2019年高考數(shù)學三輪沖刺 專題02 函數(shù)的圖像和性質(zhì)專項講解與訓練

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1、第2講　函數(shù)圖象與性質(zhì) 函數(shù)及其表示 求函數(shù)值時的三個關注點 (1)求形如f(g(x))的函數(shù)值時，應遵循先內(nèi)后外的原則． (2)對于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解． (3)對于利用函數(shù)性質(zhì)的求值問題，必須依據(jù)條件找到函數(shù)滿足的性質(zhì)，利用該性質(zhì)求解． (1)設f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，則f＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 【答案】C (2)設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f>1的x的取值范圍是__________． 【答案】(－，＋∞) 【解析】當x≤0時，由f(x)＋f(x－)＝(

2、x＋1)＋(x－＋1)＝2x＋>1，得－1，即2x＋x－>0，因為2x＋x－>20＋0－＝>0，所以0時，f(x)＋f(x－)＝2x＋2x－>2＋20>1，所以x>.綜上，x的取值范圍是(－，＋∞)． 函數(shù)的圖象 考向1　識　圖 函數(shù)圖象識辨的常用方法 (1)由函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置；由函數(shù)的值域判斷圖象的上下位置； (2)由函數(shù)的單調(diào)性判斷圖象的變化趨勢； (3)由函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對稱性； (4)由函數(shù)的周期性識辨圖象； (5)由函數(shù)的特征點排除不合要求的圖象．

3、 (1)函數(shù)y＝的部分圖象大致為(　　) 【答案】C (2)某地一年的氣溫Q(t)(單位：℃)與時間t(月份)之間的關系如圖所示．已知該年的平均氣溫為10 ℃，令C(t)表示時間段[0，t]的平均氣溫，下列四個函數(shù)圖象中，最能表示C(t)與t之間的函數(shù)關系的是(　　) 【答案】A 【解析】 若增加的數(shù)大于當前的平均數(shù)，則平均數(shù)增大；若增加的數(shù)小于當前的平均數(shù)，則平均數(shù)減?。驗?2個月的平均氣溫為10 ℃，所以當t＝12時，平均氣溫應該為10 ℃，故排除B；因為在靠近12月份時其溫度小于10 ℃，因此12月份前的一小段時間內(nèi)的平均氣溫應該大于10 ℃，排除C；6月份以后增

4、加的溫度先大于平均值后小于平均值，故平均氣溫不可能出現(xiàn)先減小后增加的情況，故排除D，故選A. 考向2　用 圖 　函數(shù)圖象的應用 (1)判定函數(shù)的性質(zhì)． (2)判定方程根的個數(shù)及不等式的解． (2019·東北四市模擬)對?x∈(0，)，8x≤logax＋1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0，)　　　　　　 B．(0，] C．[，1) D．[，1) 【答案】　C 【解析】　令f(x)＝8x，g(x)＝logax＋1，由x∈(0，)時f(x)≤g(x)恒成立，知x∈(0，)時，f(x)的圖象一定在g(x)的圖象的下方，則0＜a＜1，作圖如下： 由圖可知：，解得

5、≤a＜1. (1)由函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象的步驟 (2)利用函數(shù)圖象解決問題的關鍵是根據(jù)題意，正確畫出函數(shù)的圖象．作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換．　 【對點訓練】 1．(2019·武昌調(diào)研) 已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝ 【答案】D. 【解析】A中，當x→＋∞時，f(x)→－∞，與題圖不符，故不成立；B為偶函數(shù)，與題圖不符，故不成立；C中，當x由＋∞→0時，f(x)＜0，與題圖不符，故不

6、成立．選D. 2．(2019.泰安模擬)設函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【答案】：[－1，＋∞) 【解析】：如圖，要使f(x)≥g(x)恒成立，則－a≤1， 所以a≥－1. 函數(shù)的性質(zhì)及應用 1．與函數(shù)周期性有關的5條結(jié)論 (1)若f(x＋T)＝f(x)，則T是f(x)的一個周期； (2)若f(x＋T)＝，則2T是f(x)的一個周期； (3)若f(x＋T)＝－，則2T是f(x)的一個周期； (4)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)

