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1、第七章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),2,本章目錄,數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)與設(shè)計(jì)方法,用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器,IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì),IIR數(shù)字濾波器的Matlab仿真實(shí)現(xiàn),3,理想的數(shù)字濾波器是非因果的，因而是物理上不可實(shí)現(xiàn)的。濾波器的設(shè)計(jì)就是用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)去逼近理想濾波器的性能。,IIR數(shù)字濾波器的兩類設(shè)計(jì)方法：借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法；直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行設(shè)計(jì)。,7.1引言,4,數(shù)字濾波器的技術(shù)要求,數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法,7.2數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)與設(shè)計(jì)方法,5,傳輸函數(shù)幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況；相頻特性()反
2、映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況,7.2.1數(shù)字濾波器的技術(shù)要求,6,理想濾波器是非因果的，物理上不可實(shí)現(xiàn)。為了物理上可實(shí)現(xiàn)，在通帶與阻帶之間應(yīng)設(shè)置一定寬度的過渡帶，并且在通帶和阻帶都允許一定的誤差容限，即通帶不一定是完全水平的，阻帶不一定都絕對衰減到零。,7,低通濾波器,通帶阻帶,8,通帶內(nèi)允許的最大衰減阻帶內(nèi)允許的最小衰減3dB通帶截止頻率當(dāng)幅度下降到時(shí)，即下降為0.707,，對應(yīng)的頻率,9,7.2.2數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法,數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問題就是尋找一組系數(shù)ai和bi，使得其性能在某種意義上逼近所要求的特性。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟:給出所需要的濾波器的技術(shù)指標(biāo)；設(shè)計(jì)一個H(z)使
3、其逼近所需要的技術(shù)指標(biāo)；用數(shù)字硬件或在計(jì)算機(jī)上編寫算法實(shí)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的H(z)。,10,IIR的設(shè)計(jì)方法借用模擬濾波器,先設(shè)計(jì)一個合適的模擬濾波器，然后變換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。很方便，這是因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，它不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表供查閱。設(shè)計(jì)步驟將給定的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)；根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬原型濾波器；按照一定規(guī)則將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。,11,IIR的設(shè)計(jì)方法直接設(shè)計(jì),直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行設(shè)計(jì)這是一種最優(yōu)化設(shè)計(jì)法。由于要解聯(lián)立方程，因此需要計(jì)算機(jī)輔助進(jìn)行設(shè)計(jì)。,12,FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法,FIR濾波器的設(shè)計(jì)
4、是通過對理想濾波器的頻率特性作某種逼近得到的。常用的設(shè)計(jì)方法:窗函數(shù)法頻率采樣法計(jì)算機(jī)輔助最優(yōu)化設(shè)計(jì)法,13,7.3用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器,模擬濾波器的設(shè)計(jì)脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法,14,7.3.1模擬濾波器的設(shè)計(jì),常用的模擬濾波器巴特沃斯（Butterworth）濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性切比雪夫（Chebyshew）濾波器幅頻特性在通帶或者阻帶內(nèi)有波動，可以提高選擇性；橢圓（Ellipse）濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都有紋波貝塞爾（Bessel）濾波器等通帶內(nèi)有較好的線性相位特性,15,理想模擬濾波器幅頻特性,16,幅度平方函數(shù)模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指
5、標(biāo)通帶截止頻率通帶最大衰減阻帶截止頻率阻帶最小衰減,17,模擬濾波器的設(shè)計(jì)步驟,由給定的、和求出由得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點(diǎn)（或零點(diǎn)）與Ha(-s)的極點(diǎn)（或零點(diǎn)）具有象限對稱性。為了保證設(shè)計(jì)的濾波器穩(wěn)定，將|Ha(s)|2的左半平面的極點(diǎn)賦給Ha(s)。,18,巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法,巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：N為濾波器階數(shù)c為3dB截止頻率,19,巴特沃斯低通濾波器的特點(diǎn),幅度特性隨著增加單調(diào)下降，下降的速度與階數(shù)有關(guān)。隨著N增大，幅度下降的速度越快，過渡帶越窄，在通帶內(nèi)更接近于1，在阻帶內(nèi)迅速接近于零，因而幅度特性更接近于理想的矩形頻率特性。不管N的取值是多少，
