高三數(shù)學(xué)第二篇 數(shù)學(xué)思想 一 函數(shù)與方程思想 文

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1、一、函數(shù)與方程思想一、函數(shù)與方程思想思想解讀思想解讀應(yīng)用類型應(yīng)用類型函數(shù)的思想,就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn),分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,從而使問(wèn)題獲得解決的數(shù)學(xué)思想.方程的思想,就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過(guò)解方程或方程組,或者運(yùn)用方程去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,使問(wèn)題獲得解決的數(shù)學(xué)思想.1.函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化,對(duì)函數(shù)y=f(x),當(dāng)y0時(shí),就化為不等式f(x)0,借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問(wèn)題,而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開(kāi)不等式.2.數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點(diǎn)去處

2、理數(shù)列問(wèn)題.3.解析幾何中的許多問(wèn)題,需要通過(guò)解二元方程組才能解決.4.立體幾何中有關(guān)線段、面積、體積的計(jì)算,經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.思想解讀思想解讀總綱目錄應(yīng)用一 解決不等式問(wèn)題應(yīng)用二 解決最值或范圍問(wèn)題應(yīng)用一應(yīng)用一 解決不等式問(wèn)題解決不等式問(wèn)題例例(2017河南鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)(一)已知函數(shù)f(x)=lnx.(1)證明:f(x)x-1;(2)若對(duì)任意x0,不等式f(x)ax+-1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析解析(1)證明:令g(x)=f(x)-(x-1)=lnx-x+1(x0),1ax則g(x)= -1.當(dāng)x=1時(shí),g(x)=0,所以當(dāng)0 x0,當(dāng)x1時(shí),g(x)

3、0),若00,h(x)單調(diào)遞增,h(x)h(1)=2a-10,這與在(0,+)上h(x)1矛盾;1ax21ax1x221axxax 211(1)a xxax 121a若a1,則0-1+0,h(x)單調(diào)遞增,而h(1)=2a-11,這與在(0,+)上h(x)1矛盾;若a1,則-1+0,x(0,1)時(shí),h(x)0,h(x)單調(diào)遞增,h(x)min=h(1)=2a-11,即h(x)1恒成立.若a=0,則h(x)=,x(0,1)時(shí),h(x)0,h(x)單調(diào)遞增,x(1,+)時(shí),h(x)0,h(x)單調(diào)遞減,h(x)h(1)=-10,這與在(0,+)上h(x)1矛盾.若a0,則-1+0,h(x)單調(diào)遞增

4、,x(1,+)時(shí),h(x)0,h(x)單調(diào)遞減,h(x)h(1)=2a-10,即x(0,1時(shí),f(x)=ax3-3x+10可化為a-.設(shè)g(x)=-,則g(x)=,所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此g(x)max=g=4,從而a4;當(dāng)xb0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),如圖所示,設(shè)左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,且=.(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),試確定的取值范圍.22xa22ybOFFBABBFFMFN=,(1,0)(-1,b)=(a,b)(1,-b),即b2-a-1=0.又b2=a2-1,a2-a-2=0,(列出方程)解得a=2(a=-1舍去).a2=

5、4,b2=3,橢圓C的方程為+=1.(2)若直線l的斜率不存在,則l:x=1,此時(shí)M,N,=-.若直線l的斜率存在,設(shè)l:y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),則由消去y得OFFBABBF24x23y31,231,2FMFN9422(1),143yk xxy解析解析(1)由題意知,A(-a,0),B(0,b),(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,(列出方程)x1+x2=,x1x2=.=(x1-1,y1)(x2-1,y2)=(1+k2)x1x2-(x1+x2)+1=.(轉(zhuǎn)化為函數(shù))k20,01,34-4,-30),則高h(yuǎn)=,所以體積V=a2h=.設(shè)y=12a4-a6(

6、a0),則y=48a3-3a5.令y0,得0a4;令y4.故函數(shù)在(0,4)上單調(diào)遞增,在(4,+)上單調(diào)遞減.可知當(dāng)a=4時(shí),y取得最大值,即體積V取得最大值,此時(shí)h=2,故選C.2222aSA2122a1313461122aa122122a2.(2017河南洛陽(yáng)統(tǒng)考)直線y=a分別與曲線y=2(x+1),y=x+lnx交于點(diǎn)A,B,則|AB|的最小值為.解析解析在y=2(x+1)中,令y=a,即2(x+1)=a,所以x=-1.設(shè)方程x+lnx=a的根為t,則t+lnt=a,則|AB|=.設(shè)g(t)=-+1(t0),則g(t)=-=,令g(t)=0,得t=1,當(dāng)t(0,1)時(shí),g(t)0,2a12at ln12tttln122tt2tln2t1212t12tt答案答案32所以g(t)min=g(1)=,所以|AB|,所以|AB|的最小值為.323232