波函數(shù)和薛定諤方程[129頁]

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1、 這一章開始介紹量子力學的基本理論與方法。 主要介紹： 1. 二個基本假設： A. 微觀粒子行為由波函數(shù)描述,波函數(shù)具有統(tǒng)計意義。 B. 描述微觀粒子行為的波函數(shù)由薛定諤方程解出。 2. 用定態(tài)薛定諤方程求解三個簡單問題： A. 一維無限深勢阱 B. 一維諧振子 C. 勢壘貫穿（隧道效應）2.1. 物質波的波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋物質波的波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋1. 波函數(shù)波函數(shù)： 概率波的數(shù)學表達形式，概率波的數(shù)學表達形式， 描述微觀客體的運動狀態(tài)描述微觀客體的運動狀態(tài))t , z , y,x()t ,r( 一般表示為復指數(shù)函數(shù)形式一般表示為復指數(shù)函數(shù)形式例：例： 一維自由粒子的波函數(shù)一維自由粒子的波函

2、數(shù)經(jīng)典描述：經(jīng)典描述： 沿沿 x 軸勻速直線運動軸勻速直線運動量子描述：量子描述：確定，守恒；pE,類比：類比：單色平面波單色平面波,一定一定沿直線傳播沿直線傳播以坐標原點為參考點，以坐標原點為參考點，.0方向傳播沿，以速率設xu)(2cos)(cos00 xtuxt)(2cos0phxthE)(1cos0 xpxEt)(0),(xpEtixetx（取實部）（取實部）推廣推廣 ：三維自由粒子波函數(shù)三維自由粒子波函數(shù))(0),(rpEtietr2. 波函數(shù)的強度波函數(shù)的強度模的平方模的平方*|2波函數(shù)與其共軛復數(shù)的積波函數(shù)與其共軛復數(shù)的積例：例：一維自由粒子：一維自由粒子：)(0)(02*| )

3、,(|xptEhixptEixxeetx203. 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的統(tǒng)計解釋光柵衍射光柵衍射電子衍射電子衍射類類比比2oEI 2|INNhINI I大處大處 到達光子數(shù)多到達光子數(shù)多I小處小處 到達光子數(shù)少到達光子數(shù)少I=0 無光子到達無光子到達各光子起點、終點、路各光子起點、終點、路徑均不確定徑均不確定用用I對屏上光子數(shù)分布作對屏上光子數(shù)分布作概率性描述概率性描述各電子起點、終點、路徑各電子起點、終點、路徑均不確定均不確定2|用對屏上電子數(shù)分布對屏上電子數(shù)分布作概率性描述作概率性描述電子到達該處概率大電子到達該處概率大電子到達該處概率為零電子到達該處概率為零電子到達該處概率小電子到達該

4、處概率小光柵衍射光柵衍射電子衍射電子衍射VNNd|d2VNNtzyxdd*| ),(|2一般一般：t 時刻時刻,到達空間到達空間 r（x,y,z）處某體積處某體積dV內的粒子數(shù)內的粒子數(shù) t 時刻，出現(xiàn)在空間（時刻，出現(xiàn)在空間（x,y,z）點附近單位體積內的）點附近單位體積內的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比 t 時刻，粒子出現(xiàn)在空間（時刻，粒子出現(xiàn)在空間（x,y,z）點附近單位體積）點附近單位體積內的概率內的概率 t 時刻，粒子在空間分布的概率密度時刻，粒子在空間分布的概率密度 2| ),(|tzyx的物理意義的物理意義： 物質波的波函數(shù)不描述介質中運動物質波的波函數(shù)不描述介質中運動

5、狀態(tài)（相位）傳播的過程狀態(tài)（相位）傳播的過程，本身，而是有意義的不是2|:|2概率密度，粒子在空間分布的統(tǒng)計規(guī)律概率密度，粒子在空間分布的統(tǒng)計規(guī)律:概率幅概率幅注意：描述同一概率波和在空間各點的比值，的大小，而是重要的不是c22|遵從疊加原理21212122112212*|干涉項干涉項4 4、 波函數(shù)的歸一化條件和標準條件波函數(shù)的歸一化條件和標準條件粒子在整個空間出現(xiàn)的概率為粒子在整個空間出現(xiàn)的概率為1 11ddddd|2NNNNVVNNVVV 歸一化條件歸一化條件對微觀客體的數(shù)學描述：對微觀客體的數(shù)學描述： 脫離日常生活經(jīng)驗，避免借用經(jīng)典語言引起脫離日常生活經(jīng)驗，避免借用經(jīng)典語言引起的表觀矛

6、盾的表觀矛盾.是單值、有限、連續(xù)的 標準條件標準條件2.2.、態(tài)的迭加原理、態(tài)的迭加原理 態(tài)迭加原理是量子力學中一個很重要的原理，這一節(jié)先作一些初步介紹，隨著學習量子力學內容的不斷深入，會不斷加深對態(tài)迭加原理的理解。一、量子態(tài)和波函數(shù)一、量子態(tài)和波函數(shù) 用波函數(shù)用波函數(shù) （r,t）來描述微觀粒子的量子態(tài)。來描述微觀粒子的量子態(tài)。當當（r,t）給定后，如果測量其位置，粒子出給定后，如果測量其位置，粒子出現(xiàn)在點的幾率密度為現(xiàn)在點的幾率密度為 。 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋也是波粒二項性的一種體波函數(shù)的統(tǒng)計解釋也是波粒二項性的一種體現(xiàn)?，F(xiàn)。 經(jīng)典波：遵從迭加原理，兩個可能的波動過經(jīng)典波：遵從迭加原理，兩個可能

7、的波動過程迭加后也是一個可能的波動過程。如：惠程迭加后也是一個可能的波動過程。如：惠更斯原理。更斯原理。 描述微觀粒子的波是幾率波，是否可迭加？描述微觀粒子的波是幾率波，是否可迭加？意義是否與經(jīng)典相同？意義是否與經(jīng)典相同？2二、量子力學的態(tài)的迭加原理二、量子力學的態(tài)的迭加原理1、經(jīng)典物理中，光波或聲波遵守態(tài)迭加原理：二列經(jīng)典波1與2線性相加，=a1+b2, 相加后的也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以說明的。 量子力學的二個態(tài)的迭加原理（P22倒7行）：如果1與2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的 線性迭加態(tài) =c11+c22，（c1 、c2是復數(shù)） 也是這個體系的一個可能狀態(tài)。2、例：

