圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線知識點總結例題習題精講.doc

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1、 課程星級：知能梳理【橢圓】一、橢圓的定義1、橢圓的第一定義：平面內一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù) ，這個動點的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距。注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形。二、橢圓的方程1、橢圓的標準方程（端點為a、b，焦點為c）（1）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；（2）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；2、兩種標準方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1三、橢圓的性質（以為例）1、對稱性：對于橢圓標準方程：是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形；并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。

2、2、范圍：橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足，。3、頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為，。 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4、離心率： 橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。 因為，所以的取值范圍是。越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。 當且僅當時，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。 離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關，與其所處的位置無關。注意：橢圓的圖像中線段的幾

3、何特征（如下圖）： 5、橢圓的第二定義：平面內與一個定點（焦點）和一條定直線（準線）的距離的比為常數(shù)e，（0e1）的點的軌跡為橢圓（）。即：到焦點的距離與到準線的距離的比為離心率的點所構成的圖形，也即上圖中有。焦點在x軸上：（ab0）準線方程：焦點在y軸上：（ab0）準線方程：6、橢圓的內外部需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】”（1）點在橢圓的內部（2）點在橢圓的外部四、橢圓的兩個標準方程的區(qū)別和聯(lián)系標準方程 圖形性質焦點，焦距范圍，對稱性關于軸、軸和原點對稱頂點，軸

4、長長軸長=，短軸長=離心率準線方程焦半徑，五、其他結論需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】”1、若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是2、若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是3、橢圓 (ab0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為4、橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , )5、設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線

5、于M、N兩點，則MFNF。6、過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF。7、AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。8、若在橢圓內，則被Po所平分的中點弦的方程是9、若在橢圓內，則過Po的弦中點的軌跡方程是【雙曲線】一、雙曲線的定義1、第一定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（|F1F2|）的點的軌跡（為常數(shù)）。這兩個定點叫雙曲線的焦點。 要注意兩點：（1）距離之差的絕對值。（2）2a|F1F2|。 當|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支； 當|M

6、F1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支； 當2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；當2a|F1F2|時，動點軌跡不存在。2、第二定義：動點到一定點F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)時，這個動點的軌跡是雙曲線。這定點叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線。二、雙曲線的標準方程（，其中|=2c）需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】”三、點與雙曲線的位置關系，直線與雙曲線的位置關系1、點與雙曲線2、直線與雙

7、曲線四、雙曲線與漸近線的關系五、雙曲線與切線方程六、雙曲線的性質七、 弦長公式1、若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則。2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點，則弦長。3、若弦AB所在直線方程設為，則。4、特別地，焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解八、焦半徑公式九、等軸雙曲線十、共軛雙曲線需要雙曲線的詳細資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】”【拋物線】一、拋物線的概念平面內與一定點

8、F和一條定直線l (l不經(jīng)過點F) 距離相等的點的軌跡叫做拋物線。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。二、拋物線的性質三、相關定義1、通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦H1H2稱為通徑；通徑：|H1H2|=2P2、弦長公式：3、焦點弦：過拋物線焦點的弦，若，則(1) x0+， (2)，p2(3) 弦長,，即當x1=x2時,通徑最短為2p(4) 若AB的傾斜角為，則=（5）+=四、點、直線與拋物線的位置關系需要詳細的拋物線的資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】”【圓錐曲線與方

9、程】一、圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線的距離之比是一個常數(shù)e(e0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線稱為準線，正常數(shù)e稱為離心率。當0e1時，軌跡為橢圓；當e=1時，軌跡為拋物線；當e1時，軌跡為雙曲線。 特別注意：當時，軌跡為圓（，當時）。二、橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質三、曲線與方程四、坐標變換1、坐標變換： 2、坐標軸的平移：3、中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳

10、細解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】”精講精練【例】以拋物線的焦點為右焦點,且兩條漸近線是的雙曲線方程為_.解： 拋物線的焦點為，設雙曲線方程為，雙曲線方程為【例】雙曲線=1(bN)的兩個焦點F1、F2，P為雙曲線上一點，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_。解：設F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y)，則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2)，即|PF1|2+|PF2|250+2c2，又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|，依雙曲線定義，有|PF1|PF2|=4，依

11、已知條件有|PF1|PF2|=|F1F2|2=4c2 16+8c250+2c2，c2,又c2=4+b2，b2，b2=1。【例】當取何值時，直線：與橢圓相切，相交，相離？解： 代入得化簡得當即時，直線與橢圓相切；當，即時，直線與橢圓相交；當，即或時，直線與橢圓相離。【例】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個焦點為F，M是橢圓上的任意點，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程。解：|MF|max=a+c，|MF|min=ac，則(a+c)(ac)=a2c2=b2，b2=4，設橢圓方程為設過M1和M2的直線方

