線性代數(shù)：5-1 矩陣的特征值與特征向量

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1、三、特征值和特征向量的性質(zhì)三、特征值和特征向量的性質(zhì) 四、矩陣的對(duì)角化四、矩陣的對(duì)角化 5.1.1 ,AnnxAxxA定義設(shè) 是 階矩陣 如果數(shù) 和 維非零列向量 使關(guān)系式成立 那末 這樣的數(shù) 稱為方陣 的特征值非零向量非零向量x稱為稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量。的特征向量。說明說明 1、特征子空間：.0)(,0,2值值有有非非零零解解的的組組也也就就是是使使齊齊次次線線性性方方程程的的特特征征值值矩矩陣陣的的根根都都是是方方程程階階方方陣陣、設(shè)設(shè) xAI AAIAnAx=x A-Ix=0即（）的解空間0.3 AI 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa

2、的的為為次次方方程程為為未未知知數(shù)數(shù)的的一一元元稱稱以以AAIn 0|特特征征方方程程，,次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的它它是是n|,|)(AIf 記記的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式。稱稱其其為為方方陣陣 A二、特征值和特征向量的計(jì)算二、特征值和特征向量的計(jì)算 求矩陣特征值與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟：P155 ;)(.1AIfA 的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式計(jì)算計(jì)算;,0.221的的全全部部特特征征值值就就是是的的全全部部根根求求特特征征方方程程AAI n .,0 ,.3 的特征向量的特征向量就是對(duì)應(yīng)于就是對(duì)應(yīng)于的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系求齊次方程組求齊次方程組對(duì)于特征值對(duì)于特征值iiixAI 例例

3、1 1 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩陣求矩陣 A解解,)1)(2(2010340112 AIA 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為.1,2321 的特征值為的特征值為所以所以A.0)2(,21 xAI解方程解方程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0010140132AI由由,1001 p 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.211的的特特征征向向量量是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于所所以以 p,0)(,132 xAI解方程解方程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,000210101101024012 AI,000010001,1212 p 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.1322的特征向量的特征向量是對(duì)應(yīng)于是對(duì)應(yīng)于所以所以 p例例2 2 設(shè)設(shè) ,3140

4、20112 A求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量 解解 314020112 AI ,2)1(2 02)1(2 令令.2,1321 的特征值為的特征值為得得A 由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).0,11 xIA,000010101414030111 IA,1011 p得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系的的特特征征向向量量為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于故故111 p 。由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)02,232 xAI ,0000001141140001142 AI得基礎(chǔ)解系為：得基礎(chǔ)解系為：,401,11032 pp 的的特特征征向向量量為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于所所以以2,3232 pp n,mm.nA性質(zhì)階矩陣 有且僅有 個(gè)特征值其中

5、重特征值以個(gè)記 則則有有的的特特征征值值為為階階方方陣陣設(shè)設(shè),21nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An ;,2211trAAaaann記作記作的跡的跡稱為稱為 121212 ,.mmmAmpppppp 性質(zhì)設(shè)是方陣 的 個(gè)互不相同的特征值，依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則線性無關(guān).,1111121211也也線線性性無無關(guān)關(guān)則則量量線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向的的分分別別屬屬于于的的互互異異的的特特征征值值，是是方方陣陣設(shè)設(shè)推推論論silsliiliis,p,p,p,ppppA 第二節(jié)第二節(jié) 矩陣對(duì)角化問題矩陣對(duì)角化問題 相相似似。與與或或說說矩矩陣陣的的相相似似矩矩

6、陣陣是是則則稱稱使使若若有有可可逆逆矩矩陣陣階階矩矩陣陣都都是是設(shè)設(shè)定定義義BAABBAPP PnBA ,11 注：矩陣相似關(guān)系是等價(jià)關(guān)系注：矩陣相似關(guān)系是等價(jià)關(guān)系 .本身相似本身相似與與AA.,相似相似與與則則相似相似與與若若ABBA相似。相似。與與則則相似相似與與相似相似與與若若CACBBA,反身性反身性)1()2(對(duì)稱性對(duì)稱性傳遞性傳遞性)3(的的變變成成稱稱為為把把可可逆逆矩矩陣陣BAP相似變換矩陣相似變換矩陣。三、特征值和特征向量的性質(zhì)三、特征值和特征向量的性質(zhì) .,1的的特特征征值值亦亦相相同同與與從從而而項(xiàng)項(xiàng)式式相相同同的的特特征征多多與與則則相相似似與與階階矩矩陣陣若若性性質(zhì)質(zhì)