8、以雙縫衍射實驗（見上面圖），推廣到任意多態(tài)的一般態(tài)迭加原理： 衍射圖樣的產(chǎn)生證實了干涉項的存在。3、態(tài)的迭加原理 如果1、2、3是體系可能的狀態(tài)，則它們的線性迭加態(tài)=c11+c22+ c33=cii 也是體系的一個可能狀態(tài)。當體系處在迭加態(tài)時，體系部分處在1態(tài)、也部分處在2態(tài)，等，即各有一定幾率處在迭加之前的各個態(tài)i。 4、說明：說明：（1）量子力學使用最多的是把可以實現(xiàn)的）量子力學使用最多的是把可以實現(xiàn)的態(tài)分解為某一個算符本征態(tài)的迭加。態(tài)分解為某一個算符本征態(tài)的迭加。（2）如同經(jīng)典波的分解和迭加，量子力學）如同經(jīng)典波的分解和迭加，量子力學的態(tài)的迭加也是波函數(shù)的迭加，而不是的態(tài)的迭加也是波函數(shù)

9、的迭加，而不是的迭加。的迭加。三、三、一個結論：一個結論：任何一個波函數(shù)都可以看作是各任何一個波函數(shù)都可以看作是各種不同動量的平面波的迭加。種不同動量的平面波的迭加。 數(shù)學表示式： 其中， 是動量一定的平面波。這在數(shù)學上是成立的，這正好是非周期函數(shù)的富葉立展開。zyxppddpdprtpctr)(),(),(rpipe2/3)2(1一維情況 ：dpetpcdptxtpctxpxip),()2 (1),(),(),(21pxietpc2/1)2(1),(說明：說明：1、在態(tài)、在態(tài)（r,t）的粒子，它的動量沒有確的粒子，它的動量沒有確定的值，由上式可知：粒子可處于任何定的值，由上式可知：粒子可處于

10、任何一個態(tài)一個態(tài)p（r,t） ，但是當粒子的狀態(tài)確，但是當粒子的狀態(tài)確定后，粒子動量集于某一確定值的幾率定后，粒子動量集于某一確定值的幾率是一定的。是一定的。2、由于量子力學的態(tài)的迭加原理是幾率波、由于量子力學的態(tài)的迭加原理是幾率波的迭加，所以的迭加，所以1 +1=21不是新的態(tài)，不是新的態(tài)，只不過未歸一化。在態(tài)只不過未歸一化。在態(tài)=c11+c21進行進行測量時，發(fā)現(xiàn)粒子要么處在測量時，發(fā)現(xiàn)粒子要么處在1 ，要么處，要么處在在2。2.3. 、薛定諤方程、薛定諤方程,量量子子力力學學的的基基本本方方程程所所遵遵從從的的方方程程是是波波函函數(shù)數(shù) 是量子力學的基本假設之一，只能建立，不能推導，是量子

11、力學的基本假設之一，只能建立，不能推導，其正確性由實驗檢驗。其正確性由實驗檢驗。1. 建立建立 （簡單（簡單復雜，復雜， 特殊特殊一般）一般）一維自由粒子的振幅方程一維自由粒子的振幅方程tEitEixpixptEiexeeetxxx)(),(0)(0式中：式中：xpixex0)(振幅函數(shù)振幅函數(shù)與駐波類比與駐波類比2*2| )(|)()()()(| ),(|xxxexextxtEitEitEiextx)(),(要求波函數(shù)要求波函數(shù)(x,t)的模方，只需求振幅函數(shù)的模方，只需求振幅函數(shù)(x）的模方。的模方。建立關于振幅函數(shù)建立關于振幅函數(shù)(x）的方程）的方程 振幅方程振幅方程)(d)(d0 xp

12、iepixxxxpixx)(d)(d2222xpxxx*非相對論考慮非相對論考慮自由粒子：自由粒子：mpmvEExx22122kmEpx220U勢函數(shù)勢函數(shù))(d)(d2222xpxxx*代入代入得得0)(2d)(d222xmExx即即 一維自由粒子的振幅方程一維自由粒子的振幅方程2. 一維定態(tài)薛定諤方程一維定態(tài)薛定諤方程)(2222pkUEmpUmpEEExx)(d)(d2222xpxxx*代入代入粒子在力場中運動，且勢能不隨時間變化粒子在力場中運動，且勢能不隨時間變化0)()(2d)(d222xUEmxx即即 一維定態(tài)薛定諤方程一維定態(tài)薛定諤方程得得3. 三維定態(tài)薛定諤方程三維定態(tài)薛定諤方

13、程0)UE(m2zyx222222拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222zyx0),()(2),(22zyxUEmzyx即即 三維定態(tài)薛定諤方程三維定態(tài)薛定諤方程),(zyx振幅函數(shù)振幅函數(shù)4. 一般形式薛定諤方程一般形式薛定諤方程),(tzyx哈密頓算符哈密頓算符Um2H22tiH)t , z , y,x(U)zyx(m)t , z , y,x(ti 22222222) t , z , y, x(Um) t , z , y, x(ti 222求定態(tài)問題：求定態(tài)問題：一維：一維：三維：三維：0)(2dd222UEmx0)(222UEm體系由體系由N個粒子組成（個粒子組成（N1）體系能量為：體系

14、能量為：將能量公式變?yōu)樗惴綄⒛芰抗阶優(yōu)樗惴? )t ,r ,r(Vm/PEii2122 )t ,r ,r(Vm/tiiii21222 5. 多粒子體系的多粒子體系的薛定諤方程薛定諤方程將算符公式同時作用在多粒子波函數(shù)將算符公式同時作用在多粒子波函數(shù)(r(r1 1,r,r2 2, ,t),t)上，這樣就得到多粒子的薛定諤方程上，這樣就得到多粒子的薛定諤方程:)t ,r ,r()t ,r ,r(V)t ,r ,r(m)t ,r ,r(tiiii21212122212 討論：討論：1、薛定諤方程薛定諤方程也稱波動方程，描述在勢場也稱波動方程，描述在勢場U中粒中粒子狀態(tài)隨時間的變化規(guī)律。子狀

