（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題突破練26 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問(wèn)題 文

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1、專題突破練26圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問(wèn)題1.(2019北京房山區(qū)高三第一次模擬測(cè)試)已知橢圓x24+y23=1,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O做兩條互相垂直的射線,與橢圓分別交于M,N兩點(diǎn).(1)求橢圓的離心率;(2)求證:點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.2.(2019遼寧丹東高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測(cè)試一)已知離心率為2的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為3.(1)求雙曲線C的方程;(2)設(shè)A1,A2分別為C的左、右頂點(diǎn),P為C異于A1,A2的一點(diǎn),直線A1P與A2P分別交y軸于M,N兩點(diǎn),求證:以線段MN為直徑的圓D經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn).3.(2019山東聊城高三三模)設(shè)橢圓C:x24+y2b2=1(b0

2、)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,上頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q,且F1Q+F1F2=0.(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2作斜率為1的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),試在x軸上求一點(diǎn)P,使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形.4.(2019江西新八校高三第二次聯(lián)考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0),c=3,左、右焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P,A,B在橢圓C上,且點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,直線PA,PB的斜率的乘積為-14.(1)求橢圓C的方程;(2)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(2,2),且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,若|QM|QN|=163,判斷直線l的斜率是

3、否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.5.(2019山東青島高考模擬檢測(cè))已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0),S(32,0),動(dòng)點(diǎn)N滿足|NF1|+|NS|=43,點(diǎn)P為線段NF1的中點(diǎn),拋物線C:x2=2my(m0)上點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6,OAOS=66.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡曲線W的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)Q滿足OPOQ,試判斷1|OP|2+1|OQ|2是否為定值?若是,求這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.6.(2019山東日照高三5月校際聯(lián)合考試)如圖,已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0),A(4,0)是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),弦BC

4、過(guò)橢圓的中心O,且cos=21313,|OC-OB|=2|BC-BA|.(1)求橢圓E的方程.(2)過(guò)橢圓E右焦點(diǎn)F的直線,交橢圓E于A1,B1兩點(diǎn),交直線x=8于點(diǎn)M,判定直線CA1,CM,CB1的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列?請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案專題突破練26圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問(wèn)題1.(1)解由橢圓的方程x24+y23=1,可得a=2,b=3,c2=a2-b2=1.橢圓的離心率e=ca=12.(2)證明當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),MON=90,不妨設(shè)M(x0,x0),則有N(x0,-x0).又M,N兩點(diǎn)在橢圓上,x024+x023=1,x02=127.點(diǎn)O到直線MN的距離d=127=

5、2217.當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),設(shè)直線MN的方程為y=kx+m.由y=kx+m,x24+y23=1,消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,則=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.OMON,x1x2+y1y2=0.x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.(k2+1)4m2-123+4k2-8k2m23+4k2+m2=0.整理得7m2=12(k2+1),滿足0,點(diǎn)O到直線MN的距離d=|m|k2+1=12

6、7=2217.綜上所述,點(diǎn)O到直線MN的距離為定值2217.2.(1)解設(shè)C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),因?yàn)殡x心率為2,所以c=2a,b=3a.所以C的漸近線為3xy=0,不妨取其中一條3x+y=0.由3=|3c-0|(3)2+12,得c=2.于是a=1,b=3,故雙曲線C的方程為x2-y23=1.(2)證明設(shè)P(x0,y0)(x01),因?yàn)锳1(-1,0),A2(1,0),可得直線A1P與A2P的方程分別為y=y0x0+1(x+1),y=y0x0-1(x-1).由題設(shè),所以M0,y0x0+1,N0,-y0x0-1,|MN|=2x0y0x02-1,MN中點(diǎn)坐標(biāo)0,y01-x02,于

7、是圓D的方程為x2+y-y01-x022=x02y02(x02-1)2.因?yàn)閤02-y023=1,所以圓D的方程可化為x2+y2+6y0y-3=0.當(dāng)y=0時(shí),x=3,因此D經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)(-3,0)和(3,0).3.解(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c(c0),則點(diǎn)F1坐標(biāo)為(-c,0),點(diǎn)F2坐標(biāo)為(c,0).設(shè)Q(x0,0),且x00,得k38.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=16k(k-1)1+4k2,x1x2=16(1-k)2-41+4k2=4(4k2-8k+3)1+4k2.|QM|QN|=163,且=0,QMQN=163.QM=(x1-2,y1-2),QN=(x2-2,y

8、2-2),(x1-2)(x2-2)+(y1-2)(y2-2)=163.y1=k(x1-2)+2,y2=k(x2-2)+2,(x1-2)(x2-2)+(y1-2)(y2-2)=(x1-2)(x2-2)(1+k2)=x1x2-2(x1+x2)+4(1+k2)=163.4(4k2-8k+3)1+4k2-216k(k-1)1+4k2+4(1+k2)=163.化簡(jiǎn)得16(1+k2)1+4k2=163,解得k2=2.k38,k=2.直線l的斜率為定值2.5.解(1)由題知|PF2|=|NS|2,|PF1|=|NF1|2,所以|PF1|+|PF2|=|NF1|+|NF2|2=23|F1F2|,因此動(dòng)點(diǎn)P的軌

9、跡W是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,又知2a=23,2c=22,所以曲線W的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y2=1.又由題知A(xA,6),所以O(shè)AOS=(xA,6)(32,0)=32xA=66,所以xA=23.又因?yàn)辄c(diǎn)A(23,6)在拋物線C上,所以m=6,所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=26y.(2)設(shè)P(xP,yP),QxQ,-62,由題知OPOQ,所以xPxQ-6yP2=0,即xQ=6yP2xP(xP0),所以1|OP|2+1|OQ|2=1xP2+yP2+13yP22xP2+32=3+2xP23(xP2+yP2).又因?yàn)閤P23+yP2=1,yP2=1-xP23,所以3+2xP23(xP2+yP2)=3

10、+2xP23(xP2+1-xP23)=1.所以1|OP|2+1|OQ|2為定值,且定值為1.6.解(1)由|OC-OB|=2|BC-BA|,得|BC|=2|AC|,即|OC|=|AC|,所以AOC是等腰三角形.又a=|OA|=4,故點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2.又cos=21313,設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為yC,OA=(4,0),CA=(2,-yC)424yC2+22=21313,解得yC=3,應(yīng)取C(2,3),又點(diǎn)C在橢圓上,2242+32b2=1,解得b2=12.所求橢圓的方程為x216+y212=1.(2)由題意知橢圓的右焦點(diǎn)為F(2,0),C(2,3),由題意可知直線CA1,CM,CB1的斜率存在,設(shè)直線A1B1的方程為y=k(x-2),代入橢圓x216+y212=1并整理,得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-48=0.設(shè)A1(x1,y1),B1(x2,y2),直線CA1,CM,CB1的斜率分別為k1,k2,k3,則有x1+x2=16k23+4k2,x1x2=16k2-483+4k2.可知M的坐標(biāo)為M(8,6k).k1+k3=y1-3x1-2+y2-3x2-2=k(x1-2)-3x1-2+k(x2-2)-3x2-2=2k-3x1+x2-4x1x2+4-2(x1+x2)=2k-1.又2k2=26k-38-2=2k-1,k1+k3=2k2.即直線CA1,CM,CB1的斜率成等差數(shù)列.15