《2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)4 數(shù)列求和與綜合問題 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)4 數(shù)列求和與綜合問題 理（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題限時集訓(xùn)(四) 數(shù)列求和與綜合問題
[專題通關(guān)練]
(建議用時：30分鐘)
1．等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12 B．10
C．8 D．2＋log35
B [由等比數(shù)列的性質(zhì)，知a5a6＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10)
＝log3(a5a6)5＝log395＝10，故選B.]
2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝( )
A．2n－1 B.
2、
C. D.
B [∵an＋1＝Sn＋1－Sn，且Sn＝2an＋1，
∴Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即＝.
∴{Sn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，即Sn＝.]
3．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝a·2n－1＋，則a的值為( )
A．－ B.
C．－ D.
A [當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝a＋，∴a＋＝，
∴a＝－.故選A.]
4．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，則S13＝( )
A. B.
C. D.
D [由題意，∵
3、a1＝2，
n＝2時，a2＋a3＝22，n＝4時，a4＋a5＝24，
n＝6時，a6＋a7＝26，n＝8時，a8＋a9＝28，
n＝10時，a10＋a11＝210，n＝12時，a12＋a13＝212，
S13＝2＋22＋24＋26＋28＋210＋212＝2＋＝.故選D.]
5．(2019·衡水模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，則m等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
C [在等比數(shù)列中，因為Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，
所以am＝Sm－Sm－1＝－11－5＝－16，am＋1＝Sm＋1－Sm＝32.
4、則公比q＝＝＝－2，因為Sm＝－11，
所以＝－11， ①
又am＋1＝a1(－2)m＝32， ②
兩式聯(lián)立解得m＝5，a1＝－1.]
6．[一題多解]設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝4，an＋1＝Sn，n∈N*，則a5＝________.
32 [法一：由an＋1＝Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，則Sn＋1＝2Sn.又S1＝a1＝4，所以數(shù)列{Sn}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn＝4×2n－1＝2n＋1，則a5＝S5－S4＝26－25＝32.
法二：當(dāng)n≥2時，由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1，兩式相減，得an＋1－an＝an，即an＋1＝2an，所以數(shù)列{
5、an}是從第2項開始，公比為2的等比數(shù)列．又a2＝S1＝4，所以a5＝a2·23＝4×23＝32.]
7．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，記Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，則T2 020＝________.
[由an＋2－2an＋1＋an＝0可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，
則公差d＝a2－a1＝2－1＝1.
∴Sn＝na1＋d＝n＋＝.
∴＝＝＝2，
∴Tn＝21－＋－＋…＋－＝21－，
∴T2 020＝2＝.]
8．設(shè)某數(shù)列的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”．若一個首項為1，公差為d(d≠0)的
6、等差數(shù)列{an}為“和諧數(shù)列”，則該等差數(shù)列的公差d＝________.
2 [由＝k(k為常數(shù))，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0，
∵對任意正整數(shù)n，上式恒成立，
∴得∴數(shù)列{an}的公差為2.]
[能力提升練]
(建議用時：20分鐘)
9．已知正項數(shù)列{an}滿足a－2a－an＋1an＝0，設(shè)bn＝log2，則數(shù)列{bn}的前n項和為( )
A．n B．
C． D．
C [由a－2a－an＋1an＝0，可得(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，
又
7、an＞0，∴＝2，∴an＋1＝a12n，∴bn＝log2＝log22n＝n.
∴數(shù)列{bn}的前n項和為，故選C.]
10．已知數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝4，bn＋2＝bn＋cos2，則該數(shù)列的前23項的和為( )
A．4 194 B．4 195
C．2 046 D．2 047
A [當(dāng)n為偶數(shù)時，bn＋2＝bn＋cos2＝bn＋1，有bn＋2－bn＝1，即偶數(shù)項成等差數(shù)列，所以
b2＋b4＋…＋b22＝11b2＋×1＝99.
當(dāng)n為奇數(shù)時，bn＋2＝2bn，即奇數(shù)項成等比數(shù)列，所以
b1＋b3＋…＋b23＝＝212－1＝4 095.
所以該數(shù)列的前23項的和為99
8、＋4 095＝4 194，故選A.]
11．[重視題](2019·惠州調(diào)研)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，對任意大于2的正整數(shù)n，記集合{x|x＝ai＋aj，i∈N，j∈N,1≤i＜j≤n}的元素個數(shù)為cn，把{cn}的各項擺成如圖所示的三角形數(shù)陣，則數(shù)陣中第17行由左向右數(shù)第10個數(shù)為________．
293 [設(shè)an＝a1＋(n－1)d(d≠0)，則ai＋aj＝2a1＋(i＋j－2)d，由題意知1≤i＜j≤n，當(dāng)i＝1，j＝2時，i＋j－2取最小值1，當(dāng)i＝n－1，j＝n時，i＋j－2取最大值2n－3，易知i＋j－2可取遍1,2,3，…，2n－3，即cn＝2n－3(n≥
9、3)．?dāng)?shù)陣中前16行共有1＋2＋3＋…＋16＝136(個)數(shù)，所以第17行由左向右數(shù)第10個數(shù)為c148＝2×148－3＝293.]
12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1－2n(n＋1)－(n＋1)an＝0，設(shè)bn＝，n∈N*.
(1)證明：{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和Tn.
[解](1)因為a1＝1，nan＋1－2n(n＋1)－(n＋1)an＝0，
所以－＝2，所以bn＋1－bn＝2.
因為b1＝＝1，
所以{bn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)得bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1，n∈N*，
所以＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋
10、，
Tn＝＋＋…＋＋，
兩式相減，得Tn＝＋2×－＝＋2×－＝＋1－－＝－－，
故Tn＝3－－＝3－.
題號
內(nèi)容
押題依據(jù)
1
數(shù)列的通項an與求和公式Sn的關(guān)系
由an與Sn的關(guān)系求通項公式常以小題形式出現(xiàn)，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸，分類討論等思想，難度適中
2
數(shù)列求和，對數(shù)運(yùn)算an與Sn的關(guān)系
對數(shù)運(yùn)算與數(shù)列交匯是高考的命題熱點(diǎn)之一，裂項相消法求和簡單易行，符合高考的命題形式
【押題1】 已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn，且an＋Sn＝2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
2－ [當(dāng)n＝1時，由an＋Sn＝2n＋1知，a1＋S1＝2×1＋
11、1，即a1＋a1＝3，解得a1＝.
由an＋Sn＝2n＋1，①
知當(dāng)n≥2時，an－1＋Sn－1＝2(n－1)＋1＝2n－1，②
①－②得an－an－1＋(Sn－Sn－1)＝2，即2an－an－1＝2，
即2(an－2)＝an－1－2，即an－2＝(an－1－2)，
故數(shù)列{an－2}是以a1－2＝－為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以an－2＝－×＝－，即an＝2－.
【押題2】 已知數(shù)列{an}滿足a1＋＋＋…＋＝2n＋1－2(n∈N*)，bn＝log4an.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和Tn.
[解](1)當(dāng)n＝1時，a1＝2.
當(dāng)n≥2時，
a1＋＋＋…＋＝2n＋1－2，
a1＋＋＋…＋＝2n－2，兩式相減得＝2n，即an＝22n－1，
當(dāng)n＝1時滿足上式，故數(shù)列{an}的通項公式an＝22n－1.
(2)因為bn＝log422n－1＝，
＝＝2.
所以Tn＝＋＋…＋
＝2
＝2＝.
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