15、態(tài)隨時間的變化規(guī)律。2 、建立方程而不是推導方程，正確性由實驗驗、建立方程而不是推導方程，正確性由實驗驗證。薛定諤方程實質上是一種基本假設，不證。薛定諤方程實質上是一種基本假設，不能從其他更基本原理或方程推導出來，它的能從其他更基本原理或方程推導出來，它的正確性由它解出的結果是否符合實驗來檢驗。正確性由它解出的結果是否符合實驗來檢驗。3、薛定諤方程是線性方程。薛定諤方程是線性方程。是微觀粒子的基本是微觀粒子的基本方程，相當于牛頓方程。方程，相當于牛頓方程。4、自由粒子波函數(shù)必須是復數(shù)形式，否則不滿、自由粒子波函數(shù)必須是復數(shù)形式，否則不滿足自由粒子薛定諤方程。足自由粒子薛定諤方程。5、薛定諤方程

16、是非相對論的方程。薛定諤方程是非相對論的方程。 求解問題的思路：求解問題的思路：1. 寫出具體問題中勢函數(shù)寫出具體問題中勢函數(shù)U(r)的形式代入方程的形式代入方程2. 用分離變量法求解用分離變量法求解3. 用歸一化條件和標準條件確定積分常數(shù)用歸一化條件和標準條件確定積分常數(shù)只有只有E取某些特定值時才有解取某些特定值時才有解本征值本征值本征函數(shù)本征函數(shù)4. 討論解的物理意義，討論解的物理意義，即求即求| |2，得出粒子在空間的概率分布。得出粒子在空間的概率分布。薛定諤的另一偉大科學貢獻薛定諤的另一偉大科學貢獻 What is life？薛定諤薛定諤(Schroding,1897-1961)奧地利

17、人奧地利人,因發(fā)現(xiàn)原子理論的有效的新因發(fā)現(xiàn)原子理論的有效的新形式一波動力學與狄拉克形式一波動力學與狄拉克(Dirac,1902-1984)因創(chuàng)立相對論性的波動方因創(chuàng)立相對論性的波動方程一狄拉克方程程一狄拉克方程,共同分享了共同分享了1933年度諾貝爾物理學獎年度諾貝爾物理學獎2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 （或幾率流密度和幾率守恒定律）（或幾率流密度和幾率守恒定律） 本節(jié)要引入幾率流密度概念，有了本節(jié)要引入幾率流密度概念，有了它就可以把幾率與電流聯(lián)系起來。它就可以把幾率與電流聯(lián)系起來。 由薛定諤方程出發(fā)，討論粒子在一由薛定諤方程出發(fā)，討論粒子在一定空間區(qū)域內出現(xiàn)的

18、幾率將怎樣隨時間定空間區(qū)域內出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化。所以可以看作對薛定諤方程的討變化。所以可以看作對薛定諤方程的討論。論。 設設已歸一化，已歸一化，q為單粒子的電荷，則為單粒子的電荷，則 =幾率密度幾率密度(w)； dV= dV的幾率；的幾率； q=電荷密度電荷密度()； qdV=dV的電荷。的電荷。2222 幾率流密度（幾率流密度（J）含義）含義=單位時單位時間垂直流過單位面積幾率。間垂直流過單位面積幾率。 J公式公式=？ 先介紹幾率的連續(xù)方程。先介紹幾率的連續(xù)方程。 一、幾率的連續(xù)方程與幾率流密度一、幾率的連續(xù)方程與幾率流密度 類比：已知電荷有連續(xù)方程：類比：已知電荷有連續(xù)方程： 其中

19、，其中，電荷密度電荷密度, 電流密度。電流密度。 0jtj 若從數(shù)學上能推出如下公式：若從數(shù)學上能推出如下公式： 通過類比，就可定義為幾率流密度通過類比，就可定義為幾率流密度J， 這這個方程也就是幾率的連續(xù)方程。個方程也就是幾率的連續(xù)方程。0Atw 下面推導這個公式下面推導這個公式 ： 在非相對論情況下，實物粒子沒有產(chǎn)生在非相對論情況下，實物粒子沒有產(chǎn)生和甄滅，所以，在隨時間的演化過程中，粒和甄滅，所以，在隨時間的演化過程中，粒子數(shù)目保持不便。對一個粒子來說，在全空子數(shù)目保持不便。對一個粒子來說，在全空間中找到粒子的概率之總和應不隨時間變化間中找到粒子的概率之總和應不隨時間變化, 即即:032

20、 rd)rt(dtd薛定諤方程為薛定諤方程為: (1)對上述方程取復對上述方程取復 共軛得共軛得 (2)*)Vm(ti 222)t , r()r(Vm)t , r(ti 222由由 式得式得:)2() 1 (*02 )(mit)()(m)(m)(ti* 222222 令令 J= 則有則有:0)(2)(22*2*mti*)(mi 20jt02 )(mit)(定義：幾率流密度定義：幾率流密度 J=得得幾率的連續(xù)方程：幾率的連續(xù)方程： )(mi 20 Jtw二、幾率守恒定律二、幾率守恒定律 對幾率的連續(xù)方程：對幾率的連續(xù)方程： 兩邊對一個封閉的體積兩邊對一個封閉的體積V積分，并利用積分，并利用高斯公

21、式，得高斯公式，得：0 Jtw vsdJwdvt 表示：左表示：左=體積體積V內單位時間幾率的增內單位時間幾率的增加量加量=右右=單位時間從體積外流向體積單位時間從體積外流向體積內的幾率量，這就是幾率守恒定律。內的幾率量，這就是幾率守恒定律。有連續(xù)方程一定有守恒定律，兩者是有連續(xù)方程一定有守恒定律，兩者是等價的。等價的。 幾率守恒定律表明幾率不會憑空產(chǎn)生，幾率守恒定律表明幾率不會憑空產(chǎn)生，也不會憑空消失。也不會憑空消失。三、質量、電荷守恒定律三、質量、電荷守恒定律 1mW：質量密度，：質量密度，mJ：質量流密度。：質量流密度。 質質 量守恒定律量守恒定律 0 Jmtmw2qW：電荷密度，：電荷

