（廣西課標版）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練16 橢圓、雙曲線、拋物線 文

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1、專題能力訓練16橢圓、雙曲線、拋物線一、能力突破訓練1.(2018全國,文4)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個焦點為(2,0),則C的離心率為()A.13B.12C.22D.2232.已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點,P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標是(1,3),則APF的面積為()A.13B.12C.23D.323.(2019黑龍江大慶二模,8)已知F是拋物線C:y2=2px(p0)的焦點,過點R(2,1)的直線l與拋物線C相交于A,B兩點,R為線段AB的中點.若|FA|+|FB|=5,則直線l的斜率為()A.3B.1C.2D.124.已知雙曲線x2a2-y2b2=

2、1(a0,b0)的右焦點為F,點A在雙曲線的漸近線上,OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點),則雙曲線的方程為()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=15.(2018全國,文11)已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點,若PF1PF2,且PF2F1=60,則C的離心率為()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-16.(2019全國,文10)已知F是雙曲線C:x24-y25=1的一個焦點,點P在C上,O為坐標原點.若|OP|=|OF|,則OPF的面積為()A.32B.52C.72D.927.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a

3、0,b0).矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是.8.已知直線l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,拋物線C:y2=16x,P是C上一動點,則點P到l1與l2距離之和的最小值為.9.如圖,已知拋物線C1:y=14x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過點P(t,0)(t0)作不過原點O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點.(1)求點A,B的坐標;(2)求PAB的面積.注:直線與拋物線有且只有一個公共點,且與拋物線的對稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點為切點.10.如圖,動點M與兩定點A(-1,

4、0),B(1,0)構成MAB,且直線MA,MB的斜率之積為4,設動點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設直線y=x+m(m0)與y軸相交于點P,與軌跡C相交于點Q,R,且|PQ|3)的右焦點為F,右頂點為A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O為原點,e為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H.若BFHF,且MOA=MAO,求直線l的斜率.二、思維提升訓練12.(2019四川成都外國語學校月考,11)已知點F1,F2是雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦點,過點F1的

5、直線l與雙曲線的左支交于點A,與右支交于點B.若|AF1|=2a,F1AF2=23,則SAF1F2SABF2=()A.1B.12C.13D.2313.(2019全國,文12)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=114.已知拋物線x2=16y的焦點為F,雙曲線x24-y25=1的左、右焦點分別為點F1,F2,點P是雙曲線右支上一點,則|PF|+|PF1|的最小值為.15.在平面直角坐標系xOy中,雙曲

6、線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p0)交于A,B兩點,若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為.16.已知圓C:(x+1)2+y2=20,點B(1,0),點A是圓C上的動點,線段AB的垂直平分線與線段AC交于點P.(1)求動點P的軌跡C1的方程;(2)設M0,15,N為拋物線C2:y=x2上的一動點,過點N作拋物線C2的切線交曲線C1于P,Q兩點,求MPQ面積的最大值.17.已知動點C是橢圓:x2a+y2=1(a1)上的任意一點,AB是圓G:x2+(y-2)2=94的一條直徑(A,B是端點),CACB的最大值是314.(1)求橢圓的

7、方程.(2)已知橢圓的左、右焦點分別為點F1,F2,過點F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓于P,Q兩點.在線段OF2上是否存在點M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求實數(shù)m的取值范圍;若不存在,請說明理由.專題能力訓練16橢圓、雙曲線、拋物線一、能力突破訓練1.C解析因為橢圓C的一個焦點為(2,0),所以其焦點在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以橢圓C的離心率e=ca=22.2.D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以點F的坐標為(2,0).將x=2代入x2-y23=1,得y=3,所以PF=3.又點A的坐標是(1,3),故APF的面積

8、為123(2-1)=32,故選D.3.B解析設A(x1,y1),B(x2,y2).因為R(2,1)為線段AB的中點,所以x1+x2=22=4.根據(jù)拋物線的定義可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=22+p=5,解得p=1.所以拋物線方程為y2=2x.所以y12=2x1,y22=2x2,兩式相減并化簡得y2-y1x2-x1=2y1+y2=221=1,即直線l的斜率為1,故選B.4.D解析雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點為F(c,0),點A在雙曲線的漸近線上,且OAF是邊長為2的等邊三角形,不妨設點A在漸近線y=bax上,c=2,ba=tan60,a2+b2=c2,解得a=1,

