流體力學(xué)第二章(基本方程) 2009年

《流體力學(xué)第二章(基本方程) 2009年》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《流體力學(xué)第二章(基本方程) 2009年（83頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1第一章 總結(jié)1流體的物理性質(zhì)和宏觀模型 （1）流體的主要物理性質(zhì)：流動性、粘性和壓縮性；（2）流點的概念和流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的內(nèi)容。2流體的速度和加速度 （1）描寫流體運動的兩種觀點；（2）流體的加速度的定義、物理含義、計算；（3）微商算符 的物理實質(zhì)及其應(yīng)用。Vtdtd 23跡線和流線（1）跡線和流線的概念；（2）跡線和流線的求解；（3）跡線、流線重合的條件4速度分解（1）亥姆霍茲速度分解定理的主要內(nèi)容35渦度、散度和形變率（1）渦度、散度和形變率的定義，物理含義；（2）渦度、散度和形變率的計算；（3）形變張量的概念。6速度勢函數(shù)和流函數(shù)（1）速度勢函數(shù)的定義、表示流體運動的方法；（2）流函

2、數(shù)的定義、表示流體運動的方法；（3）速度勢函數(shù)、流函數(shù)表示二維流動。4第二章 基本方程 5第二章 基本方程 6第一節(jié)連續(xù)方程 7Lagrange 觀點下質(zhì)量守恒定律：某一流體塊（流點）在運動過程中，盡管其體積和形狀可以發(fā)生變化，但其質(zhì)量是守恒不變的。拉格郎日型連續(xù)方程z x y()0dmdt0dVdt 80Vdtd (1)0/0(2)0/0(3)0/0VddtVddtVddt流體體積增大流體密度減小；流體體積減小流體密度增大；流體體積不變流體密度不變。Lagrange 觀點下連續(xù)方程的物理意義？9 Vtdtd拉格郎日型連續(xù)方程0Vdtd 歐拉型連續(xù)方程0Vt10Vt(1)0/0(2)0/0(3

3、)0/0VtVtVt 有流體凈流出流體局地密度減?。挥辛黧w凈流入流體局地密度增大；流體無凈流出或凈流入流體局地密度不變。歐拉型連續(xù)方程的物理意義11通常把自然界中水與空氣的交界面稱為水面或水表面。這種因流動而伴隨出現(xiàn)的可以升降的水面，在流體力學(xué)中稱之為自由表面。實際物理現(xiàn)象：當(dāng)水面向某處匯集時，該處水面將被擁擠而升高；反之，當(dāng)該處有水向四周流散開時，將使得那里的水面降低。水空氣交界面12具有自由表面的流體連續(xù)方程0hhVt0hVhhVt h0Vt 歐拉型連續(xù)方程131、作用于流體的力 質(zhì)量力流體的作用力表面力分析對象：流體中以界面 包圍的體積為 的流體塊第二節(jié) 作用于流體的力、應(yīng)力張量 14質(zhì)

4、量力（又稱為體力）：是指作用于所有流體質(zhì)點的力。如重力、萬有引力等。（1）質(zhì)量力是長程力：它隨相互作用的元素之間的距離的增加而減小，對于一般流體的特征運動距離而言，均能顯示出來。（2）它是一種分布力，分布于流體塊的整個體積內(nèi)，流體塊所受的質(zhì)量力與其周圍有無其他流體存在并無關(guān)系。通常情況下，作用于流體的質(zhì)量力通常就是指重力。15如果 表示單位質(zhì)量的流體的質(zhì)量力，規(guī)定其為：其中 是作用在質(zhì)量為 的流體塊上的質(zhì)量力。不難看出，可以看做力的分布密度。F0limmFFmF F例如：對處于重力作用的物體而言，質(zhì)量力的分布密度或者說單位質(zhì)量的流體的質(zhì)量力就是重力加速度 。gm 16表面力：是指流體內(nèi)部之間或

