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1、第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析與校正練習(xí)題及答案3-1 已知系統(tǒng)脈沖響應(yīng)試求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。解 3-2 設(shè)某高階系統(tǒng)可用下列一階微分方程近似描述，其中，。試證系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為 解 設(shè)單位階躍輸入當(dāng)初始條件為0時(shí)有：1) 當(dāng) 時(shí) ; 2) 求（即從到所需時(shí)間) 當(dāng) ; 當(dāng) ; 則 3) 求 3-3 一階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-45所示。要求系統(tǒng)閉環(huán)增益，調(diào)節(jié)時(shí)間s，試確定參數(shù)的值。解 由結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)令閉環(huán)增益， 得：令調(diào)節(jié)時(shí)間，得：。3-4 在許多化學(xué)過程中，反應(yīng)槽內(nèi)的溫度要保持恒定， 圖3-46（a）和（b）分別為開環(huán)和閉環(huán)溫度控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，兩種系統(tǒng)正常的值為1。 （1） 若，兩種
2、系統(tǒng)從響應(yīng)開始達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度值的63.2各需多長(zhǎng)時(shí)間？（2） 當(dāng)有階躍擾動(dòng)時(shí)，求擾動(dòng)對(duì)兩種系統(tǒng)的溫度的影響。解 （1）對(duì)（a）系統(tǒng)： ， 時(shí)間常數(shù) （a）系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度值的63.2%需要10個(gè)單位時(shí)間；對(duì)（a）系統(tǒng)：， 時(shí)間常數(shù) （b）系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度值的63.2%需要0.099個(gè)單位時(shí)間。（2）對(duì)（a）系統(tǒng)： 時(shí)，該擾動(dòng)影響將一直保持。對(duì)（b）系統(tǒng)： 時(shí)，最終擾動(dòng)影響為。3-5 一種測(cè)定直流電機(jī)傳遞函數(shù)的方法是給電樞加一定的電壓，保持勵(lì)磁電流不變，測(cè)出電機(jī)的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速；另外要記錄電動(dòng)機(jī)從靜止到速度為穩(wěn)態(tài)值的50%或63.2%所需的時(shí)間，利用轉(zhuǎn)速時(shí)間曲線（如圖3-47）和所測(cè)數(shù)據(jù),并假設(shè)傳遞函數(shù)
3、為可求得和的值。若實(shí)測(cè)結(jié)果是：加10V電壓可得1200的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速，而達(dá)到該值50%的時(shí)間為1.2s，試求電機(jī)傳遞函數(shù)。 提示：注意，其中，單位是解 依題意有： （伏） （弧度/秒） （1） （弧度/秒） （2）設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 應(yīng)有 （3） 由式（2），（3） 得 解出 （4）將式（4）代入式（3）得 3-6 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求單位階躍響應(yīng)和調(diào)節(jié)時(shí)間 。解：依題，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) ， 。3-7 設(shè)角速度指示隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-48所示。若要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，且調(diào)節(jié)時(shí)間盡可能短，問開環(huán)增益應(yīng)取何值，調(diào)節(jié)時(shí)間是多少？解 依題意應(yīng)取 ，這時(shí)可設(shè)閉環(huán)極點(diǎn)為。寫出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 閉
4、環(huán)特征多項(xiàng)式 比較系數(shù)有 聯(lián)立求解得 因此有 3-8 給定典型二階系統(tǒng)的設(shè)計(jì)指標(biāo)：超調(diào)量，調(diào)節(jié)時(shí)間 ，峰值時(shí)間，試確定系統(tǒng)極點(diǎn)配置的區(qū)域，以獲得預(yù)期的響應(yīng)特性。解 依題 ， ；， ； ， 綜合以上條件可畫出滿足要求的特征根區(qū)域如圖解3-8所示。3-9 電子心臟起博器心律控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題3-49圖所示，其中模仿心臟的傳遞函數(shù)相當(dāng)于一純積分環(huán)節(jié)。 （1） 若對(duì)應(yīng)最佳響應(yīng)，問起博器增益應(yīng)取多大？（2） 若期望心速為60次/min，并突然接通起博器，問1s鐘后實(shí)際心速為多少？瞬時(shí)最大心速多大？解 依題，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 令 可解出 將 代入二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)公式可得 時(shí)，系統(tǒng)超調(diào)量 ，最大心速為3-10