12、程為y=x+m將代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0設M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，M1M2的中點為(x0，y0)，則x0= (x1+x2)=，y0=x0+m=。代入y=x，得，由于a24，m=0，由知x1+x2=0，x1x2=，又|M1M2|=，代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求橢圓方程為： =1?！纠磕硳佄锞€形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長。需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】

13、” 解：以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標系，如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標分別為(10，4）、(10，4）設拋物線方程為x2=2py，將A點坐標代入，得100=2p(4)，解得p=12。5，于是拋物線方程為x2=25y。由題意知E點坐標為(2，4)，E點橫坐標也為2，將2代入得y=0。16，從而|EE|=(0.16)(4)=3.84。故最長支柱長應為3.84米?！纠恳阎獧E圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程。解：設橢圓方程為mx2+ny2=1(m0，n0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由

14、得(m+n)x2+2nx+n1=0，=4n24(m+n)(n1)0，即m+nmn0，由OPOQ，所以x1x2+y1y2=0，即2x1x2+(x1+x2)+1=0，+1=0，m+n=2又22，將m+n=2，代入得mn=由、式得m=，n=或m=，n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1。【例】已知圓C1的方程為，橢圓C2的方程為，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程。解：由設橢圓方程為設 又 兩式相減，得 又即將需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細

15、解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】”由得解得 故所有橢圓方程【例】過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程。解法一：由e=，得，從而a2=2b2，c=b。設橢圓方程為x2+2y2=2b2，A(x1，y1)，B(x2，y2)在橢圓上。則x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0，設AB中點為(x0，y0)，則kAB=，又(x0，y0)在直線y=x上，y0=x0，于是=1，kAB=1，

16、設l的方程為y=x+1。右焦點(b，0)關于l的對稱點設為(x，y)，由點(1，1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2，b2=。所求橢圓C的方程為 =1，l的方程為y=x+1。解法二：需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】”由e=，從而a2=2b2，c=b。設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2，l的方程為y=k(x1)，將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0，則x1+x2=，y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=

17、。直線l：y=x過AB的中點()，則，解得k=0，或k=1。若k=0，則l的方程為y=0，焦點F(c，0)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1)，即y=x+1，以下同解法一。解法三：設橢圓方程為直線不平行于y軸，否則AB中點在x軸上與直線中點矛盾。故可設直線， ，則， 所以所求的橢圓方程為：【例】如圖，已知P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程。解：以O為原點，P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標系。設雙曲線方程為=1(a0，b0)，由e2=，得

18、。兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=x設點P1(x1， x1)，P2(x2，x2)(x10，x20)，則由點P分所成的比=2，得P點坐標為()，又點P在雙曲線=1上，所以=1，即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4，b2=9。 故雙曲線方程為=1?！纠啃枰嗟母呖紨?shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】”過橢圓C：上一動點P引圓O：x2 +y2 =b2的兩條切線PA、PB，A、B為切點，直線AB與x軸，y軸分別交

19、于M、N兩點。(1) 已知P點坐標為(x0，y0 )并且x0y00，試求直線AB方程；(2) 若橢圓的短軸長為8，并且，求橢圓C的方程；(3) 橢圓C上是否存在點P，由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，請求出存在的條件；若不存在，請說明理由。解：(1)設A(x1，y1)，B(x2， y2) 切線PA：，PB：P點在切線PA、PB上，直線AB的方程為(2)在直線AB方程中，令y=0，則M(，0)；令x=0，則N(0，) 2b=8 b=4 代入得a2 =25， b2 =16橢圓C方程： (3) 假設存在點P(x0，y0)滿足PAPB，連接OA、OB由|PA|=|PB|知，四邊形PAOB為正方形

20、，|OP|=|OA| 又P點在橢圓C上 由知x ab0 a2 b20(1)當a22b20，即ab時，橢圓C上存在點，由P點向圓所引兩切線互相垂直；(2)當a22b20，即ba0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由?？键c：本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關系。解：（1）因

21、為橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為。解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且。因為,所以, 當時。 因為所以,所以, 所以當且僅當時取”=”。 當時,。 當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以

22、此時,綜上, |AB |的取值范圍為即: 需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】”學習感悟通過本課程的學習：一、“知能梳理”模塊里的知識點你都掌握了嗎？1、需要鞏固的知識點：2、尚未掌握的知識點：二、“精講精練”模塊里的例題你都掌握了嗎？1、完全掌握的例題：2、需要再次復習得例題：3、尚未掌握的例題：三、其他備注需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】”- 25 -