高中數學 小問題集中營 專題2.6 函數與方程中的等高線.doc

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1、 專題六 函數與方程中的等高線 一、問題的提出 【2015高考天津理8】已知函數 函數 ，其中， 若函數 恰有4個零點，則的取值范圍是( ) （A） （B） （C） （D） 設,借助地理中的名詞,我們把稱作函數的等高線,利用函數的等高線求解與交點橫坐標有關的問題,也是高考的一個熱點,求解這類問題一般要借助函數圖象和函數性質,綜合性較強,對解題能力要求較高,故此類問題難度較大,一般作為客觀題壓軸題出現.下面我們就來探討這一類問題的解法. 二、問題的探源 首先給出上面一題的解法： 由得， 所以， 即 ,所以恰有4個零點等價于方程 有4個不

2、同的解，即函數與函數的圖象的4個公共點，由圖象可知. 從上面的解法我們可以看出,解決此類問題一般要先畫出函數的圖象,再根據圖像探討函數的性質,然后利用函數性質進行求解,類型主要有以下3種： 1.對稱性求解等高線對應的交點橫坐標之和. 求解此類問題常用的一個結論是：若關于直線對稱,則； 2. 對稱性求解等高線對應的交點橫坐標之積. 求解此類問題常用的結論是：若直線與函數有兩個不同交點,則,對任意等 ； 3. 求等高線對應的交點橫坐標函數的范圍. 求解此類問題一般是把所給式子轉化為關于某一交點橫坐標的函數,再由圖象確定該交點橫坐標的范圍,然后利用函數或不等式求范圍. 三、問題的

3、佐證 1.對稱性求解等高線對應的交點橫坐標之和 【例1】已知函數,且對于任意實數關于的方程都有四個不相等的實根,則的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 【解析】根據函數圖像可得,由于,因此,故應選C. 【例2】【2014上海,理12】設常數a使方程在閉區(qū)間[0,2]上恰有三個解， 則 . 【答案】 2. 對稱性求解等高線對應的交點橫坐標之積； 【例3】已知,是互不相同的正數, 且,則的取值范圍是（ ） A． B． C

4、． D． 【解析】不妨設,由圖像知,所以,選D. 【例4】設函數,且關于的方程恰有個不同的實數根 ,則的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 【解析】 首先畫出函數的圖像,如下圖所示.由圖可知,滿足方程恰有個不同的實數根,且,其的取值范圍為.由題意知,是的根,即,所以,,且,所以,故應選. 3. 求等高線對應的交點橫坐標函數的范圍. 【例5】已知函數,若存在常數使得方程有兩個不等的實根, （）,那么的取值范圍為（ ） A． B． C．

5、 D． 【點睛】本題是分段函數,因此分段求得函數的值域后,結合函數圖象可得,結合求值式,,因此可變?yōu)橐粋€二次函數,由二次函數知識可得范圍．在解函數問題時,函數圖象可幫助我們得出結論,得出解題方法,幫助我們尋找到解題思路． 4. 已知零點運用等高線求參數的范圍. 【例6】【2015高考湖南】若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是_____. 【答案】 【解析】由函數有兩個零點，可得有兩個不等的根，從而可得函數 函數的圖象有兩個交點，結合函數的圖象可得，，故答案為：. 【點睛】已知函數有零點(方程有根)求參數取值范圍常用的方法 (1)直接法：直接根據題設條件構

6、建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍． (2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決． (3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖像，然后數形結合求解． 【例7】【2014江蘇】已知是定義在上且周期為3的函數，當時， ，若函數在區(qū)間上有10個零點（互不相同）， 則實數的取值范圍是 . 【答案】 【解析】作出函數的圖象，可見，當時，，，方程在上有10個零點，即函數和圖象與直線在上有10個交點，由于函數的周期為3，因此直線與函數的應該是4個交點，則有． 【點晴】研究函數性質時一般要借助于函數圖像，體現了數形結合

7、思想；方程解的問題常轉化為兩熟悉的函數圖像的交點個數問題來解決．圖像的應用常見的命題角度有：(1)確定方程根的個數；(2)求參數的取值范圍； (3)求不等式的解集. 四、問題的解決 1．已知,若、、互不相等, 且,則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨令,要滿足,則有, ．故選C. 【評注】本題主要考查了函數的圖象,三角函數的圖象,對數函數的性質等知識點．本題的有兩個關鍵點：一是關于對稱,由此得到；二是值域滿足,可得．由此可得．第二是本題的難點,本題也可結合函數的圖象來研究．本題難度中等