5、 機(jī)器人控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-50所示。試確定參數(shù)值，使系統(tǒng)階躍響應(yīng)的峰值時(shí)間s，超調(diào)量。 解 依題，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 由 聯(lián)立求解得 比較分母系數(shù)得 3-11 某典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖3-51所示。試確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 解 依題，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)形式應(yīng)為由階躍響應(yīng)曲線有： 聯(lián)立求解得 所以有 3-12 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)在誤差初條件作用下的時(shí)間響應(yīng)。解 依題意，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)微分方程為 考慮初始條件，對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換 整理得 （1）對(duì)單位反饋系統(tǒng)有 ， 所以 將初始條件代入式（1）得 3-13 設(shè)圖3-52（a）所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖
6、3-52（b）所示。試確定系統(tǒng)參數(shù)和。解 由系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線有 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）由 聯(lián)立求解得 由式（1）另外 3-14 圖3-53所示是電壓測(cè)量系統(tǒng)，輸入電壓伏，輸出位移厘米，放大器增益，絲杠每轉(zhuǎn)螺距1mm，電位計(jì)滑臂每移動(dòng)1厘米電壓增量為0.4V。當(dāng)對(duì)電機(jī)加10V階躍電壓時(shí)（帶負(fù)載）穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速為1000，達(dá)到該值63.2%需要0.5s。畫出系統(tǒng)方框圖，求出傳遞函數(shù)，并求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的峰值時(shí)間、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間和穩(wěn)態(tài)值。解 依題意可列出環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)如下比較點(diǎn)： V放大器： 電動(dòng)機(jī)： r/s/V絲杠： cm/r電位器： V/cm畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖解3-14所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 3-1
7、5 已知系統(tǒng)的特征方程，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定在右半s平面根的個(gè)數(shù)及純虛根。（1）（2）（3）（4）解（1）=0 Routh： S5 1 2 11 S4 2 4 10 S3 S2 10 S S0 10第一列元素變號(hào)兩次，有2個(gè)正根。（2）=0 Routh： S5 1 12 32 S4 3 24 48 S3 0 S2 48 S 0 輔助方程 , S 24 輔助方程求導(dǎo)： S0 48系統(tǒng)沒有正根。對(duì)輔助方程求解，得到系統(tǒng)一對(duì)虛根 。（3）Routh： S5 1 0 -1 S4 2 0 -2 輔助方程 S3 8 0 輔助方程求導(dǎo) S2 -2 S S0 -2第一列元素變號(hào)一次，有1個(gè)正根；由輔助方
8、程可解出： （4）Routh： S5 1 24 -25 S4 2 48 -50 輔助方程 S3 8 96 輔助方程求導(dǎo) S2 24 -50 S 338/3 S0 -50第一列元素變號(hào)一次，有1個(gè)正根；由輔助方程可解出： 3-16 圖3-54是某垂直起降飛機(jī)的高度控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解 由結(jié)構(gòu)圖，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： Routh： S5 1 4 2K S4 1 4K K S3 K S2 K S S0 K 使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是： 。3-17 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)特征根的實(shí)部不大于，試確定開環(huán)增益的取值范圍。解 系統(tǒng)開環(huán)增益 。特征方程為： 做代換 有：Rou
9、th ： S3 1 2 S2 5 K-8 S S0 使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍為： 。3-18 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試在滿足 的條件下，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的和的取值范圍，并以和為坐標(biāo)畫出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域圖。解 特征方程為： Routh ： S3 S2 S S0 綜合所得條件，當(dāng) 時(shí)，使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍如圖解3-18中陰影部所示。3-19 圖3-55是核反應(yīng)堆石墨棒位置控制閉環(huán)系統(tǒng)，其目的在于獲得希望的輻射水平，增益4.4就是石墨棒位置和輻射水平的變換系數(shù)，輻射傳感器的時(shí)間常數(shù)為0.1秒，直流增益為1，設(shè)控制器傳遞函數(shù)。（1） 求使系統(tǒng)穩(wěn)定的功率放大器增益的取值范圍；（2） 設(shè)，傳感
10、器的傳遞函數(shù)（不一定是0.1），求使系統(tǒng)穩(wěn)定的的取值范圍。解 （1）當(dāng)控制器傳遞函數(shù)時(shí) （2），時(shí) 3-20 圖3-56是船舶橫搖鎮(zhèn)定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，引入內(nèi)環(huán)速度反饋是為了增加船只的阻尼。（1） 求海浪擾動(dòng)力矩對(duì)船只傾斜角的傳遞函數(shù)；（2） 為保證為單位階躍時(shí)傾斜角的值不超過0.1，且系統(tǒng)的阻尼比為0.5，求、和應(yīng)滿足的方程；（3） 取=1時(shí)，確定滿足（2）中指標(biāo)的和值。解 （1）（2）令： 得 。 由 有： ， 可得（3） 時(shí)，可解出 。3-21 溫度計(jì)的傳遞函數(shù)為，用其測(cè)量容器內(nèi)的水溫，1min才能顯示出該溫度的98%的數(shù)值。若加熱容器使水溫按10C/min的速度勻速上升，問溫度計(jì)的穩(wěn)態(tài)指示誤