5、者流體與其他物體之間的接觸面上所受到的相互作用力。如流體內(nèi)部的粘性應(yīng)力和壓力、流體與固體接觸面上的摩擦力等。17（1）表面力是一種短程力：源于分子間的相互作用。表面力隨相互作用元素之間的距離增加而迅速減弱，只有在相互作用元素間的距離與分子距離同量級時，表面力才顯現(xiàn)出來。（2）流體塊內(nèi)各部分之間的表面力是相互作用而相互抵消的。（3）表面力也是一種分布力，分布在相互接觸的界面上。18定義單位面積上的表面力為：其中 是作用于某個流體面積上 的表面力0limppp 19矢量 是質(zhì)量力的分布密度，它是時間和空間點的函數(shù)，因而構(gòu)成了一個矢量場。而矢量 為流體的應(yīng)力矢，它不但是時間和空間點的函數(shù)，并且在空間

6、每一點還隨著受力面元的取向不同而變化。所以要確定應(yīng)力矢 ，必須考慮點的矢徑 、該點受力面元的方向（或者說面元的法向單位矢 ）以及時間 t。確切地說應(yīng)力矢是兩個矢量（、）和一個標(biāo)量的函數(shù) t。nrpF質(zhì)量力和表面力有著本質(zhì)的差別。pnr20取如圖所示的流體四面體元，分析其受力情況。MxyzABCnnpm nx y z 質(zhì)量為F m質(zhì)量力為表面力？21按照牛頓第二定律，可得：zzyyxxnnppppmFmdtVd MxyzABCnnpnx y z 說明：應(yīng)力矢的下標(biāo)取其作用面元的外法向，并且規(guī)定為外法向流體對另一部分流體的作用應(yīng)力。22根據(jù)作用力與反作用力原理，方程可以寫成如下形式：zzyyxxn

7、nppppmFmdtVd zzyyxxnnppppmFmdtVd 23四面體體積取極限時：上式為作用于流體微元的應(yīng)力矢之間的相互關(guān)系。zzyyxxnnpppp zzyyxxnnppppmFmdtVd 24MxyzABCnnx y z 考慮面元間的關(guān)系：nznznynynxnxnznnynnxn ,cos,cos,cosPPAMKnx25將其在直角坐標(biāo)系中展開，則有：zzzyzyxzxnzzyzyyyxyxnyzxzyxyxxxnxpnpnpnppnpnpnppnpnpnp于是，上式可以改寫為：zzyyxxnpnpnpnpzzyyxxnnpppp 26zzzyzyxzxnzzyzyyyxyxny

8、zxzyxyxxxnxpnpnpnppnpnpnppnpnpnp引進應(yīng)力張量：zzzyzxyzyyyxxzxyxxpppppppppPnpn P27 例2-2-1 說明應(yīng)力 、表示的物理含義。0yxp0 xxpijp28 nnnnpnppnppnnn通常應(yīng)力矢量也可以表示為：切應(yīng)力法應(yīng)力29習(xí)題2-2-1已知流體中某點的應(yīng)力張量為 試求作用于通過該點，方程為 的平面上的法應(yīng)力。aaaaaa 02022013zyx30其中 為反映流體粘性的粘性系數(shù)或內(nèi)摩擦系數(shù)；而流體與其他物體的粘性系數(shù)則稱為外摩擦系數(shù)。dzduzx 牛頓粘性定律建立了粘性應(yīng)力與流速分布之間的關(guān)系。31IVdivpA)32(2

9、P1 0 00 1 00 0 1I牛頓粘性定律建立了粘性應(yīng)力與流速分布之間的關(guān)系，但它的不足在于僅僅適用與流體直線運動。牛頓將以上的粘性應(yīng)力與形變率的關(guān)系推廣到任意粘性流體運動，即廣義牛頓粘性假設(shè)：32nnnpp nIVdivnAn 322nAn 2說明：根據(jù)廣義牛頓粘性假設(shè)的應(yīng)力張量計算得到的應(yīng)力包含了流體壓力和流體粘性力兩部分即：不可壓流體IVdivpA)32(2 P牛頓粘性流體的概念：滿足牛頓廣義粘性假設(shè)的流體。33流體的運動方程（普遍形式）納維-斯托克斯（N-S）方程（具體形式）歐拉方程（理想流體的運動方程）靜力方程（最簡單情形的運動方程）34在運動流體中選取一小六面體體元，其邊長分別