7、BABABAn 證明證明 相相似似與與BA APPPIPBI11 PAIP 1PAIP 1.AI BAPPP 1,使使得得可可逆逆陣陣注意注意 、屬于、屬于不同不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的特征值的特征向量是線性無關(guān)的 、屬于、屬于同一同一特征值的特征向量的非零線性組合特征值的特征向量的非零線性組合 、特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，、特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，即即有有的的特特征征向向量量的的的的屬屬于于特特征征值值同同時(shí)時(shí)是是如如果果設(shè)設(shè)因因?yàn)闉?2121 Ax xAxxAx21,xx21 ,021 x ,021 由于由于,0 x則則.與定義矛盾與定義矛盾仍是屬于這個(gè)特征

8、值的特征向量仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量 一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；但一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值但一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值 矩陣的對(duì)角化矩陣的對(duì)角化 定定理理5 5.2 2.2 2 n n階階矩矩陣陣A A與與對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣相相似似(即即A A能能對(duì)對(duì)角角化化)的的充充分分必必要要條條件件是是A A有有n n個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量.如果矩陣如果矩陣A相似于對(duì)角矩陣相似于對(duì)角矩陣,就稱就稱A可對(duì)角化可對(duì)角化.如果如果 階矩陣階矩陣 的的 個(gè)特征值互不相等，個(gè)特征值互不相等，則則 與對(duì)角陣相似，反之不一定成立。與對(duì)角陣相似，反

9、之不一定成立。推論推論 nAAn如果如果A的特征方程有重根，此時(shí)的特征方程有重根，此時(shí)不一定不一定有有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣A不一定能不一定能對(duì)角化，但如果能找到對(duì)角化，但如果能找到n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，個(gè)線性無關(guān)的特征向量，A還是能對(duì)角化還是能對(duì)角化說明說明 .dim,500mVmA 則則重重特特征征值值的的是是設(shè)設(shè)性性質(zhì)質(zhì) 證明證明 .0)(,30000的的特特征征子子空空間間的的屬屬于于為為的的解解空空間間稱稱齊齊次次線線性性方方程程組組的的特特征征值值是是設(shè)設(shè)定定義義 AVxAI A 000 i i d di immV V 即即為為 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的

10、的線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)。d di immV V=n n-r r(I I-A A).,2,1,dim,2,1,)()()(211kinVAkif An iinknAik 可可對(duì)對(duì)角角化化當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則互互異異其其中中該該特特征征值值的的重重?cái)?shù)數(shù)，即即若若特特征征子子空空間間的的維維數(shù)數(shù)等等于于它它的的屬屬于于任任一一特特征征值值的的可可對(duì)對(duì)角角化化的的充充要要條條件件是是階階復(fù)復(fù)矩矩陣陣定定理理定理定理5.2.3例例1 1 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？242422221)1(A-310-310(2)A=400(2)A=400101

11、101解解 AI 由由)1(722 0 242422221 .7,2321 得得 得方程組得方程組代入代入將將,02121 AI 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 .110,10221TT ,0,73 xAI 由由對(duì)對(duì)求得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系 2,2,13T .,321線性無關(guān)線性無關(guān)從而從而 ,同理同理.,3可可對(duì)對(duì)角角化化因因而而個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有即即AA 2(1)4IA1231,4.A 所以 的特征值為故故 A 不能化為對(duì)角矩陣不能化為對(duì)角矩陣.-310-310(2)A=400(2)A=4001011011

