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1、 實驗報告姓名：和家慧 專業(yè):通信工程 學號：20121060248 周一下午78節(jié) 實驗一：方程及方程組的求解一 實驗目的：學會初步使用方程模型，掌握非線性方程的求解方法，方程組的求解方法，MATLAB函數(shù)直接求解法等。二 問題：路燈照明問題。在一條20m寬的道路兩側，分別安裝了一只2kw和一只3kw的路燈，它們離地面的高度分別為5m和6m。在漆黑的夜晚，當兩只路燈開啟時 （1）兩只路燈連線的路面上最暗的點和最亮的點在哪里？ （2）如果3kw的路燈的高度可以在3m到9m之間變化，如何路面上最暗點的亮度最大？ （3）如果兩只路燈的高度均可以在3m到9m之間變化，結果又如何？三 數(shù)學模型 X S
2、P1P2R112QyxOR2h1h2 解： 根據(jù)題意，建立如圖模型 P1=2kw P2=3kw S=20m 照度計算公式： （k為照度系數(shù)，可取為1； P為路燈的功率）（1）設Q(x,0)點為兩盞路燈連線上的任意一點，則兩盞路燈在Q點的照度分別為 Q點的照度： 要求最暗點和最亮點，即為求函數(shù)I(x)的最大值和最小值，所以應先求出函數(shù)的極值點算法與編程利用MATLAB求得時x的值代碼：s=solve(-30*x)/(25+x2)(5/2)+(54*(20-x)/(36+(20-x)2)(5/2);s1=vpa(s,8);s1計算結果運行結果：s1 = 19.97669581 9.33829913
3、6 8.538304309-11.61579012*i .2848997038e-1 8.538304309+11.61579012*i因為x=0，選取出有效的x值后，利用MATLAB求出對應的I(x)的值，如下表：x00.0284899709.338299119.97669520I(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468綜上，x=9.33m時，為最暗點；x=19.97m時，為最亮點。（2） 路燈2的高度可以變化時，Q點的照度為關于x和h2的二元函數(shù)： 與（1）同理，求出函數(shù)I(x,h2）的極值即為最暗點和最亮點 算法與編程 利
4、用matlab求得x： solve(3/(h2+(20-x)2)(3/2)-3*(3*h2)/(h2+(20-x)2)(5/2)=0) ans = 20+2(1/2)*h 20-2(1/2)*h 即x1=20+2(1/2)*h （舍去） x2=20-2(1/2)*h 利用matlab求解h2solve(-30*(20-2(1/2)*h)/(25+(20-2(1/2)*h)2)(5/2)+9*h*(20-(20-2(1/2)*h)/(h2+(20-(20-2(1/2)*h)2)(5/2)=0) ans = 7.4223928896768612557104509932965 14.12077409
5、8526835657369742179215 因為h在39之間，所以h2=7.42239m 再利用matlab求解x和亮度I 算法： h=7.42239; x=20-2(1/2)*h I=10/(25+x2)(3/2)+(3*h)/(h2+(20-x)2)(3/2) 計算結果結果： x = 9.5032 I = 0.0186綜上，x=9.5032 ，h2=7.42239時，最暗點的亮度最大，為0.0186w。(3) 兩盞路燈的高度均可以變化時，I為關于x,h1,h2的三元函數(shù)，用同樣的方法求解 =算法與編程利用matlab求解x，h1，h2的值： 算法：solve(1/(20-x)3)=2/(
6、3*(x3); s1=vpa(s,6); a=(1/sqrt(2)*s1; a1=double(a); b=(1/sqrt(2)*(20-s1); b1=double(b); a1,b1,s1 計算結果 結果： a1 = 6.5940 5.1883 +12.0274i 5.1883 -12.0274i b1 = 7.5482 8.9538 -12.0274i 8.9538 +12.0274i s1 = 9.32530 7.33738+17.0093*i 7.33738-17.0093*i綜上，h1 =6.5940，h2=7.5482 ，x=9.32530時，最暗點的亮度最大四 分析、檢驗和結論
7、經過數(shù)學模型的建立和數(shù)學軟件MATLAB的使用，我們已經得到較為準確的答案。五 心得體會隨著計算機技術的發(fā)展，大型的線性/非線性方程組我們已可以用計算機簡單方便的計算出來了。對我們的生活有很好的提高。實驗二：數(shù)據(jù)插值與擬合實驗1、 實驗目的及意義1 了解插值、最小二乘擬合的基本原理2 掌握用MATLAB計算一維插值和兩種二維插值的方法；3 掌握用MATLAB作最小二乘多項式擬合和曲線擬合的方法。二、實驗內容1針對實際問題，試建立數(shù)學模型。用MATLAB計算一維插值和兩種二維插值的方法求解；1用MATLAB中的函數(shù)作一元函數(shù)的多項式擬合與曲線擬合，作出誤差圖；2用MATLAB中的函數(shù)作二元函數(shù)的
8、最小二乘擬合，作出誤差圖；3針對預測和確定參數(shù)的實際問題，建立數(shù)學模型，并求解。三 問題：數(shù)據(jù)插值 山區(qū)地貌：在某山區(qū)測得一些地點的高程如下表3.8。平面區(qū)域為 （1200=x=4000,1200=y=3600)試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對幾種插值方法進行比較。表3.8 某山區(qū)高程表yx12001600200024002800320036004000120011301250128012301040900500700160013201450142014001300700900850200013901500150014009001100106095024001500120011001350