10、為：為了導(dǎo)出流體的運動方程，首先來分析小體元的受力情況。xyz,=+dVx y zdt 質(zhì)量力 表面力根據(jù)牛頓第二定律：xyzx y z 35xxmFFx y z x方向的質(zhì)量力36zyxxppxxxx zypxx 小體元所受的x方向的表面力=前后側(cè)面之和：周圍流體對小體元的六個表面有表面力的作用，而通過六個側(cè)面作用于小體元沿 x 方向的表面力分別為：前后側(cè)面：zyxxpxx xxxpxxpzy x?37因此，周圍流體通過六個側(cè)面作用于小體元沿x方向的表面力合力為：zxyyppyxyx zxpyx yxzzppzxzx yxpzx 右左側(cè)面：上下側(cè)面：zyxzpypxpzxyxxx 38據(jù)牛頓

11、運動定律：小體元受力等于其質(zhì)量與加速度的乘積：zyxzpypxpzyxFzyxdtduzxyxxxx zpypxpFdtduzxyxxxx 1單位質(zhì)量流體在 x 方向的運動方程方程可以簡化為：39單位質(zhì)量流體在 y 方向的運動方程單位質(zhì)量流體在 z 方向的運動方程同理可得：zpypxpFdtdwzzyzxzz 1zpypxpFdtdvzyyyxyy 140矢量形式zpypxpFdtVdzyx 1PFdtVd 1 xxxyxzyxyyyzzxzyzzpppPpppxyzppp 或者：流體運動方程的普遍形式41流體運動方程的普遍形式納維-斯托克斯方程廣義牛頓粘性假設(shè)42IVdivpA)32(2 P

12、PFdtVd 1流體運動方程的普遍形式廣義牛頓粘性假設(shè)VVgraddivpFdtVd2311 這就是適合牛頓粘性假設(shè)的流體運動N-S方程。43定義 流體運動學(xué)粘性系數(shù)，記作 。0Vdiv /VpFdtVd21 wzpFzwwywvxwutwvypFzvwyvvxvutvuxpFzuwyuvxuutuzyx222111 直角坐標(biāo)系中形式為：對于不可壓流體N-S方程簡化為：44其中 是單位質(zhì)量流體的加速度，為單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力。壓力梯度力粘性（粘滯）力VpFdtVd21 dtVd/F 45VVgraddivpFdtVd2311 pFdtVd 1理想流體（不考慮流體粘性），則納維-斯托克斯方程

13、：可以簡化，相當(dāng)于去掉方程中含有粘性的項。于是，方程簡化為：歐拉方程：理想流體的運動方程46如流體靜止時，即流體的速度和加速度的個體變化均為零，作用于流體的力應(yīng)該達到平衡。此時，可得如下形式方程：即所謂的。pF 1047假設(shè)流體所受的質(zhì)量力就是重力，靜力方程可以變化為：pkg 1zgp 上式表明：；流體靜止時的壓力，可以用流體柱的質(zhì)量來表示?；蛘哽o力方程應(yīng)用舉例：48外界對系統(tǒng)所作的功率（內(nèi)能+動能）的變化率表面力作功率 qdtdVpVFVTcdtdn2/2質(zhì)量力作功率熱流量的變化率流體中以界面 包圍的體積為 的流體塊總能量的變化率49 qdtdVpVFVTcdtdn2/2方程變換 2/2/2

