2022年完整word版,不定積分解題方法及技巧總結(jié)

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1、不定積分解題方法總結(jié)摘要：在微分學(xué)中，不定積分是定積分、二重積分等的基礎(chǔ)，學(xué)好不定積分十分重要。然而在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循”。本文論述了筆者在學(xué)習(xí)過程中對不定積分解題方法的歸納和總結(jié)。關(guān)鍵詞：不定積分；總結(jié)；解題方法不定積分看似形式多樣，變幻莫測，但并不是毫無解題規(guī)律可言。本文所總結(jié)的是一般規(guī)律，并非所有相似題型都適用，具體情況仍需要具體分析。1.利用基本公式。（這就不多說了）2.第一類換元法。（湊微分）設(shè) f()具有原函數(shù) F()。則CxFxdxfdxxxf)()()()()(其中)(x可微。用湊微分法求解不定積分時，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項內(nèi)容，同時

2、為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實在看不清楚被積函數(shù)特點時，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例 2：例 1：dxxxxx)1(ln)1ln(【解】)1(1111)ln)1(ln(xxxxxxCxxxxdxxdxxxxx2)ln)1(ln(21)ln)1(ln()ln)1(ln()1(ln)1ln(例 2：dxxxx2)ln(ln1【解】xxxln1)ln(Cxxxxxdxdxxxxln1)ln(ln)1(ln1223.第二類換元法：設(shè))(tx是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且)()(.0)(ttft又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式dtttfdxf)()(x)(精選學(xué)習(xí)資料 -

3、名師歸納總結(jié)-第 1 頁，共 10 頁第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式。常見的變換形式需要熟記會用。主要有以下幾種：achtxtaxtaxaxashtxtaxtaxaxtaxtaxxa；：；：；：cscsec)3(cottan)2(cossin)1(222222也奏效。，有時倒代換當(dāng)被積函數(shù)含有：txcbxaxxtdcxbaxdcxbaxtbaxbaxmnnnn1)6()5()4(2（7）當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)單項式或多項式時一般用t代去根號。CxxxCttttdttttdttxtdxxsin2cos2sin2cos2)coscos(2sin2sin但當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)高次冪時可能保留根號，cxdtt

4、dtttdttttdtttttxxxdx661212512621212arcsin611161111111111（7）當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)單項式或多項式時一般用t代去根號。CxxxCttttdttttdttxtdxxsin2cos2sin2cos2)coscos(2sin2sin但當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)高次冪時可能保留根號，精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 2 頁，共 10 頁cxdttdtttdttttdtttttxxxdx661212512621212arcsin6111611111111114.分部積分法.公式：dd分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取、時，

5、通?；谝韵聝牲c考慮：（1）降低多項式部分的系數(shù)（2）簡化被積函數(shù)的類型舉兩個例子吧！例 3：dxxxx231arccos【解】觀察被積函數(shù)，選取變換xtarccos,則tdttdtttttdxxxx3323cos)sin(sincos1arccosCxxxxxCttttttdttttdtttttttttdtdttarccos1)2(313291cos91cos32sinsin31cos)1sin31(sinsin31)sinsin31(sinsin31)sinsin31(sin)1(sin22333233332例 4：xdx2arcsin【解】dxxxxxxxdx22211arcsin2si

6、narcsin精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 3 頁，共 10 頁Cxxxxxdxxxxxxxxxdxx2arcsin12arcsin121arcsin12arcsin1arcsin2arcsin22222上面的例 3，降低了多項式系數(shù)；例4，簡化了被積函數(shù)的類型。有時，分部積分會產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。在dd中，、的選取有下面簡單的規(guī)律：選取的函數(shù)不能改變。，會出現(xiàn)循環(huán)，注意，)3(sin,cos)3()(arcsin,arctan,ln)2(cos,sin,)()1(xxexPxxxaxaxexPaxmaxm將以上規(guī)律化成一個圖就是：但是，當(dāng)xxarcsinln，時，是無法求解的

7、。對于（3）情況，有兩個通用公式：CbxbbxabaedxbxeICbxbbxabaedxbxeIaxaxaxax)sincos(cos)cossin(sin222221（分部積分法用處多多 在本冊雜志的涉及l(fā)nx 的不定積分中，?？梢钥吹椒植糠e分）5 不定積分中三角函數(shù)的處理1.分子分母上下同時加、減、乘、除某三角函數(shù)。被積函數(shù)dxxx22cossin1上下同乘xsin變形為xxxxddxxxcos1cos1coscoscossin12令xucos，則為（lnx arcsinx）Pm(x)（ax sinx)精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 4 頁，共 10 頁cxxcxxxduuuuuuud

8、u2sec412tanln21cos1cos1ln41cos121)141141121(1122222.只有三角函數(shù)時盡量尋找三角函數(shù)之間的關(guān)系，注意1cossin22xx的使用。cxxxxdxxxdxxxxxdxxxxx82tanln221cossin21)4/sin(2cossin21cossin1cossin21cossincossin2三角函數(shù)之間都存在著轉(zhuǎn)換關(guān)系。被積函數(shù)的形式越簡單可能題目會越難，適當(dāng)?shù)氖褂萌呛瘮?shù)之間的轉(zhuǎn)換可以使解題的思路變得清晰。3.函數(shù)的降次形如的cossinxdxxnm積分（m，n 為非負(fù)整數(shù)）當(dāng) m 為奇數(shù)時，可令xucos，于是duuuxxdxdxxxn