22、密度，qJ：電流密度。：電流密度。 電荷守恒定律電荷守恒定律 0 Jqtqw四、波函數(shù)標準條件：連續(xù)，單值，有限。四、波函數(shù)標準條件：連續(xù)，單值，有限。 單值與有限，由波函數(shù)的統(tǒng)計含義所定。，單值與有限，由波函數(shù)的統(tǒng)計含義所定。， 連續(xù)，由幾率的連續(xù)方程所確定。連續(xù)，由幾率的連續(xù)方程所確定。 另外，一般情況下，還要求波函數(shù)一階導另外，一般情況下，還要求波函數(shù)一階導數(shù)也連續(xù)。數(shù)也連續(xù)。說明：說明： 幾率守恒具有定域性質。當粒子在某地幾率守恒具有定域性質。當粒子在某地的概率減小了，必然在另外一些地方的的概率減小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使總概率不變，并且伴隨概率增加了，使總概率不變，并且

23、伴隨著有什么東西在流動來實現(xiàn)這種變化。著有什么東西在流動來實現(xiàn)這種變化。連續(xù)性就意味著某種流的存在。連續(xù)性就意味著某種流的存在。哥廷根：數(shù)學與物理結合是哥廷根哥廷根：數(shù)學與物理結合是哥廷根的一個優(yōu)良傳統(tǒng)的一個優(yōu)良傳統(tǒng).玻恩是代表人物玻恩是代表人物 2.5 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程一定態(tài)薛定諤方程一定態(tài)薛定諤方程 條件：條件：V（r,t）=V(r)， 與與t無關。無關。 用分離變量法用分離變量法, 令令=(r)f(t)(r)f(t)，代入，代入薛薛定諤方程，得兩個方程：定諤方程，得兩個方程： 此稱定態(tài)薛定諤方程此稱定態(tài)薛定諤方程 )()(tEfttfiEticetf)()()()()(222

24、rErrVrm整個定態(tài)波函數(shù)形式：整個定態(tài)波函數(shù)形式：特點：特點：A. A. 波函數(shù)由空間部分函數(shù)與時間部分函數(shù)相乘；波函數(shù)由空間部分函數(shù)與時間部分函數(shù)相乘；B B時間部分函數(shù)是確定的，為：時間部分函數(shù)是確定的，為： 定態(tài)波函數(shù)幾率密度定態(tài)波函數(shù)幾率密度W W與與t t無關，幾率分布不隨時無關，幾率分布不隨時間而變，因此稱為定態(tài)。間而變，因此稱為定態(tài)。重點要掌握如何用定態(tài)薛定諤方程求解問題。重點要掌握如何用定態(tài)薛定諤方程求解問題。Etier)(Eticetf)(二、本征方程、本征函數(shù)與本征值二、本征方程、本征函數(shù)與本征值算符算符 本征方程：本征方程：本征值，有多個，甚至無窮多個。本征值，有多個

25、，甚至無窮多個。：本征值為本征值為的的本征函數(shù)。也有多個，本征函數(shù)。也有多個，甚至無窮多個，有時一個本征值對應多甚至無窮多個，有時一個本征值對應多個不同的本征函數(shù)，這稱為簡并。若一個不同的本征函數(shù)，這稱為簡并。若一個本征值對應的不同本征函數(shù)數(shù)目為個本征值對應的不同本征函數(shù)數(shù)目為N，則稱則稱N重簡并。重簡并。AA上述用分離變量得到兩個方程上述用分離變量得到兩個方程 都是本征方程：都是本征方程： （1） 或 其中其中：)()(tEfttfi)()(tEftfEtiE（2） 或或其中：其中：稱為稱為定態(tài)哈密頓算符定態(tài)哈密頓算符。)r(E)r()r(Vm 222)(222rVmH)()()(222rE

26、rrVm)()(rErH 定態(tài)薛定諤方程就是的本征方程。定態(tài)薛定諤方程就是的本征方程。 薛定諤方程就可簡寫成：薛定諤方程就可簡寫成： ), (), (trHtrti三、三、 定態(tài)情況下的薛定諤方程一般解定態(tài)情況下的薛定諤方程一般解 設定態(tài)薛定諤方程的本征值為設定態(tài)薛定諤方程的本征值為En, 本征函數(shù)本征函數(shù)為為 ， 定態(tài)波函數(shù)為定態(tài)波函數(shù)為 它是定態(tài)情況下的薛定諤方程：它是定態(tài)情況下的薛定諤方程： 的一個解。的一個解。 ), (), (trHtrtinn)(rntEinnner)( 定態(tài)情況下的薛定諤方程的一般解，是所定態(tài)情況下的薛定諤方程的一般解，是所有定態(tài)波函數(shù)有定態(tài)波函數(shù)n的線性迭加：的

27、線性迭加： ntEinnne)r(c)t ,r(說明：說明：1、定態(tài)薛定諤方程或不含時的薛定諤方程是、定態(tài)薛定諤方程或不含時的薛定諤方程是能量本征方程，能量本征方程，E就稱為體系的能量本征就稱為體系的能量本征值（值（energy eigenvalue），而相應的解），而相應的解 稱為能量的本征函數(shù)（稱為能量的本征函數(shù)（energy eigenfunction）。）。2、 是體系的哈密頓量算符，當不顯含是體系的哈密頓量算符，當不顯含t時，時，體系的能量是收恒量，可用分離變量。體系的能量是收恒量，可用分離變量。3、解定態(tài)薛定諤方程，關鍵是寫出哈密頓量、解定態(tài)薛定諤方程，關鍵是寫出哈密頓量算符。算符

