（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練36 立體幾何中的向量方法（含解析）新人教A版

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1、考點(diǎn)規(guī)范練36立體幾何中的向量方法一、基礎(chǔ)鞏固1.直線l的方向向量s=(-1,1,1),平面的法向量為n=(2,x2+x,-x),若直線l平面,則x的值為()A.-2B.-2C.2D.22.已知平面的一個法向量為n=(1,-3,0),則y軸與平面所成的角的大小為()A.6B.3C.4D.563.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A.(1,1,1)B.23,23,1C.22,22,1D.24,24,14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱

2、長為a,點(diǎn)M在AC1上,且AM=12MC1,N為B1B的中點(diǎn),則|MN|為()A.216aB.66aC.156aD.153a5.如圖,過正方形ABCD的頂點(diǎn)A,作PA平面ABCD.若PA=BA,則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A.30B.45C.60D.906.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為()A.22B.155C.64D.637.如圖,在正四棱錐S-ABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角為.8.已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn),且AB=(2,-

3、1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).對于結(jié)論:APAB;APAD;AP是平面ABCD的法向量;APBD.其中正確的是.(填序號)9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為正三角形,底面ABCD為正方形,側(cè)面PAD底面ABCD,M為底面ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn),且滿足MP=MC,則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為.(填序號)10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2, AC=CD=5.(1)求證:PD平面PAB.(2)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,說明理由.1

4、1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90,E是PD的中點(diǎn).(1)證明:直線CE平面PAB;(2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45,求二面角M-AB-D的余弦值.二、能力提升12.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則()A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面13.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上,直線OP與

5、平面A1BD所成的角為,則sin 的取值范圍是()A.33,1B.63,1C.63,223D.223,114.如圖,等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角C-AB-D的余弦值為33,M,N分別是AC,BC的中點(diǎn),則EM,AN所成角的余弦值等于.15.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90,點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.(1)求證:MN平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為721,求線段AH的長.三、高考預(yù)測16.如圖,在四棱錐A-

6、EFCB中,AEF為等邊三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O為EF的中點(diǎn).(1)求證:AOBE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE平面AOC,求a的值.考點(diǎn)規(guī)范練36立體幾何中的向量方法1.D解析當(dāng)線面平行時,直線的方向向量垂直于平面的法向量,故-12+1(x2+x)+1(-x)=0,解得x=2.2.B解析可知y軸的方向向量為m=(0,1,0),設(shè)y軸與平面所成的角為,則sin=|cos|.cos=mn|m|n|=-321=-32,sin=32,=3.3.C解析設(shè)M(x,x,1).由已知得A(2,2,0),B(0,2,0),D(

7、2,0,0),E(0,0,1),則AM=(x-2,x-2,1),BD=(2,-2,0),BE=(0,-2,1).設(shè)平面BDE的一個法向量為n=(a,b,c),則nBD,nBE,即2a-2b=0,-2b+c=0.解得a=b,c=2b.令b=1,則n=(1,1,2).又AM平面BDE,所以nAM=0,即2(x-2)+2=0,得x=22.所以M22,22,1.4.A解析以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,a,a2.設(shè)M(x,y,z),點(diǎn)M在AC1上,且AM=12MC1,(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z).x=23a,y=a3,z

8、=a3,得M2a3,a3,a3.|MN|=a-23a2+a-a32+a2-a32=216a.5.B解析(方法一)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不難求出平面APB與平面PCD的法向量分別為n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為n1n2|n1|n2|=22,故所求的二面角的大小是45.圖圖(方法二)將其補(bǔ)成正方體.如圖,不難發(fā)現(xiàn)平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角,其大小為45.6.C解析取B1C1的中點(diǎn)D1,以A1為原點(diǎn),A1D1,A1A所在直線為x軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則C1(

9、3,1,0),A(0,0,2),AC1=(3,1,-2),平面BB1C1C的一個法向量為n=(1,0,0).所以AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為|AC1n|AC1|n|=38=64.7.30解析如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P0,-a2,a2.則CA=(2a,0,0),AP=-a,-a2,a2,CB=(a,a,0).設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1),則cos=CBn|CB|n|=a2a22=12.=60,直線BC與平面PAC所成的角為90-60=30.8.解

10、析因?yàn)锳BAP=0,ADAP=0,所以ABAP,ADAP,則正確.又AB與AD不平行,所以AP是平面ABCD的法向量,則正確.因?yàn)锽D=AD-AB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1),所以BD與AP不平行,故錯誤.9.解析以D為原點(diǎn),DA,DC所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)M(x,y,0),設(shè)正方形邊長為a,則Pa2,0,32a,C(0,a,0),則MC=x2+(y-a)2,MP=x-a22+y2+-32a2.由MP=MC,得x=2y,所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線y=12x的一部分.10.(1)證明因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=A

11、D,ABAD,AB平面ABCD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因?yàn)镻APD,PAAB=A,所以PD平面PAB.(2)解存在.取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO.因?yàn)镻A=PD,所以POAD.又因?yàn)镻O平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因?yàn)镃O平面ABCD,所以POCO.因?yàn)锳C=CD,所以COAD.故PO,CO,OA兩兩垂直.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).AP=(0,-1,1),DC=(2,1,0),DP=(0,1,1).設(shè)平面PCD的一個法向量n=(x,y

