（全國通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提分教程 第二編 專題三 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和問題練習(xí) 理
第2講 數(shù)列求和問題「考情研析」 1.從具體內(nèi)容上，高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求一般數(shù)列的和，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想． 2.從高考特點上，難度稍大，一般以解答題為主，分值約為7～8分．核心知識回顧常見的求和方法(1)公式法：適合求等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項和．對等比數(shù)列利用公式法求和時，一定注意公比q是否取1.(2)錯位相減法：主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．(3)裂項相消法：把數(shù)列和式中的各項分別裂項后，消去一部分從而計算和的方法，適用于求通項為的數(shù)列的前n項和．(4)分組求和法：一個數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這個數(shù)列適當(dāng)拆開，重新組合，就會變成幾個可以求和的部分，分別求和，然后再合并．(5)并項求和法：當(dāng)一個數(shù)列為擺動數(shù)列，形如(－1)nan的形式，通常分奇、偶，觀察相鄰兩項是否構(gòu)成新數(shù)列．熱點考向探究考向1 分組轉(zhuǎn)化法求和例1 (2019·天津南開區(qū)高三下學(xué)期一模)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且a5＝3a2，S7＝14a2＋7.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{an＋bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{(－1)nbn(an＋bn)}的前n項和Tn.解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d.由a5＝3a2得a1＋4d＝3(a1＋d)，化簡得d＝2a1，①由S7＝14a2＋7得d＝a1＋1，②由①②解得a1＝1，d＝2.所以數(shù)列{an }的通項公式為an＝2n－1.(2)由數(shù)列{an＋bn }是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，得an＋bn＝2n－1，即2n－1＋bn＝2n－1.所以bn＝2n－1－2n＋1.所以(－1)nbn(an＋bn)＝(－1)n·2n－1·(2n－1－2n＋1)＝(－1)n4n－1＋(－2)n－1(2n－1)＝－(－4)n－1＋(2n－1)·(－2)n－1.∴Pn＝(－4)0＋(－4)1＋…＋(－4)n－1＝＝ ，Qn＝1·(－2)0＋3·(－2)1＋5·(－2)2＋…＋(2n－3)·(－2)n－2＋(2n－1)·(－2)n－1，③－2Qn＝1·(－2)1＋3·(－2)2＋5·(－2)3＋…＋(2n－3)·(－2)n－1＋(2n－1)·(－2)n，④③－④得3Qn＝1·(－2)0＋2·(－2)1＋2·(－2)2＋…＋2·(－2)n－1－(2n－1)·(－2)n＝1＋－(2n－1)·(－2)n＝－－·(－2)n.∴Qn＝－－·(－2)n.∴Tn＝－Pn＋Qn＝－＋－.若一個數(shù)列是由兩個或多個等差、等比數(shù)列的和差形式組成，或這個數(shù)列可以分解成兩個或多個等差、等比數(shù)列的和差形式，則可以根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)對原數(shù)列求和式的各部分重新組合，進(jìn)而使用等差、等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和．解題的關(guān)鍵是觀察結(jié)構(gòu)、巧分組．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；(2)令cn＝設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求T2n.解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q，則由a1＝3，b1＝1及得解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.(2)由a1＝3，an＝2n＋1，得Sn＝n(n＋2)．則cn＝即cn＝T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)＝＋(2＋23＋…＋22n－1)＝1－＋＝＋(4n－1)．考向2 裂項相消法求和例2 (2019·甘青寧高三3月聯(lián)考)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a7＝5，S5＝－55.(1)求Sn；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列的前19項和T19.解 (1)∵∴∴Sn＝－19n＋×4＝2n2－21n.(2)設(shè)bn＝＝2n－21，則＝＝，故T19＝×＝×＝－.裂項相消法：即把每一項都拆成正負(fù)兩項，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項，可求和．適用于數(shù)列的求和，其中數(shù)列{an}是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)．已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn，且滿足Sn＋an＝2n＋1(n∈N*)．(1)求證數(shù)列{an－2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求證：＋＋…＋<.解 (1)因為Sn＋an＝2n＋1，①所以當(dāng)n＝1時，a1＋a1＝2＋1，解得a1＝.當(dāng)n≥2時，Sn－1＋an－1＝2(n－1)＋1，②由①－②，得an－an－1＋an＝2，即an＝an－1＋1，即an－2＝(an－1－2)，所以數(shù)列{an－2}是等比數(shù)列，其首項為a1－2＝－，公比為，所以an－2＝－n，所以an＝2－n.(2)證明：＝＝－，所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝－<.考向3 錯位相減法求和例3 (2019·東北三省三校高三二模)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝n2＋2n，等比數(shù)列{bn}的公比為4，且a2＝5b1.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.解 (1)當(dāng)n≥2時，Sn＝n2＋2n，Sn－1＝(n－1)2＋2(n－1)，∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3滿足上式，綜上，an＝2n＋1.∵5b1＝5，∴b1＝1，∴bn＝4n－1.(2)an·bn＝(2n＋1)·4n－1，①Tn＝3＋5×4＋7×42＋…＋(2n＋1)·4n－1，∴4Tn＝3×4＋5×42＋…＋(2n－1)·4n－1＋(2n＋1)·4n，②①－②，得－3Tn＝3＋2·(4＋42＋…＋4n－1)－(2n＋1)·4n＝3＋2·－(2n＋1)·4n＝－4n，∴Tn＝－＋4n.錯位相減法適用于由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積構(gòu)成的數(shù)列的求和．但要注意相減后得到部分等比數(shù)列，求和時一定要弄清其項數(shù)；另外還要注意首項與末項．