28、。)r(n H求解問題的思路：求解問題的思路：1. 寫出具體問題中勢函數(shù)寫出具體問題中勢函數(shù)U(r)的形式代入方程的形式代入方程2. 用分離變量法求解用分離變量法求解3. 用歸一化條件和標準條件確定積分常數(shù)用歸一化條件和標準條件確定積分常數(shù) 只有只有E取某些特定值時才有解取某些特定值時才有解4、討論解的物理意義討論解的物理意義 秋水文章不染塵秋水文章不染塵 風骨超常倫風骨超常倫 2.7 一維勢場中的粒子能量的一般性質一維勢場中的粒子能量的一般性質一維一維定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 求定態(tài)問題：求定態(tài)問題：一維：一維：歸一化條件，波函數(shù)的標準條件，歸一化條件，波函數(shù)的標準條件，邊界條件。邊界條

29、件。 U（x）*=U（x），即），即U（x）取值。）取值。) 1 (0)(2dd222xUEmx一維問題的一般性質一維問題的一般性質定理定理1：設：設 是方程（是方程（1）的一個解，對應的能）的一個解，對應的能量本征值是量本征值是E，則，則 也是方程的一個解，對也是方程的一個解，對應的能量也是應的能量也是E。證：方程（證：方程（1）取復共軛，注意）取復共軛，注意E取實值，取實值， ，容易證明。，容易證明。 如果對應于能量的某個本征值如果對應于能量的某個本征值E，方程（，方程（1）的解無簡并，則可取為實解。的解無簡并，則可取為實解。)x( *)x( )x(U)x(U* 定理定理2：對應能量的某個

30、本征值：對應能量的某個本征值E，總可以找，總可以找到方程（到方程（1）的一組實解，凡是屬于）的一組實解，凡是屬于E的任何的任何解，總可以表示為這一組實解的線性疊加。解，總可以表示為這一組實解的線性疊加。證：如果證：如果 是實解是實解 如果如果 是復解是復解 ， 是方程（是方程（1）的解，）的解，且：且： 和和 也也是方程（是方程（1）的解，屬于能量）的解，屬于能量E。均為實解。均為實解。 和和 均可以表示為均可以表示為 和和 的線形疊的線形疊加。加。)x()x()x(* )x()x( i)x(* )(x*)x( )x( )x( *)x( )x( )x( 定理定理3：設：設U（x）具有空間反射不

31、變性，）具有空間反射不變性， U（-x）=U（x）。如果）。如果 是方程（是方程（1）的對）的對應能量的本征值應能量的本征值E的解，則的解，則 也是方程（也是方程（1）對應能量對應能量E的解。的解。證證（略）（略）)( x)(x 定理定理4：設：設 ，則對應任何一，則對應任何一個能量本征值個能量本征值E，總可以找到方程（，總可以找到方程（1）的一）的一組解，而屬于能量本征值組解，而屬于能量本征值E的任何解，都可以的任何解，都可以用它來展開。用它來展開。證：證： 構造兩個函數(shù)構造兩個函數(shù) 和和 均為方程（均為方程（1）的解。）的解。 和和 均可以表示為上述兩個函數(shù)的疊均可以表示為上述兩個函數(shù)的疊

32、加。加。）（）（xUxU)()()(xxx)()()(xxx)(x)( x 定理定理5：對于階梯性方位勢，：對于階梯性方位勢， 有限，則能量本征函數(shù)有限，則能量本征函數(shù) 及其導數(shù)必定是連及其導數(shù)必定是連續(xù)的。續(xù)的。 .axU;ax,U)x(U2112UU 定理定理6：對于一維粒子，設：對于一維粒子，設 與與 均為方均為方程（程（1）的屬于同一能量的）的屬于同一能量的E的解，則：的解，則：常常數(shù)數(shù) 122121 定理定理7：設粒子在規(guī)則勢場中運動，如存在束：設粒子在規(guī)則勢場中運動，如存在束縛態(tài)，則必定是不簡并的?？`態(tài)，則必定是不簡并的。 束縛態(tài)束縛態(tài)（bound state）指粒子局限在有限空）

33、指粒子局限在有限空間中。間中。 2.7 一維一維( (無限深無限深) )勢阱勢阱一、一維勢阱實例一、一維勢阱實例 如：金屬中的自由電子。如：金屬中的自由電子。 金屬粒子有規(guī)則的排列成行，金屬粒子有規(guī)則的排列成行，1）電子在金屬）電子在金屬內部勢能為常數(shù)，認定為零；內部勢能為常數(shù)，認定為零；2）表面有一個）表面有一個勢階?？傊藭r電子勢能可以近似認為是勢階?？傊藭r電子勢能可以近似認為是一個方勢阱形式。一個方勢阱形式。二、微分方程二、微分方程 的三種形式解。的三種形式解。 這是二階常系數(shù)微分方程，有三種等價的解：這是二階常系數(shù)微分方程，有三種等價的解： a. b. c. 依方便依方便,隨取一

34、種形式的解隨取一種形式的解.0222 )x(kdx)x(dikxikxBeAe1kxDkxCcossin2)sin(3kxG 三、三、 一維無限深勢阱求解一維無限深勢阱求解 1、一維無限深勢阱、一維無限深勢阱 一個粒子處在這樣勢阱一個粒子處在這樣勢阱 內內,其質量為其質量為. 具體例子具體例子: : 金屬中電子可以金屬中電子可以 看成處在有限深勢阱內看成處在有限深勢阱內. .阱外阱內axaxoxV)(V(x) -a 0 a1. 2、一維無限深勢阱的薛定諤方程與求解、一維無限深勢阱的薛定諤方程與求解. 這是定態(tài)問題這是定態(tài)問題, 只需解出定態(tài)波函數(shù)只需解出定態(tài)波函數(shù)n與定態(tài)能量與定態(tài)能量En即可

35、即可. 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程:)x(E)x()x(Udx)x(dm 2222分區(qū)求解分區(qū)求解, 再利用波函數(shù)連續(xù)條件再利用波函數(shù)連續(xù)條件,求出各求出各個系數(shù)個系數(shù),本征波函數(shù)與能量本征值本征波函數(shù)與能量本征值.定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù): n=偶數(shù)；偶數(shù)； 或者，或者， n=奇數(shù)。奇數(shù)。 阱阱外外阱阱內內02,xansinAn 阱阱外外阱阱內內02,xancosBn可合并為一個式子可合并為一個式子: 由歸一化定出由歸一化定出,為為 總定態(tài)波函數(shù)為總定態(tài)波函數(shù)為: 阱阱外外阱阱內內03212,n),ax(ansinAnA aA1 阱阱外外阱阱內內02tEinne)ax(ansinA)t ,x(

