六年級(jí)下冊數(shù)學(xué)講義-小升初復(fù)習(xí)： 第06講 方程法解圖形問題（下）（解析版）全國通用 (1)

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1、 第06講 方程法解圖形問題（下） 教學(xué)目標(biāo)： 1、列出非所求未知數(shù)，間接解答圖形問題； 2、將方程代數(shù)途徑與幾何問題緊密的結(jié)合起來； 3、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)員的符號(hào)感、圖形感和巧妙解題的意識(shí)。 教學(xué)重點(diǎn)： 圖形中隱藏等量關(guān)系的尋找和利用以及公式的選擇。 教學(xué)難點(diǎn)： 等積變形在列方程或用含x的式子表示未知量中的應(yīng)用。 教學(xué)過程： 【環(huán)節(jié)一：預(yù)習(xí)討論，案例分析】 【知識(shí)回顧——溫故知新】（參考時(shí)間-2分鐘） 利用方程的思想方法，解決圖形中的面積問題。運(yùn)用此方法的好處在于：可以直接利用幾何中的公式，不必倒推考慮需要先求什么

2、。 利用方程法解圖形問題的一般步驟是： （1）利用幾何公式、面積關(guān)系，找到題中的條件和等量關(guān)系 （2）根據(jù)等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)，并用含x的式子表示其他未知量。 （3）尋找合適的等量關(guān)系列方程求解。 【知識(shí)回顧——上期鞏固】（參考時(shí)間-3分鐘） 大小兩個(gè)正方形，已知它們的邊長之差為12厘米，面積之差為984平方厘米，那么小正方形的邊長為多少厘米？ 解析部分： 第一步：引導(dǎo)學(xué)員對(duì)于此題進(jìn)行認(rèn)真的審讀，找出各個(gè)關(guān)鍵數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)的標(biāo)注； 第二步：繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)員對(duì)于此題進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算操作，可以有“最終求的是兩正方形的面積之和，我們可以先求出兩個(gè)正方形的面積再求和。本題的等量關(guān)系

3、是邊長差等于12厘米，面積差等于984平方厘米。我們可以設(shè)小正方形的邊長為x厘米，那么大正方形的邊長就可以表示為（x＋12）厘米”； 第三步：最后列出方程，并對(duì)于方程進(jìn)行求解，進(jìn)行結(jié)果的正確性和合理性的驗(yàn)證計(jì)算。 給予新學(xué)員的建議：分析各數(shù)據(jù)的意義，然后找出其之間的關(guān)聯(lián)，紙上畫一畫、寫一寫。 哈佛案例教學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)員進(jìn)行問題的小組內(nèi)討論，鼓勵(lì)學(xué)員積極說出自己的想法和思考。 參考答案： 設(shè)小正方形的邊長為x厘米，大正方形的邊長為x＋12厘米。 12（x＋12）＋12x=984 24x=840 x=35

4、 答：小正方形的邊長為35厘米。 【預(yù)習(xí)題分析——本期預(yù)習(xí)】（參考時(shí)間-7分鐘） 如圖，正方形ABCD的邊長是12厘米，已知DE是EC長度的2倍，求三角形CEF的面積。 解析部分： 第一步：引導(dǎo)學(xué)員對(duì)于此題進(jìn)行認(rèn)真的審讀，找出各個(gè)關(guān)鍵數(shù)據(jù)并在圖形中進(jìn)行標(biāo)注； 第二步：繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)員對(duì)于此題進(jìn)行分析操作，可以有“我們可以設(shè)CF的長度為x厘米，利用△CEF加梯形ABCE的面積等于△ABF的面積列方程求解”； 第三步：最后列出方程，對(duì)于未知數(shù)進(jìn)行求解，并求出題中要求的最終結(jié)果。 給予新學(xué)員的建議：需要在紙上畫一畫、算一算，對(duì)于題中的圖形有正確的理解和認(rèn)識(shí)。 哈佛案例教學(xué)法

5、：積極主動(dòng)的回答老師提問，參與小組內(nèi)討論，并主動(dòng)表達(dá)出自己的思考。 參考答案： 設(shè)CF的長度為x厘米。 2x＋（4＋12）×12÷2=6（x＋12） 4x=24 x=6 CE的長度=12÷3=4（厘米），三角形CEF的面積=6×4÷2=12（平方厘米） 答：三角形CEF的面積是12平方厘米。 【環(huán)節(jié)二：知識(shí)拓展、能力提升】 【知識(shí)點(diǎn)分析——本期知識(shí)點(diǎn)】（參考時(shí)間-2分鐘） 利用方程的思想方法，解決圖形中的面積問題。運(yùn)用此方法的好處在于：可以直接利用幾何中的公式，不必倒推考慮

6、需要先求什么。 利用方程法解圖形問題的一般步驟是： （1）利用幾何公式、面積關(guān)系，找到題中的條件和等量關(guān)系 （2）根據(jù)等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)，并用含x的式子表示其他未知量。 （3）尋找合適的等量關(guān)系列方程求解。 【例題分析——講解室】（參考時(shí)間-10分鐘） 如圖，兩個(gè)正方形的邊長分別為6分米和10分米，求陰影部分的面積。 ? 本題中有哪些等量關(guān)系？ ? 設(shè)哪條線段或者哪個(gè)面積作為未知數(shù)？ 解析部分： 第一步：引導(dǎo)學(xué)員對(duì)于此題進(jìn)行認(rèn)真仔細(xì)的審讀，并對(duì)關(guān)鍵數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)的標(biāo)注； 第二步：繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)員對(duì)于此題進(jìn)行具體的操作計(jì)算，我們可以利用S△ABH＋S梯形BHF