8、． 2.已知函數,若函數恰有三個互不相同的零點, 則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】不妨設,由圖像得,所以 ,當時,所以的取值范圍是,選A. 【評注】（1）運用函數圖象解決問題時,先要正確理解和把握函數圖象本身的含義及其表示的內容,熟悉圖象所能夠表達的函數的性質. （2）在研究函數性質特別是單調性、最值、零點時,要注意用好其與圖象的關系,結合圖象研究. 3．記表示中較小的數,比如.設函數,若（互不相等）,則的取值范圍為（ ） A．

9、 B． C． D． 【答案】.A 【評注】在涉及到函數的零點,方程的解的范圍,方程解的個數問題時通常采用數形結合法,把方程解轉化為兩函數圖象的交點（較多是直線與函數圖象交點）,通過圖象觀察結論,尋找方法． 4.【2015高考北京】如圖，函數的圖象為折線，則不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如圖所示，把函數的圖象向左平移一個單位得到的圖象時兩圖象相交，不等式的解為，用集合表示解集選C 【

10、點睛】本題考查作基本函數圖象和函數圖象變換及利用函數圖象解不等式 等有關知識，本題屬于基礎題，首先是函數圖象平移變換，把沿軸向左平移2個單位，得到的圖象，要求正確畫出畫出圖象， 利用數形結合寫出不等式的解集. 5．已知,若,則實數的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設,作出函數的圖象如圖所示,由圖知．由,,得,所以＝．令,則＝．令,得．令,得,所以在上單調遞增,在上單調遞減,所以．又因為當時,,所以,故選A． 6. 【2014湖北卷10】已知函數是定義

11、在上的奇函數，當時，，若，，則實數的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【點睛】將含絕對值的函數、函數的奇偶性、分段函數和不等式等內容聯系在一起，凸顯了知識之間的聯系性、綜合性，體現了函數思想、轉化與化歸的數學思想在函數問題中的應用，能較好的考查學生的作圖能力和綜合能力.其解題的關鍵是正確地畫出分段函數的圖像并通過函數圖像建立不等關系. 7．已知函數,若存在實數,,,,滿足,且,則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】. B

12、 【解析】在平面直角坐標系中,作出函數的圖象如圖所示： 因為存在實數,,,,滿足,且,所以由圖象知：,,,,當時,直線與函數的圖象有個交點,直線越往上平移,的值越小,直線直線越往下平移,的值越大,因為當時,,當時, ,所以的取值范圍是,故選B． 8. 已知函數,若方程有四個不同的解,且,則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】畫出函數的圖象,如圖,結合圖象可知,所以 ,因,故的取值范圍是,故應選B． 【評注】函數的圖象是函數的定義域和值域在平面直角坐標系中具體體現,是數形結合的平臺和橋梁．本題考查的是函數圖象在確定函數的圖象交點中運用問題．

13、解答時充分利用題設中所提供的有效信息進行分析和判斷,其目的是檢測運用所學知識分析問題和解決問題的能力及運用數形結合的思想解答問題思維意識．解答本題的關鍵是能認識到四個根之間具有這兩個關系,從而將問題進行化歸為求函數的值域問題． 9．函數y＝－m有兩個零點,則m的取值范圍是________． 【答案】（0，1） 【解析】在同一直角坐標系內,畫出y1＝和y2＝m的圖象,如圖所示,由于函數有兩個零點,故0

14、致圖像，如下圖： 由題意，可知 11.先看下面一道試題：已知函數,若,,互不相等,且,則的取值范圍是 . 【答案】（10,12） 【解析】作出函數的圖象如圖所示,不妨設,則, 所以,則,故選A. 12.已知函數,若方程有四個不同的實數根（其中）,則的取值范圍是__________． 【答案】 13. 【2014天津高考】已知函數，．若方程恰有4個互異的實數根，則實數的取值范圍為__________． 【答案】． 【解析】（方法一）在同一坐標系中畫和的圖象（如圖），問題轉化為 與圖象恰有四個交點．當與（或與）相切時，與圖象恰有三個交點．把代入，得，即，由，得，解得或．又當時，與僅兩個交點，或． （方法二）顯然，∴．令，則．∵，∴．結合圖象可得或． 14.【2016高考山東理數】已知函數 其中，若存在實數b，使得關于x的方程f（x）=b有三個不同的根，則m的取值范圍是________________. 【答案】 - 15 -