36、能量本征值能量本征值 n=1,2,3,1. 3、波函數(shù)與幾率分布圖、波函數(shù)與幾率分布圖(P37圖圖8, 圖圖9) 22228anEn -a 0 a 圖 8 -a 0 a 圖 9 x1 x2 x3 x4 23x3n 22x2n 21x1n4n 24x每一態(tài)每一態(tài)n可看成向可看成向x方向傳播與向方向傳播與向-x方方向傳播的二列平面波合成的駐波。向傳播的二列平面波合成的駐波。利用駐波條件也可得量子化能量公式。利用駐波條件也可得量子化能量公式。 )2(2)2(1)(2sintExanitExanitEinnnnececeaxanA駐波條件駐波條件：2a=n/2, n=1,2,3, 得=4a/n. E=

37、p2/2=h2/(22) =22n2/(8a2),n=1,2,3,. 1. 4、勢阱坐標不同時的波函數(shù)與能量、勢阱坐標不同時的波函數(shù)與能量 A、勢阱從、勢阱從02a. 波函數(shù)（空間部分）為波函數(shù)（空間部分）為能量公式不變。能量公式不變。 B、勢阱從、勢阱從0a. 波函數(shù)（空間部分）為波函數(shù)（空間部分）為 阱阱外外阱阱內內032121,n,xansinan 阱阱外外阱阱內內03212,n,xansinan 能量能量 （此即書上（此即書上52頁習題頁習題2.3解。今后通常都用解。今后通常都用B的勢阱坐標，故其波函數(shù)與能量要用的勢阱坐標，故其波函數(shù)與能量要用B的波函數(shù)與能量）。的波函數(shù)與能量）。 2

38、2222anEn 四、四、 宇稱宇稱 a) 空間反演算符定義：將的操作叫空間空間反演算符定義：將的操作叫空間 反反演算符。即：演算符。即： 宇稱定義：宇稱定義： 則稱波函數(shù)則稱波函數(shù)（r,t）具有宇稱。）具有宇稱。在一維情況下，宇稱的奇偶性與函數(shù)的奇偶在一維情況下，宇稱的奇偶性與函數(shù)的奇偶 性是一致的。性是一致的。)t ,r()t ,r(P )t ,r()t ,r()t ,r(P .),t ,r()t ,r(;),t ,r()t ,r(稱稱為為奇奇宇宇稱稱若若稱稱為為偶偶宇宇稱稱若若 b) 若一維勢能是對稱的，即若一維勢能是對稱的，即V（x）=V(-x), 則其波函數(shù)一定具有宇稱（見則其波函數(shù)

39、一定具有宇稱（見P52習題習題2.6）。）。 例如，一維無限深勢阱，勢阱坐標為例如，一維無限深勢阱，勢阱坐標為-aa, 勢能是對稱的，則其波函數(shù)具有勢能是對稱的，則其波函數(shù)具有宇稱，宇稱， n=偶數(shù)，奇宇稱；偶數(shù)，奇宇稱； 阱阱外外阱阱內內02,xansinAn n=奇數(shù)，偶宇稱。奇數(shù)，偶宇稱。 宇稱是一個十分重要的物理概念。傳統(tǒng)認為高宇稱是一個十分重要的物理概念。傳統(tǒng)認為高能物理中某能物理中某一物理過程宇稱是守恒的。楊振寧與李政道發(fā)現(xiàn)了弱作用一物理過程宇稱是守恒的。楊振寧與李政道發(fā)現(xiàn)了弱作用下宇稱不守恒，并被吳健雄所做實驗證實，從而獲諾貝爾下宇稱不守恒，并被吳健雄所做實驗證實，從而獲諾貝爾物

40、理獎。物理獎。 阱阱外外阱阱內內02,xancosBn四、半無限深勢阱（關洪四、半無限深勢阱（關洪p47）V(x) -a 0 a Ex：2.3， 7個定理的證明；個定理的證明； 有限深勢阱；有限深勢阱； 半無限深勢阱。半無限深勢阱。五、有限深方勢阱五、有限深方勢阱(曾教程曾教程p34) V(x) -a 0 a2.7 線性諧振子線性諧振子 什么叫諧振子？彈簧振動、單擺就是諧振子，什么叫諧振子？彈簧振動、單擺就是諧振子，它們的位移或角位移滿足方程：它們的位移或角位移滿足方程： 諧振子在物理中很重要，很多物理問題都可以諧振子在物理中很重要，很多物理問題都可以近似按諧振子處理。比如固體中的每個原子的近

41、似按諧振子處理。比如固體中的每個原子的微振動，就可以看成在各自平衡位置作簡諧振微振動，就可以看成在各自平衡位置作簡諧振動。雙原子分子的振動可化為諧振子。動。雙原子分子的振動可化為諧振子。 這節(jié)介紹求解線性諧振子（一維）的定態(tài)薛定這節(jié)介紹求解線性諧振子（一維）的定態(tài)薛定諤方程，解出波函數(shù)與能量，并作些討論。諤方程，解出波函數(shù)與能量，并作些討論。 02xx 經(jīng)典諧振子：經(jīng)典諧振子：能量：能量：E= , 勢能勢能= 量子能量：量子能量：E=(n+1/2)h,n=0,1,2,.一、線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程一、線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程勢能勢能V（x）= 與與t無關，是定態(tài)問題。無關，是定態(tài)問題。定態(tài)

42、薛定諤方程：定態(tài)薛定諤方程：)sin(tAx2221A2221x2221x)()(21)(222222xExxxdxd先作簡化，引入無量綱變量先作簡化，引入無量綱變量 =x, = , 令令=2E/。 （自己推導）二二 方程的求解方程的求解思路：先求思路：先求在在時的漸近解形式，再在時的漸近解形式，再在 漸近解基礎上提出一般解的形式，再求解。漸近解基礎上提出一般解的形式，再求解。 定態(tài)薛定諤方程簡化為：定態(tài)薛定諤方程簡化為： 0222 )()()(dd0222 )()()(dd1 1求求時的漸近解形式時的漸近解形式 方程：方程： 其解：其解： 2一般解的形式：一般解的形式： 代入原方程，得代入原

