（山東專用）2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題04 函數(shù)及其表示（含解析）

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1、專題04 函數(shù)及其表示 一、【知識精講】 1．函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合A，B 設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集 設(shè)A，B是兩個非空的集合 對應(yīng)關(guān)系f：A→B 如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng) 如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng) 名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 記法 函數(shù)y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 2.函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義域、值域：

2、在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，自變量x的取值范圍(數(shù)集A)叫做函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域． (2)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域． (3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)． (4)函數(shù)的表示法： 表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法． 3．分段函數(shù) (1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)． (2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)． 【知

3、識拓展】　 1．函數(shù)與映射的本質(zhì)是兩個集合間的“多對一”和“一對一”關(guān)系． 2．分段函數(shù)是高考必考內(nèi)容，常考查(1)求最值；(2)求分段函數(shù)單調(diào)性；(3)分段函數(shù)解析式；(4)利用分段函數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是分析用哪一段函數(shù)，一般需要討論． 二、【典例精練】 例1.（1）函數(shù)f(x)＝＋的定義域為________． (2)已知函數(shù)f(x)的定義域為(－1,0)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域為(　　) A．(－1,1) B. C．(－1,0) D. 【答案】(1)(－1，＋∞)　(2)B　 【解析】(1)由題意得解得x＞－1，所以函數(shù)f(x)的定義域為(－1，＋∞)．

4、 (2)令u＝2x＋1，由f(x)的定義域為(－1,0)，可知－1

5、已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域． 例2.(1)已知二次函數(shù)f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)； (2)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)． (3)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式； 【解析】(1)法一：待定系數(shù)法 因為f(x)是二次函數(shù)，所以設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因為

6、f(2x＋1)＝4x2－6x＋5， 所以解得 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 法二：換元法 令2x＋1＝t(t∈R)，則x＝， 所以f(t)＝42－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)， 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 法三：配湊法 因為f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9， 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． （2）(2)解方程組法 由f(－x)＋2f(x)＝2x，① 得f(x)＋2f(－x)＝2－x，② ①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x. 即f(x)＝. 故f(x)的

7、解析式是f(x)＝(x∈R)． （3）由于f＝x2＋＝2－2，令t＝x＋，當(dāng)x＞0時，t≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號； 當(dāng)x＜0時，t＝－≤－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時取等號， ∴f(t)＝t2－2t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．綜上所述．f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． （4）設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， ∴ 即 ∴f(x)＝x2－x＋2. 【解法小結(jié)】　求函數(shù)解析式的常用方法 (1)待定系數(shù)法

8、：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法. (2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍. (3)構(gòu)造法：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式，通過解方程組求出f(x). 例3.（1）(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x＋1)

9、得x<1. 因此不等式的解集為(－∞，－1]． ②當(dāng)時，不等式組無解． ③當(dāng)即－10時，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合題意． 綜上，不等式f(x＋1)

10、(x)＝則滿足f(x)＋f＞1的x的取值范圍是________． 【答案】　 【解析】當(dāng)x≤0時，原不等式為x＋1＋x＋>1，解得x>－， ∴－1，顯然成立． 當(dāng)x>時，原不等式為2x＋2>1，顯然成立． 綜上可知，x的取值范圍是. 【解法小結(jié)】　1.求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于定義域的哪一個子集，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值. 2.已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范

11、圍. 易錯警示：當(dāng)分段函數(shù)自變量的范圍不確定時，應(yīng)分類討論. 三、【名校新題】 1．（2019河北衡水模擬）函數(shù)fx=x-20+23x+1的定義域是（） A.-13，+∞ B.-∞，-13 C. R D.-13，22，+∞ 【答案】D 【解析】由x-2≠03x+1>0即得 2．(2019·長春質(zhì)檢)函數(shù)y＝＋的定義域是(　　) A．[－1,0)∪(0,1)　　　 　B．[－1,0)∪(0,1] C．(－1,0)∪(0,1] D

12、．(－1,0)∪(0,1) 【答案】D 【解析】由題意得解得－1

13、于B，定義域為(0，＋∞)，值域為R，不滿足題意；對于C，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域為(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不滿足題意；對于D，y＝＝1＋，定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)． 5．(2019·石家莊模擬)已知f(x)＝(0

14、)＝－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2. 6．已知函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域是[0,1]，則函數(shù)的定義域是(　　) A．[1,2] B．(－1,1] C. D．(－1,0) 【答案】D　 【解析】由f(2x－1)的定義域是[0,1]， 得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1， ∴f(x)的定義域是[－1,1]， ∴要使函數(shù)有意義， 需滿足解得－1

15、有性質(zhì)：f＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)： ①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝ 其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．① 【答案】B　 【解析】對于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，滿足題意；對于②，f＝＋x＝f(x)，不滿足題意；對于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，滿足題意． 綜上可知，滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是①③. 9.（湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作體2019屆高三上學(xué)期期中考試） 已知函數(shù)， ，若存在兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A． B． C．

16、 D． 【答案】D 【解析】由已知有兩個不同的實根，即函數(shù)的圖象與直線有兩個交點(diǎn)，作圖可得.選D. 10．(2019·青島模擬)函數(shù)y＝ln＋的定義域為________． 【答案】(0,1] 【解析】由??0

17、3 【解析】∵f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，∴f(a)＝－2＜0，故a≤0. 依題知a＋1＝－2，解得a＝－3. 13．（恩施州2019屆高三考試題）設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1,x<1x12,x≥1，則f(x)≤3成立的x的取值范圍______． 【答案】(-∞,9] 【解析】解：①∵x<1； ∴x-1<0； ∴ex-1<1； ∴x<1時，f(x)≤3成立； ②x≥1時，由f(x)≤3得，x12≤3； ∴x≤9； ∴1≤x≤9； ∴x≤9； ∴x的取值范圍為：(-∞,9]． 故答案為：(-∞,9]． 14．設(shè)函數(shù)f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)在如圖所示的直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖象． 【解析】(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得 解得所以f(x)＝ (2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示． 9