7、E=S△AEF，設(shè)BH=x分米，利用含x的式子表示圖形的面積； 第三步：最后列出方程，對(duì)于方程進(jìn)行求解，進(jìn)行結(jié)果的正確性和合理性的驗(yàn)證和分析。 給予新學(xué)員的建議：認(rèn)真仔細(xì)的觀察圖形，對(duì)于各個(gè)數(shù)據(jù)所指代的具體意義有正確的認(rèn)識(shí)。 哈佛案例教學(xué)法：調(diào)動(dòng)學(xué)員產(chǎn)生對(duì)于此題的熱情，組織活躍的小組討論，鼓勵(lì)紙上實(shí)際操作。 參考答案： 設(shè)BH的長度為x分米。 3x＋5（x＋10）=80 8x=30 x=3.75 3.75×6÷2=11.25（平方厘米） 答：陰影部分面積11.25平方厘米。 【環(huán)節(jié)三：階段復(fù)習(xí)】

8、【游戲環(huán)節(jié)——游樂場】（參考時(shí)間-2分鐘） 游戲名稱：五子棋 游戲規(guī)則： 兩人一組，進(jìn)行比賽，先將橫向、豎向、斜向形成連續(xù)的相同色五個(gè)棋子的一方為勝。 參考答案：略。 【練習(xí)分析——練習(xí)場（一）】（參考時(shí)間-7分鐘） 一個(gè)正方形，如果把它的一組對(duì)邊各減少25厘米，另一組對(duì)邊各減少10厘米；或者把它的一組對(duì)邊各減少22.5厘米，另一組對(duì)邊各各減少15厘米，則剩下的圖形面積相等。原正方形面積是多少平方厘米？ ? 本題中有哪些等量關(guān)系？ ? 變化之后的圖形是什么基本圖形？ 解析部分： 第一步：引導(dǎo)學(xué)員對(duì)于此題進(jìn)行認(rèn)真的審讀，找出各個(gè)關(guān)鍵數(shù)據(jù)并在

9、圖形中進(jìn)行標(biāo)注； 第二步：繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)員對(duì)于此題進(jìn)行分析操作，可以有“變化后的圖形是長方形，本題中的等量關(guān)系是兩次減少的圖形面積相等。我們可以設(shè)原正方形的邊長為x厘米，那么減少的部分我們就可以利用含x的式子表示出來”； 第三步：最后列出方程，對(duì)于未知數(shù)進(jìn)行求解，并求出題中要求的最終結(jié)果。 給予新學(xué)員的建議：根據(jù)題意，分析各數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)，并可以進(jìn)行準(zhǔn)確而迅速的基礎(chǔ)運(yùn)算。 哈佛案例教學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)員對(duì)于此題的積極思考，并鼓勵(lì)學(xué)員能把自己的觀點(diǎn)主動(dòng)表達(dá)出來。 參考答案： 設(shè)原正方形的邊長為x厘米。 25x＋10（x－25）=22.5x＋15（x－22.5）

10、 2.5x=87.5 x=35 35×35=1225（平方厘米） 答：原正方形的面積是1225平方厘米。 【練習(xí)分析——練習(xí)場（二）】（參考時(shí)間-7分鐘） 如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上的點(diǎn)，其中AE=3AF，已知延長BF與AC相交于D。若三角形ABC的面積為48，請問三角形AED的面積是多少？ ? 作為一題需要利用方程求解的問題，本題等量關(guān)系在哪里？ ? 設(shè)哪個(gè)未知量作為未知數(shù)？ 解析部分： 第一步：引導(dǎo)學(xué)員對(duì)于此題進(jìn)行認(rèn)真仔細(xì)的審讀，并對(duì)關(guān)鍵數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)的標(biāo)注； 第二步：繼續(xù)引

11、導(dǎo)學(xué)員對(duì)于此題進(jìn)行具體的操作計(jì)算，可以有“因?yàn)镋是中點(diǎn)，所以本題中等量關(guān)系可以有ABE的面積等于ACE的面積。我們設(shè)AFD的面積x，利用等積變形把其他圖形面積用含x表示出來，△DEF=2x，而△CDE的面積無法直接利用含x的式子表示出來，但是我們可以利用△BDE的面積去表示”； 第三步：最后列出方程，對(duì)于方程進(jìn)行求解，進(jìn)行結(jié)果的正確性和合理性的驗(yàn)證和分析。 給予新學(xué)員的建議：認(rèn)真觀察題目中的圖形，紙上實(shí)際操作嘗試找出問題的解決突破口。 哈佛案例教學(xué)法：鼓勵(lì)學(xué)員積極地參與小組內(nèi)的討論，并積極參與到課堂的各個(gè)環(huán)節(jié)中。 參考答案： 設(shè)△ADF的面積是x。 x＋2x＋(48÷2÷3×2＋2x)=48÷2 5x=8 x=1.6 又由于AE=3AF，則 △AED的面積=1.6×3=4.8 答：△AED的面積是4.8。 【本節(jié)總結(jié)】 利用方程的思想方法，解決圖形中的面積問題。運(yùn)用此方法的好處在于：可以直接利用幾何中的公式，不必倒推考慮需要先求什么。 利用方程法解圖形問題的一般步驟是： （1）利用幾何公式、面積關(guān)系，找到題中的條件和等量關(guān)系 （2）根據(jù)等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)，并用含x的式子表示其他未知量。 （3）尋找合適的等量關(guān)系列方程求解。