43、方程，得H H（）應滿足的方程：）應滿足的方程： 這是厄米方程，要有合理的解，必須這是厄米方程，要有合理的解，必須=2n+1, =2n+1, n=0,1,n=0,1, ,其解為：其解為： ，稱厄米多項式。，稱厄米多項式。厄米方程求解過程見厄米方程求解過程見P248P248附錄附錄2 2。 波函數(shù)為：波函數(shù)為： 2/2 ce01222 H)(ddHdHd2/2)(eH0)()(222dd221 edde)(Hnnnx),(HeNn/n 22歸一化系數(shù)歸一化系數(shù): N: Nn n= = 厄米多項式厄米多項式A A 前幾個厄米多項式見前幾個厄米多項式見P41P41。B B 迭推公式：迭推公式： （1

44、 1） （2 2）由由得：得： 由由得：得： 21)!2(nn)(2)(1nnnHddH0)(2)(2)(11nnnnHHH)(n)(ndx)x(dnnn 11212)x(n)x(n)x(xnnn112121 能量：由能量：由=2n+1=2n+1與與=2E/得：得： En=(n+1/2)h,n=0,1,2,. 當當n=0時，時，E0=（1/2）h，稱為零點能。，稱為零點能。 即使在絕對零度下，零點能還要存在，即使在絕對零度下，零點能還要存在，這是量子效應，已被許多實驗所證實。這是量子效應，已被許多實驗所證實。這是經(jīng)典物理所沒有的。這是經(jīng)典物理所沒有的。b.b.波函數(shù)：波函數(shù)： n=0,1,2,

45、n=0,1,2,. . 整個波函數(shù)：整個波函數(shù)： 能量：能量： ),()(2/22xHeNxnxnntEinxnnnexHeNtx)(),(2/22)2/1 ()2/1 (nhnEn或三三 諧振子的幾率分布諧振子的幾率分布 前前6 6個波函數(shù)的個波函數(shù)的曲線曲線見見P42P42圖圖1212； 前前6 6個波函數(shù)模平方的個波函數(shù)模平方的曲線曲線見見P43P43圖圖1313。 說明：說明：1.1.圖圖1313上豎虛線表示與量子能量相上豎虛線表示與量子能量相當?shù)慕?jīng)典諧振子的振幅處。當?shù)慕?jīng)典諧振子的振幅處。A= A= 2 2與經(jīng)典諧振子幾率分布比較與經(jīng)典諧振子幾率分布比較 經(jīng)典諧振子幾率：經(jīng)典諧振子幾

46、率： ， 其曲線就是圖其曲線就是圖1313中的中的U U型虛線型虛線 12n2/122)1 (1aTa 結論：結論：1. 在經(jīng)典振幅之外，仍有粒子出現(xiàn)，在經(jīng)典振幅之外，仍有粒子出現(xiàn)，這也是量子效應。這也是量子效應。 2從前幾個波函數(shù)曲線看，量子與經(jīng)典從前幾個波函數(shù)曲線看，量子與經(jīng)典沒有什么相似，但當沒有什么相似，但當n很大時，量子的平均結很大時，量子的平均結果與經(jīng)典曲線相似。果與經(jīng)典曲線相似。 3.熟記有關結論。熟記有關結論。四、四、S維各項同性諧振子維各項同性諧振子勢函數(shù)形式為勢函數(shù)形式為：其中：其中：).(21)(2232221sxxxxkxUsHHHH.212222212iiikxxdd

47、H)(.) 2 () 1 (sEEEE )21( iinE 波函數(shù)形式：波函數(shù)形式： 例如：二維線形諧振子：例如：二維線形諧振子： U=1/2k（x2+y2），）， 三維線形諧振子：三維線形諧振子：U=1/2k（x2+y2+z2）。）。snnnnnnsnE.3 , 2 , 1 , 0)2(21)!1( !)!1(snsngn五、位移諧振子五、位移諧振子帶電荷帶電荷q的諧振子處于均勻外電場中的諧振子處于均勻外電場中求能級和波函數(shù)。求能級和波函數(shù)。位移諧振子的勢能：位移諧振子的勢能：xqkxxU221)(.3 , 2 , 1 , 0)21(nnEn422220422222221221 q)xx(k

48、q)qx(k)x(U 42222422222221221 qkyq)qx(k)x(U422222222)21(qnEdyddxdn)(222yHeNnynn0 xxy波函數(shù)：波函數(shù)：2022412)xx(ne)( 六、耦合諧振子（對角化解耦）六、耦合諧振子（對角化解耦）耦合諧振子：耦合諧振子： 二次性化為平方二次性化為平方212221)(21)(xxxxkxU)(21),(21212211xxyxxy2122222222121212212212HHyyyyHSummary:1、由于諧振子勢具有空間反射不變性，按定理、由于諧振子勢具有空間反射不變性，按定理3的推論，的推論， 必有確定的宇稱。必有

49、確定的宇稱。 可證：可證：2、基態(tài)：能量：、基態(tài)：能量： 并不為零，稱為零點能（并不為零，稱為零點能（zero-point energy）。）。 是微觀粒子的波動是微觀粒子的波動-粒子兩重性的表現(xiàn)。粒子兩重性的表現(xiàn)。 處于基態(tài)的諧振子在空間的概率分布是一個高斯型分處于基態(tài)的諧振子在空間的概率分布是一個高斯型分布，在原點處找到粒子的概率最大。按經(jīng)典力學的觀布，在原點處找到粒子的概率最大。按經(jīng)典力學的觀點，基態(tài)諧振子只允許在的區(qū)域中運動，而屬于經(jīng)典點，基態(tài)諧振子只允許在的區(qū)域中運動，而屬于經(jīng)典 )(x)() 1()(xxnnn.210E 禁區(qū)，但按照量子力學中波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，粒子有禁區(qū)，但按照量