11、差有多大？解法一 依題意，溫度計(jì)閉環(huán)傳遞函數(shù)由一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)特性可知：，因此有 ，得出 。視溫度計(jì)為單位反饋系統(tǒng)，則開環(huán)傳遞函數(shù)為 用靜態(tài)誤差系數(shù)法，當(dāng) 時(shí)，。解法二 依題意，系統(tǒng)誤差定義為 ，應(yīng)有 3-22 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-57所示。試求局部反饋加入前、后系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)、靜態(tài)速度誤差系數(shù)和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。解 局部反饋加入前，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 局部反饋加入后，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 3-23 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試分別求出當(dāng)輸入信號(hào)和時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解 由靜態(tài)誤差系數(shù)法時(shí)， 時(shí)， 時(shí)， 3-24 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-58所示。已知，試分別計(jì)算作用時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，并說明
12、積分環(huán)節(jié)設(shè)置位置對(duì)減小輸入和干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差的影響。 解 時(shí)， ；時(shí)， 時(shí)， 在反饋比較點(diǎn)到干擾作用點(diǎn)之間的前向通道中設(shè)置積分環(huán)節(jié)，可以同時(shí)減小由輸入和干擾因引起的穩(wěn)態(tài)誤差。3-25 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-59所示，要使系統(tǒng)對(duì)而言是II型的，試確定參數(shù)和的值。解 依題意應(yīng)有： 聯(lián)立求解得 此時(shí)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)特征方程為當(dāng) ，時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。3-26 宇航員機(jī)動(dòng)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-60所示。其中控制器可以用增益來表示；宇航員及其裝備的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（1） 當(dāng)輸入為斜坡信號(hào)m時(shí)，試確定的取值，使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差cm；（2） 采用（1）中的值，試確定的取值，使系統(tǒng)超調(diào)量%限制在1
13、0%以內(nèi)。解 （1）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 時(shí)，令 ， 可取 。（2）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 由 ，可解出 。取 進(jìn)行設(shè)計(jì)。將，代入表達(dá)式，可得 3-27 大型天線伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-61所示，其中=0.707，=15，=0.15s。（1） 當(dāng)干擾，輸入時(shí)，為保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差小于0.01，試確定的取值；（2） 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)工作（=0），且輸入時(shí)，確定由干擾引起的系統(tǒng)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值。解 （1）干擾作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為 時(shí)， 令 得： （2）此時(shí)有 3-28 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （1） 求各靜態(tài)誤差系數(shù)和時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差；（2） 當(dāng)輸入作用10s時(shí)的動(dòng)態(tài)誤差是多少？解 （1） 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)，由
14、疊加原理 （2） 題意有 用長(zhǎng)除法可得 3-29 已知單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為輸入，求動(dòng)態(tài)誤差表達(dá)式。解 依題意 用長(zhǎng)除法可得 。3-30 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-62所示。其中，。試分析：（1）值變化(增大)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；（2）值變化(增大)對(duì)動(dòng)態(tài)性能（，）的影響；（3）值變化(增大)對(duì)作用下穩(wěn)態(tài)誤差的影響。解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）由 表達(dá)式可知，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定，時(shí)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。（2）由 可知， （3）3-31 設(shè)復(fù)合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題3-31圖所示。確定，使系統(tǒng)在作用下無穩(wěn)態(tài)誤差。解 系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為由勞斯判據(jù)，當(dāng) 、和均大于零，且時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。令 得 3-32 已知控制
