2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)16 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 新人教A版選修2-1

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1、課時(shí)作業(yè)16　空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 |基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．設(shè)p：a，b，c是三個(gè)非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：當(dāng)非零向量a，b，c不共面時(shí)，{a，b，c}可以當(dāng)基底，否則不能當(dāng)基底．當(dāng){a，b，c}為基底時(shí)，一定有a，b，c為非零向量．因此pD?/q，q?p. 答案：B 2．已知A(1,2，－1)關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為B，而B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則＝(　　) A．(0,4,2)　　　　　

2、　　B．(0,4,0) C．(0，－4，－2) D．(2,0，－2) 解析：易知B(1,2,1)，C(1，－2，－1)，所以＝(0，－4，－2)． 答案：C 3．已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則可以與向量p＝a＋b，q＝a－b構(gòu)成基底的向量是(　　) A．2a B．2b C．2a＋3b D．2a＋5c 解析：由于{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，所以a，b，c不共面，在四個(gè)選項(xiàng)中，只有選項(xiàng)D與p，q不共面，因此，2a＋5c與p，q能構(gòu)成基底，故選D. 答案：D 4．已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為AC，OB，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是MN的中點(diǎn)，則等于(

3、　　) A.＋＋ B.(＋＋) C.(＋＋) D.＋＋ 解析：如圖， ＝(＋) ＝＋×(＋) ＝＋＋ ＝(＋＋)． 答案：B 5．已知點(diǎn)A在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為(　　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,10,12) D．(4,2,3) 解析：設(shè)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的向量為，則＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為(12,14,10)． 故選A. 答案：A

4、 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．設(shè){e1，e2，e3}是空間向量的一個(gè)單位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，則a，b的坐標(biāo)分別為________． 解析：由于{e1，e2，e3}是空間向量的一個(gè)單位正交基底， 所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)． 答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7) 7．如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)，若記＝a，＝b，＝c，則＝________(用a，b，c表示)． 解析：取BC中點(diǎn)為F，連EF，AF， 則EF綊BB1， 又

5、AD綊BB1， 所以EF綊AD， 所以四邊形ADEF為平行四邊形， 所以DE綊AF， 所以＝＝(＋)＝a＋b. 答案：a＋b 8．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，則λ＝________. 解析：如圖，連接A1C1，C1D， 則E在A1C1上，F(xiàn)在C1D上， 易知EF綊A1D， ∴＝，即－＝0， ∴λ＝－. 答案：－ 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，分別以射線OB，OC，AA1的方向?yàn)?/p>

6、x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．試寫出正方體頂點(diǎn)A1，B1，C1，D1的坐標(biāo)． 解析：設(shè)i，j，k分別是與x軸，y軸，z軸的正方向方向相同的單位基向量． 因?yàn)榈酌嬲叫蔚闹行臑镺，邊長(zhǎng)為2， 所以O(shè)B＝. 由于點(diǎn)B在x軸的正半軸上，所以＝i， 即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，0,0)． 同理可得C(0，，0)，D(－，0,0)，A(0，－，0)． 又＝＋＝i＋2k， 所以＝(，0,2)． 即點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(，0,2)． 同理可得C1(0，，2)，D1(－，0,2)，A1(0，－，2)． 10．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是AD1

7、，BD的中點(diǎn)． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋zc，求實(shí)數(shù)x，y，z的值． 解析：(1)如圖，＝＋＝－＋－＝a－b－c， ＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)． (2)＝(＋) ＝(－＋) ＝(－c＋a－b－c) ＝a－b－c， ∴x＝，y＝－，z＝－1. |能力提升|(20分鐘，40分) 11．已知向量{a，b，c}是空間的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空間的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(1,2,3)，則向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 解析：依題意，p＝a＋2

8、b＋3c， 設(shè)向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)， 則p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc， 所以所以 即向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為.故選B. 答案：B 12．設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．給出下列向量組： ①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作為空間的基底的向量組有________個(gè)． 解析：如圖所設(shè)a＝，b＝，c＝，則x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四點(diǎn)不共面可知向量x，y，z也不

9、共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作為空間的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作為基底． 答案：3 13．已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且AB＝AP＝1，分別以，，為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求，的坐標(biāo)． 解析：設(shè)＝e1，＝e2，＝e3，則＝＝e2， ＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋(＋＋) ＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2) ＝－e1＋e2， ∴＝，＝(0,1,0)． 14．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)，求證：EF⊥AB1. 證明：設(shè)＝a，＝b，＝c， 則＝＋＝(＋) ＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)， ＝＋＝＋＝a＋b. ∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b) ＝(|b|2－|a|2)＝0. ∴⊥，即EF⊥AB1. - 7 -