50、子力學中波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，粒子有一定概率處于經(jīng)典禁區(qū)（量子效應），可以計算此概一定概率處于經(jīng)典禁區(qū)（量子效應），可以計算此概率（考研究生題）。率（考研究生題）。3、能量本征值隨量子數(shù)、能量本征值隨量子數(shù)n的變化不但是斷續(xù)的，而且是的變化不但是斷續(xù)的，而且是等間距的，間距只和振子的固有頻率有關。等間距的，間距只和振子的固有頻率有關。4、“能量量子化能量量子化”和和“零點能存在零點能存在”是量子振子能量不是量子振子能量不同于經(jīng)典振子能譜的兩大特點。均是波動性的體現(xiàn)。同于經(jīng)典振子能譜的兩大特點。均是波動性的體現(xiàn)。5、熟練掌握本節(jié)內容。、熟練掌握本節(jié)內容。6、“突然近似突然近似”，諧振子：，諧振子：k

51、突然變成突然變成2k；無限勢阱：；無限勢阱： a突然變成突然變成2a。 習題：習題：2.5，2.6，2.7 諧振子諧振子 2.8 勢壘貫穿勢壘貫穿 勢勢壘貫穿壘貫穿能量低于勢壘高度的粒子能量低于勢壘高度的粒子有一定幾率穿過勢壘。有一定幾率穿過勢壘。 例：勢例：勢壘貫穿現(xiàn)象壘貫穿現(xiàn)象金屬電子的熱發(fā)金屬電子的熱發(fā)射射-電子有冷發(fā)射：如果給金屬加上一個外電子有冷發(fā)射：如果給金屬加上一個外電場（約電場（約1000000V/CM），使金屬成為陰），使金屬成為陰極，則該電場會使電子釋放出來而形成電極，則該電場會使電子釋放出來而形成電流，這種現(xiàn)象叫金屬電子的冷發(fā)射。流，這種現(xiàn)象叫金屬電子的冷發(fā)射。 應用應用

52、:1973年年:固體中的隧道效應固體中的隧道效應, 半導體中的隧道效應半導體中的隧道效應. 約朔夫森約朔夫森, 江琦江琦, 迦埃非迦埃非.1986年年:設計世界上第一架電子顯微鏡設計世界上第一架電子顯微鏡,設計隧道設計隧道 效應顯微鏡效應顯微鏡. 魯斯卡魯斯卡, 賓尼賓尼(德國德國),羅雷爾因羅雷爾因(瑞士瑞士).1997年：量子隧道效應。年：量子隧道效應。 經(jīng)典物理無法理解勢壘貫穿。經(jīng)典物理無法理解勢壘貫穿。 ETV，TEV0，不可能不可能 . 本節(jié)介紹量子力學如何解本節(jié)介紹量子力學如何解釋勢壘貫穿，以及如何計算釋勢壘貫穿，以及如何計算穿過勢穿過勢壘的幾率壘的幾率。一、一維方勢壘一、一維方勢

53、壘 axUaxxxu0, 00)(0) 1 (0)(2dd222xUEmx二、求解二、求解 僅求僅求EU0解解分三個區(qū)：分三個區(qū)：1區(qū)區(qū):xa.1區(qū)區(qū) 0)(2)(12212xEdxxd212EkxikxikeAAe111 看成是看成是入射波，入射波， 看成是看成是反射波反射波。 2區(qū)區(qū): 得：得： 3區(qū)區(qū): xikAe1xikAe10)()(2)(220222xEUdxxd202)(2EUkxkxkeBBe2220)(2)(32232xEdxxd212Ek 看成是看成是透射波透射波， 也應是也應是反射波反射波，（C=0）但在）但在3區(qū)不可能有反射波，故區(qū)不可能有反射波，故 這樣，這樣，5個系

54、數(shù)個系數(shù)A、A、B、B、C, 要確要確定。定。 這由波函數(shù)與其一階導數(shù)分別在這由波函數(shù)與其一階導數(shù)分別在x=0與與x=a連續(xù)以及歸一化條件的連續(xù)以及歸一化條件的5個關系式確個關系式確定。定。xikxikeCCe111xikCe1xikeC1 波函數(shù)與其一階導數(shù)在波函數(shù)與其一階導數(shù)在x=0連續(xù)得：連續(xù)得：A+A=B+Bik1(A-A)=k2(B-B)波函數(shù)與其一階導數(shù)在波函數(shù)與其一階導數(shù)在x=a連續(xù)得：連續(xù)得：aikakakCeeBBe122aikakakCeikeBBek12212)(由上述四個等式可得如下四個關系式由上述四個等式可得如下四個關系式： AachkkikashkkkashkkkA

55、22122221222212)()(AachkkikashkkkekikCaik22122221212)(21AeikkikkikkkBak22221221211)()()(2AeikkikkeikkkBakak2222212212211)()()(2(注：書上書上(2.8-11)式式是是EU0的情況下獲得的情況下獲得的，其中的，其中， 若將若將k2 變?yōu)樽優(yōu)?就就可得可得E1. 則則 222122222212222221224)()(kkakshkkakshkkAAJJRRadxEUakeDeDD002)(22020D0為常數(shù)，一般取為常數(shù)，一般取1。這是最后勢壘貫穿幾。這是最后勢壘貫穿幾率

56、公式。率公式。對任意形狀的勢壘對任意形狀的勢壘(見圖見圖17)，勢壘貫穿幾率，勢壘貫穿幾率公式推廣為：公式推廣為：badxExUeDD)(220討論討論:1.經(jīng)典經(jīng)典:EU0 時時, 無反射無反射. (1)量子力學量子力學: 有反射有反射. (2)共振透射共振透射, 研究研究D, Dmax=1條件條件: 于是于是D就發(fā)生振蕩就發(fā)生振蕩,叫做共振透射叫做共振透射. (3) 都有反射和透射都有反射和透射. 0R1sin,.).2 , 1 , 0(,sinmin2kaDDnnkaoka條件是：即2. EU0 (隧道效應隧道效應). 用于基因突變率的計算用于基因突變率的計算. (1)D與與U0, E, a 有關有關; (2)隧道效應隧道效應; a=1 埃埃 D 0.1 a=2埃埃 D 0.0012 a=5埃埃 D 0.0000017 a=10埃埃 D 0.00000000003