12、14 4-1 10 01 10 00 0 I I-A A=-4 41 10 0 0 01 10 0-1 10 00 00 00 00 0111dim()3212VnrIA的重?cái)?shù) 163053064A設(shè)設(shè)，A能否對(duì)角化？能否對(duì)角化？,P則則求求出出相相似似變變換換矩矩陣陣?yán)? 2 .1為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使APP 解解 163053064 AI 212 .2,1321 的全部特征值為的全部特征值為所以所以A若能對(duì)角化，若能對(duì)角化，得方程組得方程組代入代入將將0121 xAI 063063063212121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 ,0121 .1002 解解系系得得方方程程組組的

13、的基基礎(chǔ)礎(chǔ)代代入入將將,023 xAI .1,1,13 T 線線性性無無關(guān)關(guān)，由由于于321,110101102,321 P令令.200010001 1 APP則則有有所以所以 可對(duì)角化可對(duì)角化。A注意注意 ,213 P若令若令111 012 100.1 APP則有則有00 00002 11即矩陣即矩陣P 的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置 要相互對(duì)應(yīng)要相互對(duì)應(yīng)矩陣可對(duì)角化的應(yīng)用矩陣可對(duì)角化的應(yīng)用 ,1PPBA 若若 Ak.1PBPk 則則1PBP1PBP1PBP1PBPk個(gè)個(gè) ,1為為對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣使使若若可可逆逆矩矩陣陣特特別別地地APPP,1PPAkk 則

14、則.1211 PPPPAknkkkk 例例4 4 .3113的的特特征征值值和和特特征征向向量量求求 A解解 的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為A 31131)3(2 )2)(4(682 .4,221 的特征值為的特征值為所以所以A方方程程對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量應(yīng)應(yīng)滿滿足足時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),21,0023112321xx IA .0,02121xxxx 即即,21xx 解得解得.11 1 p取為取為所以對(duì)應(yīng)的特征向量可所以對(duì)應(yīng)的特征向量可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 取取為為所所以以對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量可可解解得得,21xx.112p 例例5 5 設(shè)

15、設(shè)A是是 階方陣，其特征多項(xiàng)式為階方陣，其特征多項(xiàng)式為n 0111aaaAEfnnnA .的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式求求AT解解 AEfTAT 0111aaannn TAE AE 例例 3 3 證明：若證明：若 是矩陣是矩陣A的特征值，的特征值，是是A的屬于的屬于的特征向量，則的特征向量，則 x .)1(是任意常數(shù)是任意常數(shù)的特征值的特征值是是mAmm.,)2(11的特征值的特征值是是可逆時(shí)可逆時(shí)當(dāng)當(dāng) AA 證明證明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再繼續(xù)施行上述步驟再繼續(xù)施行上述步驟 m-2次，就得次，就得 xxAmm .,征向量征向量的特的特對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于是是且且的特征值的特征值是矩

16、陣是矩陣故故mmmmAxA 00 Ag xgg A性質(zhì)：設(shè)是 的特征值，為任一多項(xiàng)式，用特征值定義可證明是的特征值。P95 ex 4,5例例 3 3 證明：若證明：若 是矩陣是矩陣A的特征值，的特征值，是是A的屬于的屬于的特征向量，則的特征向量，則 x .)1(是任意常數(shù)是任意常數(shù)的特征值的特征值是是mAmm.,)2(11的特征值的特征值是是可逆時(shí)可逆時(shí)當(dāng)當(dāng) AA 證明證明 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 ,0,2 可逆時(shí)可逆時(shí)當(dāng)當(dāng)A.,1111的的特特征征向向量量對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AxA的的特特征征向向量量。特特征征值值的的屬屬于于也也是是矩矩陣陣，則則對(duì)對(duì)于于任任意意的的非非零零常常數(shù)數(shù)的的特特征征向向量量，的的屬屬于于特特征征值值是是矩矩陣陣設(shè)設(shè)性性質(zhì)質(zhì) AkxkAx 3的的特特征征向向量量。的的屬屬于于特特征征值值也也是是矩矩陣陣時(shí)時(shí)，征征向向量量，那那么么當(dāng)當(dāng)?shù)牡奶靥氐牡膶賹儆谟谔靥卣髡髦抵刀级际鞘蔷鼐仃囮囋O(shè)設(shè)性性質(zhì)質(zhì) AxxxxAxx 2121210,4