9、b=3.雙曲線的方程為x2-y23=1.故選D.5.D解析不妨設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,則|PF1|+|PF2|=2a.F2PF1=90,PF2F1=60,3c+c=2a,即(3+1)c=2a.e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.6.B解析設點P(x0,y0),則x024-y025=1.又|OP|=|OF|=4+5=3,x02+y02=9.由得,y02=259,即|y0|=53.SOPF=12|OF|y0|=12353=52.故選B.7. 2解析由題意不妨設AB=3,則BC=2.設AB,CD的中點分別為M,N,如圖

10、,則在RtBMN中,MN=2,故BN=BM2+MN2=322+22=52.由雙曲線的定義可得2a=BN-BM=52-32=1,而2c=MN=2,所以雙曲線的離心率e=2c2a=2.8.922解析在同一坐標系中畫出直線l1,l2和曲線C如圖.P是C上任意一點,由拋物線的定義知,|PF|=d2,d1+d2=d1+|PF|,顯然當PFl1,即d1+d2=|FM|時,距離之和取到最小值.|FM|=922,所求最小值為922.9.解(1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設直線PA的方程為y=k(x-t),由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直線PA與拋物線相切,

11、得k=t.因此,點A的坐標為(2t,t2).設圓C2的圓心為D(0,1),點B的坐標為(x0,y0),由題意知:點B,O關于直線PD對稱,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,點B的坐標為2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|AP|=t1+t2和直線PA的方程tx-y-t2=0.點B到直線PA的距離是d=t21+t2.設PAB的面積為S(t),所以S(t)=12|AP|d=t32.10.解(1)設M的坐標為(x,y),當x=-1時,直線MA的斜率不存在;當x=1時,直線MB的斜率不存在.于是x1,且x-1.此時,MA的斜率為y

12、x+1,MB的斜率為yx-1.由題意,有yx+1yx-1=4.整理,得4x2-y2-4=0.故動點M的軌跡C的方程為4x2-y2-4=0(x1).(2)由y=x+m,4x2-y2-4=0消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.對于方程,其判別式=(-2m)2-43(-m2-4)=16m2+480,而當1或-1為方程的根時,m的值為-1或1.結合題設(m0)可知,m0,且m1.設Q,R的坐標分別為(xQ,yQ),(xR,yR),則xQ,xR為方程的兩根,因為|PQ|PR|,所以|xQ|1,且1+3m22,所以11+221+3m2-13,且1+221+3m2-153,所以1|PR|PQ|=xRx

13、Q2=|BC|,所以動點P的軌跡C1是一個橢圓,其中2a=25,2c=2.動點P的軌跡C1的方程為x25+y24=1.(2)設N(t,t2),則PQ的方程為y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.聯(lián)立方程組y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有=80(4+20t2-t4)0,x1+x2=20t34+20t2,x1x2=5t4-204+20t2.而|PQ|=1+4t2|x1-x2|=1+4t280(4+20t2-t4)4+20t2,點M到PQ的高為h=15+t21+4t2,由SMPQ=12|PQ|h代入化簡,得SMPQ=510

14、-(t2-10)2+104510104=1305,當且僅當t2=10時,SMPQ可取最大值1305.17.解(1)設點C的坐標為(x,y),則x2a+y2=1.連接CG,由CA=CG+GA,CB=CG+GB=CG-GA,又G(0,2),CG=(-x,2-y),可得CACB=CG2-GA2=x2+(y-2)2-94=a(1-y2)+(y-2)2-94=-(a-1)y2-4y+a+74,其中y-1,1.因為a1,所以當y=42(1-a)-1,即1-1,即a3時,CACB的最大值是4(1-a)a+74-164(1-a),由條件得4(1-a)a+74-164(1-a)=314,即a2-7a+10=0,

15、解得a=5或a=2(舍去).綜上所述,橢圓的方程是x25+y2=1.(2)設點P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點坐標為(x0,y0),則滿足x125+y12=1,x225+y22=1,兩式相減,整理,得y2-y1x2-x1=-x2+x15(y2+y1)=-x05y0,從而直線PQ的方程為y-y0=-x05y0(x-x0).又右焦點F2的坐標是(2,0),將點F2的坐標代入PQ的方程得-y0=-x05y0(2-x0),因為直線l與x軸不垂直,所以2x0-x02=5y020,從而0x02.假設在線段OF2上存在點M(m,0)(0m2),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,則線段PQ的垂直平分線必過點M,而線段PQ的垂直平分線方程是y-y0=5y0x0(x-x0),將點M(m,0)代入得-y0=5y0x0(m-x0),得m=45x0,從而m0,85.13