7、＝f(x)(其中a＜b)，則y＝f(x)是以2(b－a)為周期的周期函數(shù)． (5)若對于定義域內(nèi)的任意x都有f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為T＝2|a－b|.　 2．與函數(shù)對稱性有關的3條結(jié)論 (1)函數(shù)y＝f(x)關于x＝對稱?f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)＝f(b＋a－x)； 特例：函數(shù)y＝f(x)關于x＝a對稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)； 函數(shù)y＝f(x)關于x＝0對稱?f(x)＝f(－x)(即為偶函數(shù))． (2)函數(shù)y＝f(x)關于點(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?f(2a＋x

8、)＋f(－x)＝2b； 特例：函數(shù)y＝f(x)關于點(a，0)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝0?f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函數(shù)y＝f(x)關于點(0，0)對稱?f(x)＋f(－x)＝0(即為奇函數(shù))； (3)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關于直線x＝a對稱； y＝f(x＋a)是奇函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關于(a，0)對稱． (1)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(　　) A．[－2，2]　　　　　　 B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3] 【答案】D 【解析】因

9、為函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3，故選D. (2)(2017·高考山東卷)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當x∈[－3，0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________． 【答案】6 【解析】因為f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x)的周期為6，因為919＝153×6＋1， 所以f(919)＝f(1)．又f(x)為偶函數(shù)，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6. (1)判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法 數(shù)形結(jié)合法、結(jié)論

10、法(增＋增得增、減＋減得減及復合函數(shù)的同增異減)、定義法和導數(shù)法． (2)判斷函數(shù)是奇(偶)函數(shù)的關注點 必須對定義域內(nèi)的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))，而不能說存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)(f(－x0)＝f(x0))． (3)函數(shù)三個性質(zhì)的應用 ①奇偶性：具有奇偶性的函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問題時可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上．尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)＝f(x)． ②單調(diào)性：可以比較大小，求函數(shù)最值，解不等式，證明方程根的唯一性． ③周期性：利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖

11、象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解．　 【對點訓練】 1．(2019·成都第一次檢測)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，且當x∈[0，)時，f(x)＝－x3，則f()＝(　　) A．－ B． C．－ D. 【答案】B. 【解析】由f(x＋3)＝f(x)知函數(shù)f(x)的周期為3，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f()＝f(－)＝－f()＝()3＝. 2．(2018·成都第二次檢測)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，當x∈[－2，2]時，f(x)單調(diào)遞減，且函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)．則下列結(jié)論正確的是(　　) A．f(π)＜f(3)＜f()

12、 B．f(π)＜f()＜f(3) C．f()＜f(3)＜f(π) D．f()＜f(π)＜f(3) 【答案】C. 【解析】因為函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，又當x∈[－2，2]時，f(x)單調(diào)遞減，所以當x∈[2，6]時，f(x)單調(diào)遞增，f()＝f(4－)，因為2＜4－＜3＜π，所以f()＜f(3)＜f(π)．　 課時作業(yè) [基礎達標] 1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　) A．y＝　　　　　　　 B．y＝|x|－1 C．y＝lg x D．y＝ 【答案】B. 【解析】A中函數(shù)y＝不是偶函數(shù)且在(0，

13、＋∞)上單調(diào)遞減，故A錯誤；B中函數(shù)滿足題意，故B正確；C中函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯誤；D中函數(shù)不滿足在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故選B. 2．(2019·廣州市綜合測試(一))已知函數(shù)f(x)＝，則f(f(3))＝(　　) A. B． C．－ D．－3 【答案】A. 【解析】因為f(3)＝1－log23＝log2＜0，所以f(f(3))＝f(log2)＝2log2＋1＝2log2＝，故選A. 3．已知函數(shù)f(x)＝且f(a)＝－2，則f(7－a)＝(　　) A．－log37 B．－ C．－ D．－ 【答案】D. 【解析】當a≤0時，2a－2＝－2無解；當a＞0時，由－