(2019·福建高三畢業(yè)班3月質(zhì)檢)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an－n.(1)求證數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并求an；(2)求證：若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b3＝a2，b7＝a3，求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.解 (1)當(dāng)n＝1時，S1＝2a1－1，所以a1＝1.因為Sn＝2an－n，①所以當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1－(n－1)，②①－②得an＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，所以＝＝＝2，所以{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an＋1＝2·2n－1，所以an＝2n－1.(2)由(1)知，a2＝3，a3＝7，所以b3＝a2＝3，b7＝a3＝7，設(shè){bn}的公差為d，則b7＝b3＋(7－3)·d，所以d＝1，所以bn＝b3＋(n－3)·d＝n，所以anbn＝n(2n－1)＝n·2n－n.設(shè)數(shù)列{n·2n}的前n項和為Kn，數(shù)列{n}的前n項和為Mn，所以Kn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，③2Kn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，④③－④得－Kn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2.所以Kn＝(n－1)·2n＋1＋2，又因為Mn＝1＋2＋3＋…＋n＝，所以Kn－Mn＝(n－1)·2n＋1－＋2.所以數(shù)列{anbn}的前n項和Tn＝(n－1)·2n＋1－＋2.真題押題『真題模擬』1．(2019·江西八所重點中學(xué)高三4月聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若ma6·a7＝a－2a4·a9，且公比q∈(，2)，則實數(shù)m的取值范圍是( )A．(2,6) B．(2,5) C．(3,6) D．(3,5)答案 C解析 ∵ma6·a7＝a－2a4·a9，∴maq11＝aq14－2aq11，m＝q3－2，∵q∈(，2)，∴q3∈(5,8)，m∈(3,6)．故選C.2．(2019·安徽馬鞍山高三一模)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a1＝1，a7＝8a4，數(shù)列的前n項和為Sn，則S5＝( )A. B. C．7 D．31答案 A解析 ∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＝1，a7＝8a4，∴q6＝8q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n－1，＝.∵數(shù)列的前n項和為Sn，∴S5＝1＋＋＋＋＝＝.故選A.3．(2019·南寧調(diào)研)已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)C.(1－4－n) D.(1－2－n)答案 C解析 ∵q3＝＝，∴q＝，a1＝4，∴數(shù)列{an·an＋1}是以8為首項，為公比的等比數(shù)列．∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．故選C.4．(2019·天津高考)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2－2，b3＝2a3＋4.(1)求{an}和{bn}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足c1＝1，cn＝其中k∈N*.①求數(shù)列{a2n(c2n－1)}的通項公式；②求ici(n∈N*)．解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.依題意得解得或(舍去)，故an＝4＋(n－1)×3＝3n＋1，bn＝6×2n－1＝3×2n.所以，{an}的通項公式為an＝3n＋1，{bn}的通項公式為bn＝3×2n.(2)①a2n(c2n－1)＝a2n(bn－1)＝(3×2n＋1)(3×2n－1)＝9×4n－1.所以，數(shù)列{a2n(c2n－1)}的通項公式為a2n(c2n－1)＝9×4n－1.②ici＝ai＋ai(ci－1)]＝i＋2i(c2i－1)＝＋(9×4i－1)＝(3×22n－1＋5×2n－1)＋9×－n＝27×22n－1＋5×2n－1－n－12(n∈N*)．『金版押題』5．已知函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，且函數(shù)y＝f(x－2)的圖象關(guān)于x＝1對稱，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，則{an}的前100項的和為( )A．－200 B．－100 C．－50 D．0答案 B解析 函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，且函數(shù)y＝f(x－2)的圖象關(guān)于x＝1對稱，可得y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝－1對稱，又?jǐn)?shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，∴a50＋a51＝－1×2＝－2.∴S100＝a1＋a2＋…＋a100＝50(a50＋a51)＝－100.故選B.6．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3＝6，S5＝，則數(shù)列的前n項和為( )A．1－ B．2－C．2－ D．2－答案 B解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋d，因為S3＝6，S5＝，所以解得所以an＝n＋1，＝，設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，則Tn＝＋＋＋…＋＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，兩項相減，得Tn＝＋－＝＋－，所以Tn＝2－.配套作業(yè)一、選擇題1．(2019·湖南永州高三第三次模擬)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＋1＝Sn＋an＋1，a2＋a6＝10，則S7＝( )A．20 B．25 C．30 D．35答案 D解析 因為Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＋1＝Sn＋an＋1，所以an＋1－an＝1，因此數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，又a2＋a6＝10，所以a1＋a7＝10，因此S7＝＝35.故選D.2．(2019·四川成都外國語學(xué)校高三一診)在正項等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋a3＋…＋an>a1a2a3…an的最大正整數(shù)n的值為( )A．10 B．11 C．12 D．13答案 C解析 ∵正項等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3，∴q2＋q＝6.∵q>0，解得q＝2或q＝－3(舍去)，∴a1＝，∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝，∴>×2，整理可得，2n>2(n－1)n－5＋1，∴2n>2(n－1)n－5，n>(n－1)·，易知n>1，∴1
