù)f(x)=2sin||圖象的一部分如圖所示,則 . 【答案】 【解析】 由題圖可知為三角函數(shù)五點作圖法的第一個點,所以解得. 11.已知函數(shù)f(x)=3sin0)和g(x)=2cos(2x+的圖象的對稱軸完全相同.若則f(x)的取值范圍是 . 【答案】 【解析】 由題知g(x)=2

9、cos的周期. 若f(x)=3sin的對稱軸與g(x)的對稱軸完全相同,則f(x)的周期T也應該是,故. 又∵∴.∴f(x)=3sin. 若則. ∴sin. ∴f(x)=3sin. 12.已知函數(shù)y=3sin (1)用五點法作出函數(shù)的圖象; (2)說明此圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎么樣的變化得到的; (3)求此函數(shù)的振幅、周期和初相; (4)求此函數(shù)圖象的對稱軸方程、對稱中心. 【解】 (1)列表: 描點、連線,如圖所示: (2)方法一:”先平移,后伸縮”. 先把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點向右平移個單位,得到函數(shù)y=

10、sin的圖象;再把函數(shù)y=sin(x-的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數(shù)y=sin的圖象,最后將函數(shù)y=sin的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變),就得到函數(shù)y=3sin的圖象. 方法二:”先伸縮,后平移”. 先把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),得到函數(shù)y=sin的圖象;再把函數(shù)y=sin圖象上所有的點向右平移個單位,得到函數(shù)y=sinmsin的圖象,最后將函數(shù)y=sin的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變),就得到函數(shù)y=3sin的圖象. (3)周期,振幅A=3,初相是.

11、 (4)令Z), 得x=2kZ),此為對稱軸方程. 令Z),得Z). 故對稱中心為(2kZ). 13.(2020安徽合肥檢測)已知函數(shù)f(x)=sinsinsincosR的圖象在y軸右側的部分第一個最高點的橫坐標為. (1)求; (2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位后,再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的4倍,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間. 【解】 sincos =sin. 令將代入可得. (2)由(1)得f(x)=sin. 經(jīng)過題設的變化得到的函數(shù) g(x)=sin. 當x=4kZ時

12、,函數(shù)g(x)取得最大值. 令2kZ), 即Z為函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間. 14.已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間單位:小時)的函數(shù),記作y=f(t),下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù). 經(jīng)長期觀測,y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acos的圖象. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求出函數(shù)y=Acos的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式; (2)依據(jù)規(guī)定,當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放,請依據(jù)(1)的結論,判斷一天內(nèi)的上午8:00至晚上20:00之間,有多長時間可供沖浪者進行運動? 【解】 (1)由題中表中數(shù)據(jù),知周期T=12, ∴. 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5. 由t=3,y=1.0,得b=1.0. ∴A=0.5,b=1,∴振幅為. ∴cos. (2)由題知,當y>1時才可對沖浪者開放. ∴cos∴cos. ∴2kZ, 即12k-3Z. ∵故可令k分別為0、1、2,得 或9