14、log3a＝－2，解得a＝9，所以f(7－a)＝f(－2)＝2－2－2＝－，故選D. 4．(2019·山西八校聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈[－2，0]時，f(x)＝－2x，則f(1)＋f(4)等于(　　) A. B．－ C．－1 D．1 【答案】B. 【解析】由f(x＋4)＝f(x)知f(x)是周期為4的周期函數(shù)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，故f(4)＝f(0)＝－1，f(1)＝f(－1)，又－1∈[－2，0]，所以f(－1)＝－2－1＝－，所以f(1)＝－，f(1)＋f(4)＝－，選B. 5．(2019·陜西質(zhì)量檢測(一))

15、奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋2)為偶函數(shù)，則f(8)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 【答案】B. 6．已知函數(shù)f(x)＝則下列結(jié)論正確的是(　　) A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是增函數(shù) C．f(x)是周期函數(shù) D．f(x)的值域是[－1，＋∞) 【答案】D. 【解析】由f(－x)≠f(x)知f(x)不是偶函數(shù)，當x≤0時，f(x)不是增函數(shù)，顯然f(x)也不是周期函數(shù)．故選D. 7．(2019·長沙模擬)函數(shù)y＝ln|x|－x2的圖象大致為(　　) 【答案】A. 【解析】令f(x)＝ln|x|－x2，定義域為(－∞，0)∪(0，

16、＋∞)且f(－x)＝ln |x|－x2＝f(x)，故函數(shù)y＝ln|x|－x2為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，排除B，D；當x＞0時，y＝ln x－x2，則y′＝－2x，當x∈(0，)時，y′＝－2x＞0，y＝ln x－x2單調(diào)遞增，排除C.選A. 4．(2019·云南第一次統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝，若f(x－1)＜f(2x＋1)，則x的取值范圍為________． 【答案】：(－∞，－2)∪(0，＋∞) 【解析】：若x＞0，則－x＜0，f(－x)＝ln(＋x)＝ln(＋x)＝f(x)，同理可得，當x＜0時，f(－x)＝f(x)，且x＝0時，f(0)＝f(0)，所以f(x)是偶函數(shù)．因為當

17、x＞0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以不等式f(x－1)＜f(2x＋1)等價于|x－1|＜|2x＋1|，整理得x(x＋2)＞0，解得x＞0或x＜－2. 5．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(xiàn)(x)＝若f(－1)＝0，且對任意實數(shù)x均有f(x)≥0成立． (1)求F(x)的表達式； (2)當x∈[－2，2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍． 【解析】：(1)因為f(－1)＝0， 所以a－b＋1＝0， 所以b＝a＋1， 所以f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1. 因為f(x)≥0恒成立， 所以 即 所以a＝1，從而b＝2， 所以f(x)＝

18、x2＋2x＋1， 所以F(x)＝ (2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1. 因為g(x)在[－2，2]上是單調(diào)函數(shù)， 所以≤－2或≥2，解得k≤－2或k≥6. 所以k的取值范圍是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． 6．已知函數(shù)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1.設f(x)＝. (1)求a，b的值； (2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]上有解，求實數(shù)k的取值范圍． 【解析】：(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因為a>0， 所以g(x)在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)， 故 即解得 (2)f(x)＝x＋－2，所以f(2x)－k·2x≥0可化為2x＋－2≥k·2x，即1＋－2·≥k，令t＝， 則k≤t2－2t＋1， 因為x∈[－1，1]， 所以t∈， 記h(t)＝t2－2t＋1， 則h(t)max＝h(2)＝1， 所以k≤1. 故k的取值范圍是(－∞，1]． 11