9、mnmnm21211coscossincossin，轉(zhuǎn)化為多項式的積分當(dāng) n 為奇數(shù)時，可令xusin，于是duuuxxdxxdxxumnmnm21211sincossincossin，同樣轉(zhuǎn)化為多項式的積分。當(dāng) m，n 均為偶數(shù)時，可反復(fù)利用下列三角公式：,22cos1cos,22cos1sin,2sin21cossin22xxxxxxx不斷降低被積函數(shù)的冪次，直至化為前兩種情形之一為止。形如xdxntan和xdxncot的積分（n 為正整數(shù)）精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 5 頁，共 10 頁令xdxutan，則uxarctan，21ududx，從而,1tan2duuuxdxnn已轉(zhuǎn)化成

10、有理函數(shù)的積分。類似地，xdxncot可通過代換xucot轉(zhuǎn)為成有理函數(shù)的積分。形如xdxnsec和xdxmcsc的積分（n 為正整數(shù)）當(dāng) n 為偶數(shù)時，若令xutan，則21,arctanududxux，于是duuduuudxxxdxnnnn122222221111tan1sec已轉(zhuǎn)化成多項式的積分。類似地，xdxncsc可通過代換xucot轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分。當(dāng) n 為奇數(shù)時，利用分部積分法來求即可。4.當(dāng)有 x 與三角函數(shù)相乘或除時一般使用分部積分法。cxxxxxdxxxxxxdxxdxxxdxxxxdxx2cos812sin41412sin412sin41412sin41412cos

11、214122cos1sin222225.幾種特殊類型函數(shù)的積分。（1）有理函數(shù)的積分有理函數(shù))()(xQxP先化為多項式和真分式)()(*xQxP之和，再把)()(*xQxP分解為若干個部分分式之和。（對各部分分式的處理可能會比較復(fù)雜。出現(xiàn)nnxadxI)(22時，記得用遞推公式：121222)1(232)(1(2nnnInanaxnaxI）精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 6 頁，共 10 頁1.有理真分式化為部分分式之和求解簡單的有理真分式的拆分cxxdxxxxdxxx44341ln41ln1111注意分子和分母在形式上的聯(lián)系cxxcttdtttttdtxtxxdxxxxdx33lnln3

12、3ln3ln311313337777767此類題目一般還有另外一種題型：cxxdxxxxdxxxx52ln215222215212222.注意分母（分子）有理化的使用Cxxxxxxdx23233212132121412321232例 5：dxxxxxx223246)1(24【解】223222346223246)1(24)1()1(24xxxxxxxxxxxx22322)1(241xxxxx2222422242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(211xdxxxxxdxxxxdxxxxCxdxxxCxxCddd)1(1111)1(11()1()1()1(122222222222故

13、不定積分求得。精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 7 頁，共 10 頁（2）三角函數(shù)有理式的積分萬能公式：2tan12tan1cos2tan12tan2sin222xxxxxx化為有理函數(shù)可用變換2tan)cos,(sin)cos,(sinxtdxxxQxxP的積分，但由于計算較煩，應(yīng)盡量避免。對于只含有tanx（或 cotx）的分式，必化成xxxxsincoscossin或。再用待定系數(shù)xbxaxbxaBxbxaAsincos)sincos()sincos(來做。（注：沒舉例題并不代表不重要）（3）簡單無理函數(shù)的積分一般用第二類換元法中的那些變換形式。像一些簡單的，應(yīng)靈活運用。如：同時出現(xiàn)xx

14、1和時，可令tx2tan；同時出現(xiàn)xx1和時，可令tx2sin；同時出現(xiàn)xxarcsin12和時，可令 x=sint；同時出現(xiàn)xxarccos12和時，可令 x=cost 等等。（4）善于利用xe，因為其求導(dǎo)后不變。cxexecttdtttxetxedxexedxxexexedxxexxxxxxxxxxxx1ln1ln11111111這道題目中首先會注意到xxe，因為其形式比較復(fù)雜。但是可以發(fā)現(xiàn)其求導(dǎo)后為xxxee與分母差xe，另外因為xe 求導(dǎo)后不變，所以容易想到分子分母同乘以xe。（5）某些題正的不行倒著來精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 8 頁，共 10 頁cyyydyydyyyyyud

15、uuuduuuuuuudduuuuduuuuuuxdxxxtantantansecsectansec11ln11ln1ln111ln1sinsinsinln2222222222cxxxxxdxxxdxxxxxxxxxdxxxxdcotsinlncotcotsinlncotsincossincossinlncotsinlncotsinlncotcotsin原式2這道題換元的思路比較奇特，一般我們會直接使用xusin，然而這樣的換元方法是解不出本題的。我概括此類題的方法為“正的不行倒著來”，當(dāng)xusin這類一般的換元法行不通時嘗試下xusin1。這種思路類似于證明題中的反證法。（6）注意復(fù)雜部分求

16、導(dǎo)后的導(dǎo)數(shù)dtetttxtdxxxxxxt22212lnln21ln2ln注意到:tttttttettetyettettyettetety2233323321212122226132123-212yyyetttt精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 9 頁，共 10 頁cxxexxcttettdtettetdtettettdtettetetdtetttxtttttttttlnln3lnln2lnlnln32ln21213222261212ln3322333322本題把被積函數(shù)拆為三部分：321,yyy，1y 的分子為分母的導(dǎo)數(shù)，2y 的值為 1，3y 的分子為分母因式分解后的一部分。此類題目出現(xiàn)的次數(shù)不多，一般在競賽中出現(xiàn)。（7）對于)0(),(2adxcbxaxxR型積分，考慮acb42的符號來確定取不同的變換。如果0，設(shè)方程02cbxax兩個實根為,，令xtcbxax2，可使上述積分有理化。如果0，則方程02cbxax沒有實根，令txacbxax2，可使上述積分有理化。此中情況下，還可以設(shè)cxtcbxax2，至于采用哪種替換，具體問題具體分析。精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 10 頁，共 10 頁