9、145012001150101028001500120011001550160015501380107032001500155016001550160016001600155036001480150015501510143013001200980數(shù)學模型：利用matlab編程代碼如下： x=1200:400:4000; y=1200:400:3600; xi,yi=meshgrid(1200:4000,1200:3600); z=1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700; 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850; 1390 15
10、00 1500 1400 900 1100 1060 950; 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010; 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070; 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550; 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980;線性插值法 zi=interp2(x,y,z,xi,yi,linear); mesh(xi,yi,zi) title(線性插值法) xlabel(x); ylabel(y); zlabel(z); C=conto
11、urf(xi,yi,zi); clabel(C); title(等高線圖)算法與編程：最鄰近插值法 zi=interp2(x,y,z,xi,yi,nearest); mesh(xi,yi,zi) title(最鄰近插值法) xlabel(x); ylabel(y); zlabel(z); C=contourf(xi,yi,zi); clabel(C); title(等高線圖)立方插值法 zi=interp2(x,y,z,xi,yi,cubic ); mesh(xi,yi,zi) title( 立方插值法) xlabel(x); ylabel(y); zlabel(z); C=contourf(
12、xi,yi,zi); clabel(C); title(等高線圖)三次樣條插值法 zi=interp2(x,y,z,xi,yi,spline ); mesh(xi,yi,zi) title( 三次樣條插值法) xlabel(x); ylabel(y); zlabel(z); C=contourf(xi,yi,zi); clabel(C); title(等高線圖)計算結果：四種差值方法在運算時間和光滑程度上有一定的差異，如下表所示類別差值方法運算時間光滑程度最鄰近插值法快差線性插值法稍長稍好三次樣條插值法最長最好立方插值法較長較好三 問題：曲線擬合某年美國舊車價格的調查資料如下表所示，其中下xi
13、表示轎車的使用年數(shù)，yi表示相應的平均價格。試分析用什么形式的曲線來擬合上述的數(shù)據(jù)，并計算使用4.5年后轎車的平均價格大致為多少？xi12345678910yi2615194314941087765538484290226204方法一利用1stOpt快速擬合公式搜索可得到公式為：y = p1+p2*x+p3/x+p4*x2+p5/x2+p6*x3+p7/x3+p8*x4+p9/x4+p10*x5p1=18382690.6773727p2=-4152096.11663013p3=-51037385.3263795p4=592195.144413008p5=84947107.1889704p6=-
14、51716.5130172659p7=-75932896.2582835p8=2521.12152863706p9=27252247.5649699p10=-52.482670759974Matlab代碼如下 p1=10802.6249167589; p2=-20010.6348923663; p3=19400.634311511; p4=-10100.4704562703; p5=2958.58084727337; p6=-461.436321152701; p7=21.9610124897453; p8=4.50124440221874; p9=-0.851576261728162; p1
15、0=0.0575464303972622; p11=-0.00144545223415816; x=4.5; y=p1+p2*x+p3*x2+p4*x3+p5*x4+p6*x5+p7*x6+p8*x7+p9*x8+p10*x9 +p11*x10運行結果： y = 921.1616方法二 利用matlab擬合 x=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10; y=2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204; plot(x,y,*)觀察圖形可知，曲線近似于指數(shù)函數(shù)設，取對數(shù)得記,則利用matlab算出a1,a2的值 x=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10; y=2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204; m=log(y); aa=polyfit(x,m,1)結果 aa = -0.2969 8.1591 則 , 即所以利用matlab算出x=4.5時y的值x=4.5;y=exp(-0.2969*x+8.1591) 結果 y = 918.7830四 分析、檢驗和結論各種方法各有優(yōu)缺點，通過圖形可以得出結論五 心得體會越來越多現(xiàn)實生活中的問題可借助數(shù)學模型的方法來解決。我們應該掌握好相關知識利于學習實踐。
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