12、,z),則DCn=0,DPn=0,即2x+y=0,y+z=0,令x=1,得y=-2,z=2.所以平面PCD的一個法向量n=(1,-2,2).設(shè)M是棱PA上一點(diǎn),則存在0,1,使得AM=AP,因此點(diǎn)M(0,1-,),BM=(-1,-,).因?yàn)锽M平面PCD,所以要使BM平面PCD,當(dāng)且僅當(dāng)BMn=0,即(-1,-,)(1,-2,2)=0,所以-1+4=0,解得=14.所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM平面PCD,此時AMAP=14.11.(1)證明取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EFAD,EF=12AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=12AD,所以EFЛ

13、711;BC,四邊形BCEF是平行四邊形,CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)解由已知得BAAD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的方向?yàn)閤軸正方向,|AB|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1,0,-3),AB=(1,0,0).設(shè)M(x,y,z)(0x1),則BM=(x-1,y,z),PM=(x,y-1,z-3).因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos|=sin45,|z|(x-1)2+y2+z2=22,即(x-1)2+

14、y2-z2=0.又M在棱PC上,設(shè)PM=PC,則x=,y=1,z=3-3.由解得x=1+22,y=1,z=-62(舍去),x=1-22,y=1,z=62,所以M1-22,1,62,從而AM=1-22,1,62.設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則mAM=0,mAB=0,即(2-2)x0+2y0+6z0=0,x0=0,所以可取m=(0,-6,2).于是cos=mn|m|n|=105.因此二面角M-AB-D的余弦值為105.12.B解析以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)正方體棱長為1,則A1(1,0,1),D(0,0,

15、0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=13,13,-13,BD1=(-1,-1,1),EF=-13BD1,A1DEF=ACEF=0,從而EFBD1,EFA1D,EFAC.故選B.13.B解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.不妨設(shè)DC=DA=DD1=1,則D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O12,12,0,并設(shè)點(diǎn)P(0,1,t)且0t1.則OP=-12,12,t,A1D=(-1

16、,0,-1),A1B=(0,1,-1).設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x0,y0,z0),則有nA1D=0,nA1B=0,即-x0-z0=0,y0-z0=0,取x0=1,y0=-1,z0=-1,n=(1,-1,-1).sin=|cos|=|-1-t|3t2+12(0t1),sin2=t2+2t+13t2+12,0t1.令f(t)=t2+2t+13t2+12,0t1,則f(t)=2t2+t-1-3t2+122=-(2t-1)(t+1)3t2+122,可知當(dāng)t0,12時,f(t)0;當(dāng)t12,1時,f(t)0.又f(0)=23,f12=1,f(1)=89,f(t)max=f12=1,f(t)min

17、=f(0)=23.sin的最大值為1,最小值為63.sin的取值范圍為63,1.14.16解析過C點(diǎn)作CO平面ABDE,垂足為O,取AB中點(diǎn)F,連接CF,OF,則CFO為二面角C-AB-D的平面角,設(shè)AB=1,則CF=32,OF=CFcosCFO=12,OC=22,則O為正方形ABDE的中心,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則E0,-22,0,M24,0,24,A22,0,0,N0,24,24,EM=24,22,24,AN=-22,24,24,cos=EMAN|EM|AN|=16.15.解如圖,以A為原點(diǎn),分別以AB,AC,AP方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A

18、(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)證明:DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2),設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則nDE=0,nDB=0,即2y=0,2x-2z=0.不妨設(shè)z=1,可得n=(1,0,1).又MN=(1,2,-1),可得MNn=0.因?yàn)镸N平面BDE,所以MN平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)為平面CEM的一個法向量.設(shè)n2=(x,y,z)為平面EMN的法向量,則n2EM=0,n2MN=0.因?yàn)镋M=(0,-2,-1),MN=(1,2,-1),

19、所以-2y-z=0,x+2y-z=0.不妨設(shè)y=1,可得n2=(-4,1,-2).因此有cos=n1n2|n1|n2|=-421,于是sin=10521.所以,二面角C-EM-N的正弦值為10521.(3)依題意,設(shè)AH=h(0h4),則H(0,0,h),進(jìn)而可得NH=(-1,-2,h),BE=(-2,2,2).由已知,得|cos|=|NHBE|NH|BE|=|2h-2|h2+523=721,整理得10h2-21h+8=0,解得h=85或h=12.所以,線段AH的長為85或12.16.(1)證明因?yàn)锳EF是等邊三角形,O為EF的中點(diǎn),所以AOEF.又因?yàn)槠矫鍭EF平面EFCB,AO平面AEF,

20、所以AO平面EFCB,所以AOBE.(2)解取BC中點(diǎn)G,連接OG.由題設(shè)知EFCB是等腰梯形,所以O(shè)GEF.由(1)知AO平面EFCB,又OG平面EFCB,所以O(shè)AOG.如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則E(a,0,0),A(0,0,3a),B(2,3(2-a),0),EA=(-a,0,3a),BE=(a-2,3(a-2),0).設(shè)平面AEB的法向量為n=(x,y,z),則nEA=0,nBE=0,即-ax+3az=0,(a-2)x+3(a-2)y=0.令z=1,則x=3,y=-1.于是n=(3,-1,1).平面AEF的一個法向量為p=(0,1,0).所以cos=np|n|p|=-55.由題知二面角F-AE-B為鈍角,所以它的余弦值為-55.(3)解因?yàn)锽E平面AOC,所以BEOC,即BEOC=0.因?yàn)锽E=(a-2,3(a-2),0),OC=(-2,3(2-a),0),所以BEOC=-2(a-2)-3(a-2)2.由BEOC=0及0a2,解得a=43.15