14、2VTcdtdVTcdtd總能量的變化項總能量的變化項：dtdAAdtd dtdqqdtd熱流量的變化率熱流量的變化率50 qdtdVpVFVTcdtdn2/2 VPnVpn表面力作功率項：nP VP Vdiv P V51012/2 dtdqVPdivVFVTcdtd可以改寫為：dtdqVPdivVFVTcdtd 12/2 qdtdVpVFVTcdtdn2/2單位質(zhì)量流體的能量方程，它是能量守恒定律在流體運動中單位質(zhì)量流體的能量方程，它是能量守恒定律在流體運動中的具體表現(xiàn)形式。的具體表現(xiàn)形式。流體塊的能量守恒方程52PFdtVd 1VPVFVdtd 122VPVPVFVdtd 1122根據(jù)流體

15、的運動方程上式兩端同乘速度矢量右端第二項展開后，則有：53EVdivpVPdivVFVdtd 122單位質(zhì)量流體微團的動能方程物理意義：質(zhì)量力作功率表面力作功率外力作功率引起的動能變化利用廣義牛頓粘性假設(shè)IVdivpA)32(2 PVPVPVFVdtd 112254EVdivpVPdivVFVdtd 122 粘性耗散項膨脹、收縮在壓力作用下 引起的能量轉(zhuǎn)換項：動能內(nèi)能的轉(zhuǎn)換流體粘性動能內(nèi)能膨脹收縮 動能內(nèi)能動能內(nèi)能流體壓縮性5556對于理想流體，運動方程為：pVVFVdtd 22理想流體動能的變化，僅僅是由質(zhì)量力和壓力梯度力對流體微團作功造成的，而與熱能不發(fā)生任何轉(zhuǎn)換。理想流體的動能方程可以寫

16、成：pFdtVd 1上式兩端同乘速度矢量57FdtdVVF假設(shè)質(zhì)量力是有勢力，且質(zhì)量力位勢為 ，即滿足：如考慮 為一定常場，則有：58pVVdtd 22pVVFVdtd 22理想流體的動能方程59pVVdtd 22022 pVdtd理想流體微團的動能方程：不可壓縮不可壓縮定常pVpVtpdtdpdtdpVdtd 122 pdtdVdtd220ddt60022 pVdtdconstpV 22等式右端括號內(nèi)部分的個體變化為零，也即：61定常運動:流體運動的跡線和流線是重合constpV 22constpgzV 22于是沿流體運動的流線也有：伯努利方程62例2-4-1理想不可壓流體，所受質(zhì)量力僅為重

17、力的情況下作定常運動時，其中一流管如圖所示，已知道O點壓力和速度均為零，討論此時圖中處于同一流線上A、B兩點的流速VA、VB及壓力PA、PB間的所滿足的關(guān)系。O63流體力學(xué)的基本方程組：運動方程連續(xù)方程0Vt VpFdtVd21 考慮流體為均勻不可壓縮（=常數(shù)），且粘性系數(shù)為常數(shù)（=常數(shù)）的情況下，方程組是閉合的。,pwvu64流體力學(xué)問題的一般方法，就是求解這樣的閉合的方程組并使之適合應(yīng)當(dāng)?shù)某跏紬l件和邊界條件。由于流體運動方程含有如平流加速度的非線性項，它是一個非線性方程組，在數(shù)學(xué)上要求解這樣一個非線方程組是難以做到的。僅僅通過簡單問題的求解了解基本方法65一、平面庫埃托流動0,0wvuh

18、h Uuzx考慮如下簡單流動，設(shè)流體在兩相距為2h的無界平行平板間，沿 x 軸作定常直線平面運動，此時滿足：0,0wvu上平板勻速運動，下平板靜止。66考慮了xoz平面的運動，則 。：0/yu 0/xu )(zuu 連續(xù)方程可見，即僅僅是 z 的函數(shù)67納維斯托克斯方程簡化為：積分zpgypzuxp 10101022)(1xpgzp 0/tu 0/dtdwdtdvdtdu進而有：gFFFzyx,00,0wvu沿沿 x x 軸作定常直線平面運動軸作定常直線平面運動68方程第一式可以得到：221zuxp 積分上式可以得到：BAzzxpu212 )(zuu)(1xpgzp 69考慮這樣的簡單情況，設(shè)

