2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 刷題首選卷 第二部分 刷題型 壓軸題（二）文

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1、壓軸題(二) 12．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，對稱中心為O，右焦點為F，點A是雙曲線C的一條漸近線上位于第一象限內(nèi)的點，∠AOF＝∠OAF，△OAF的面積為3，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　因為e＝＝，所以＝＝， 所以tan∠AOF＝＝，所以∠AOF＝， 又因為∠AOF＝∠OAF， 所以|AF|＝|OF|＝c，∠OAF＝，∠AFO＝. 又因為S△OAF＝3， 所以·c·c·sin＝3. 所以c2＝12，a2＝c2＝9，b2＝a2＝3. 所以雙曲線C的方程為－＝1. 16．祖

2、暅是我國南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”，這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高，這句話的意思是兩個等高的幾何體，若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等，一般大型熱電廠的冷卻塔大都采用雙曲線型，設(shè)某雙曲線型冷卻塔是曲線－＝1(a>0，b>0)與直線x＝0，y＝0和y＝b所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得，如圖所示，試應(yīng)用祖暅原理類比求球體體積公式的方法，求出此冷卻塔的體積為________． 答案　πa2b 解析　如題圖，A點在雙曲線上，B點在漸近線上，則圖中圓環(huán)的面積為πx－πx＝π－π2＝πa2，從而根據(jù)

3、祖暅原理可知，該雙曲線型冷卻塔挖出一個以漸近線為母線的圓錐后的幾何體的體積等于底面半徑為a、高為b的圓柱的體積，所以此冷卻塔的體積為πa2b＋πa2b＝πa2b. 20．(2019·安徽蚌埠第三次質(zhì)檢)已知點M(－2,0)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左頂點，且橢圓C的離心率為. (1)求橢圓C的標準方程； (2)矩形ABCD的四個頂點均在橢圓C上，求矩形ABCD的面積的最大值． 解　(1)依題意，M(－2,0)是橢圓C的左頂點，所以a＝2. 又e＝＝，所以c＝，b＝1，所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1. (2)由對稱性可知，設(shè)A(x0，y0)，其中x0y0≠0，則B(－x0，y

4、0)，C(－x0，－y0)，D(x0，－y0)， 所以|AB|＝2|x0|，|AD|＝2|y0|， S矩形ABCD＝4|x0y0|， 因為S＝16xy，又y＝1－， 所以S＝16xy＝－4x＋16x＝－4(x－2)2＋16，而x∈(0,4)，故當x＝2時，S取得最大值16，所以矩形ABCD的面積的最大值為4. 21．(2019·河南開封三模)已知函數(shù)f(x)＝ex－a，g(x)＝a(x－1)(常數(shù)a∈R且a≠0)． (1)當g(x)與f(x)的圖象相切時，求a的值； (2)設(shè)h(x)＝f(x)·g(x)，若h(x)存在極值，求a的取值范圍． 解　(1)設(shè)切點為A(x0，ex0－

5、a)，因為f′(x)＝ex，所以過A點的切線方程為y－e x0＋a＝e x0 (x－x0)，即y＝e x0x－x0e x0＋e x0－a， 由題意，得 解得a＝e. (2)依題意，h(x)＝a(x－1)(ex－a)，則h′(x)＝a(xex－a)，當a＞0時，令φ(x)＝xex－a，則φ′(x)＝(x＋1)ex，令φ′(x)＞0，則x＞－1，令φ′(x)＜0，則x＜－1，所以當x∈(－∞，－1)時，φ(x)單調(diào)遞減；當x∈(－1，＋∞)時，φ(x)單調(diào)遞增．若h(x)存在極值，則φ(x)min＝φ(－1)＝－－a＜0，所以a∈(0，＋∞)，又a∈(0，＋∞)時，φ(a)＝a(ea－1)＞0，所以，a∈(0，＋∞)時，φ(x)在(－1，＋∞)存在零點x1，且在x1左側(cè)φ(x)＜0，在x1右側(cè)φ(x)＞0，即h′(x)存在變號零點．當a＜0時，h′(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減．若h(x)存在極值，則h′(x)max＝h′(－1)＝a(－－a)>0，即－－a<0， 即a∈，又a∈時，φ(a)＝a(ea－1)>0，所以a∈時，φ(x)在(－1，＋∞)存在零點x2，且在x2左側(cè)φ(x)<0，在x2右側(cè)φ(x)>0，即h′(x)存在變號零點．所以，若h(x)存在極值，a∈∪(0，＋∞)． - 3 -