15、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-64所示，試求：（1） 按不加虛線所畫的順饋控制時(shí)，系統(tǒng)在干擾作用下的傳遞函數(shù)；（2） 當(dāng)干擾時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出；（3） 若加入虛線所畫的順饋控制時(shí)，系統(tǒng)在干擾作用下的傳遞函數(shù)，并求對(duì)輸出穩(wěn)態(tài)值影響最小的適合值。解 （1）無順饋時(shí)，系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為 （2）（3）有順饋時(shí)，系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為 令 =0得 3-33 設(shè)復(fù)合校正控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-65所示，其中N(s)為可量測(cè)擾動(dòng)。若要求系統(tǒng)輸出C(s)完全不受N(s)的影響，且跟蹤階躍指令的穩(wěn)態(tài)誤差為零，試確定前饋補(bǔ)償裝置Gc1(s)和串聯(lián)校正裝置Gc2(s)。解 （1）求。令得： 。（2）求。令當(dāng)作用時(shí)，令 明顯地，取 可
16、以達(dá)到目的。3-34 已知控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-66（a）所示，其單位階躍響應(yīng)如圖3-66（b）所示，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差。試確定和的值。解 由 時(shí)，可以判定： 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)收斂，系統(tǒng)穩(wěn)定，因此必有： 。根據(jù)單位階躍響應(yīng)曲線，有 當(dāng)時(shí)，有 可得 當(dāng)時(shí)，有 可得 3-35 復(fù)合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-67所示，圖中，均為大于零的常數(shù)。（1） 確定當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，參數(shù)，應(yīng)滿足的條件；（2） 當(dāng)輸入時(shí)，選擇校正裝置，使得系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差。解 （1）系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù) 列勞斯表 因 、 均大于零，所以只要 即可滿足穩(wěn)定條件。（2）令 可得 3-36 設(shè)復(fù)合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-68所示。圖中為前饋補(bǔ)償裝
17、置的傳遞函數(shù)，為測(cè)速發(fā)電機(jī)及分壓電位器的傳遞函數(shù)，和為前向通路環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，為可量測(cè)擾動(dòng)。如果，試確定、和1，使系統(tǒng)輸出量完全不受擾動(dòng)的影響，且單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量，峰值時(shí)間。解 （1）確定。由梅遜公式解得 （2）確定。由梅遜公式 比較有 由題目要求 可解得 有 3-37 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-69所示。（1） 求引起閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的值和對(duì)應(yīng)的振蕩頻率；（2） 當(dāng)時(shí)，要使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，試確定滿足要求的值范圍。 解 （1）由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)有 令 聯(lián)立解出 （2）當(dāng) 時(shí)，令 ，有 ，綜合系統(tǒng)穩(wěn)定性要求，得：。3-38 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-70所示。已知系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量%，峰值時(shí)間s。（1） 求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；（2） 求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；（3） 根據(jù)已知的性能指標(biāo)%、確定系統(tǒng)參數(shù)及；（4） 計(jì)算等速輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解 （1） （2） （3）由 聯(lián)立解出 由（2） ，得出 。（4） 3-39 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-71所示。（1） 為確保系統(tǒng)穩(wěn)定，如何取值？（2） 為使系統(tǒng)特征根全部位于平面的左側(cè)，應(yīng)取何值？（3） 若時(shí)，要求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)取何值？ 解 （1） Routh： 系統(tǒng)穩(wěn)定范圍： （2）在中做平移變換： Routh： 滿足要求的范圍是： （3）由靜態(tài)誤差系數(shù)法當(dāng) 時(shí)，令 得 。綜合考慮穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差要求可得： 55
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