19、在x方向的壓力分布均勻，即：考慮如下邊界條件：最終可以得到：0/xp 0,uhzUuhzhzUu12上式即給出了平面庫托流動的流速分布，它表明流速沿z軸呈線性分。BAzzxpu212 70二、平面泊稷葉流動0,0wvuh h uzx在平面庫托流動的基礎(chǔ)上，假定沿 x方向的壓力梯度不為零，而上、下板處于靜止?fàn)顟B(tài)。/0px,0,0zh uzh u71此時，邊界條件為：0/xp 0,uhz2221zhxpu 即為平面泊稷葉流動的流速分布，它表明流速沿 z 軸方向呈拋物線分布。將邊界條件代入方程解式中，可以得到：BAzzxpu212 理想化的無邊界、無限深和密度均勻的海洋，因海面受穩(wěn)定的風(fēng)長時間吹刮，

20、出現(xiàn)鉛直湍流而產(chǎn)生的水平湍流摩擦力，與地轉(zhuǎn)偏向力平衡時出現(xiàn)的海流。18931896年，挪威海洋調(diào)查船“前進”號橫越北冰洋時，F(xiàn).南森觀察到冰山不是順風(fēng)漂移，而是沿著風(fēng)向右方2040的方向移動。1905年，V.W.埃克曼研究了這種現(xiàn)象，得出了著名的埃克曼漂流理論。74考慮粘性系數(shù)和密度均為常數(shù) 的流體，在旋轉(zhuǎn)角速度為 的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的運動，此時出現(xiàn)了科氏力（地轉(zhuǎn)偏向力）的作用。而科氏力為：,const 0Vuivjw1222FkVviuj 假設(shè)流體作平面運動，該平面繞軸轉(zhuǎn)動，則流速表示為：75假設(shè)流體相對于旋轉(zhuǎn)參考系無加速度，且無質(zhì)量力作用，其運動方程（NS方程）為：wzpvypuuxpv222

21、10120120 76vuuv2222 假設(shè)p與x，y，z無關(guān)wzpvypuuxpv22210120120 0w77222222dzvdudzudv 考慮u、v 僅是 z 的函數(shù)，即滿足：；則可得到如下關(guān)系式)(zuu)(zvv 由以上二式所確定的流動即為?？寺鲃?。vuuv2222 78引進復(fù)速度，方程組可以變?yōu)椋?22222dzvdudzudv ivudzdivui222 79ivudzdivui222 ivudzdivui22)/(2 2)/(m ivudzdivuim2222ivuW2222dzWdiWm80求解以上方程，并使之滿足這樣的邊界條件：VvUuzvuz,00,zimiVUi

22、vu1exp則可得：2222dzWdiWmzimCzimCW)1(exp)1(exp21iVUC102C81mzmzVmzUvmzmzVmzUuexpsincosexpsincos上式表明，在科氏力與粘性力相平衡的條件下，自海面向下，洋流速度逐漸減小，以至在很深的海底減弱消失，且流動方向自上而下繞軸呈順時針旋轉(zhuǎn)。當(dāng)然，這里僅僅討論了最簡單的結(jié)果，?？寺鲃釉诤Ｑ髮W(xué)和氣象學(xué)的實際應(yīng)用中要復(fù)雜的多。zimiVUivu1exp82第二章總結(jié) 1連續(xù)方程 （1）Lagrange觀點下的流體連續(xù)方程；（2）Euler觀點下的流體連續(xù)方程；（3）自由表面的流體連續(xù)方程。2作用于流體的力、應(yīng)力張量 （1）質(zhì)量力和表面力；（2）應(yīng)力張量；（3）廣義的牛頓粘性假設(shè)。833運動方程 （1）NavierStokes方程；（2）歐拉方程；（3）靜力方程；4能量方程 （1）動能方程；（2）伯努利方程5簡單情況下的N-S方程的準(zhǔn)確解