6、都經(jīng)過點(diǎn)。,20,幅度平方函數(shù)的極點(diǎn)分布,幅度平方函數(shù)有2N個極點(diǎn)這N個極點(diǎn)等間隔分布在半徑為c的圓上（該圓稱為巴特沃斯圓），間隔是/Nrad。這些極點(diǎn)以虛軸為對稱軸，而且不會落在虛軸上。當(dāng)N是奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有兩個極點(diǎn)；當(dāng)N是偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸沒有極點(diǎn)。,21,Ha(s)的表達(dá)式,為了保證所設(shè)計(jì)的濾波器是穩(wěn)定的，將s平面左半平面的N個極點(diǎn)分配給Ha(s)，而將右半平面的N個極點(diǎn)分配給Ha(-s),22,頻率歸一化,將所有的頻率對c歸一化，歸一化頻率：歸一化的幅度平方函數(shù)為：,23,模擬巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟,由給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)p、p、s和s確定巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和頻率c。,24,求濾波器的極
7、點(diǎn)，并由s平面左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)。幅度平方函數(shù)極點(diǎn)為：將s平面左半平面的N個極點(diǎn)分配給Ha(s),25,切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法,切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性具有等波紋特性在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的，稱為切比雪夫型濾波器；在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的，稱為切比雪夫型濾波器。,26,切比雪夫多項(xiàng)式,N為切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù)切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式,27,不同N值的切比雪夫多項(xiàng)式的曲線,切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)；當(dāng)時(shí)，曲線具有等紋波特性；當(dāng)時(shí)，曲線按雙曲余弦函數(shù)單調(diào)上升。,28,切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù),是小于1的正數(shù)，稱為紋波參數(shù)，是表示通帶內(nèi)紋波大小的一個參數(shù)，
8、愈大，紋波也愈大。p稱為有效通帶截止頻率。頻率通常對p歸一化，,29,切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性,30,在通帶內(nèi)，在1和之間起伏變化；在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的；當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，濾波器在處的幅度響應(yīng)為1；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，濾波器在處的幅度響應(yīng)為。當(dāng)時(shí)，,31,的確定,設(shè)允許的通帶紋波為，那么,32,階數(shù)N的確定,33,切比雪夫?yàn)V波器幅度平方函數(shù)的極點(diǎn),其中,34,極點(diǎn)分布,2N個等角度間隔（間隔為/N）分布在為長半軸，為短半軸的橢圓上的點(diǎn)。,35,切比雪夫?yàn)V波器的傳輸函數(shù),系數(shù)A由s=0時(shí)濾波器幅度響應(yīng)的值確定:當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，,36,切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟,由給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)確定切比雪夫?yàn)V
9、波器的參數(shù)、N和p,37,求濾波器的極點(diǎn)，并由s平面左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)。,38,7.3.2脈沖響應(yīng)不變法,從模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器就是按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將s平面上的Ha(s)轉(zhuǎn)換成z平面上的H(z)。脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法,39,脈沖響應(yīng)不變法,使數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)與相應(yīng)的模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)ha(t)的取樣值完全一樣,40,41,s平面到z平面的映射關(guān)系,s平面上每一條寬為2/T的橫帶重復(fù)地映射到整個z平面上每一橫條的左半部分映射到z平面的單位圓以內(nèi)右半部分映射到z平面的單位圓以外s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上虛軸上每一段長為的線段2/T都映射到z
10、平面單位圓上一周。,42,例7.3設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試?yán)妹}沖響應(yīng)不變法求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解將Ha(s)展開成部分分式得用代換得到,43,取T=1，得到數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為,44,7.3.3雙線性變換法,采用非線性頻率壓縮方法將整個s平面壓縮變換到s1平面/T之間的一條橫帶里;然后再用z=es1T將此橫帶變換到整個z平面上去，這樣就使s平面到z平面是一一映射的關(guān)系，從而消除了頻譜混疊現(xiàn)象。,45,雙線性變換法的映射關(guān)系,46,非線性頻率壓縮,雙線性變換的映射關(guān)系,47,z平面的與s平面的之間呈非線性關(guān)系。這種非線性關(guān)系導(dǎo)致雙線性變換法的頻率標(biāo)度的非線性失真，直接影響數(shù)字濾波器頻響
11、逼真地模仿模擬濾波器的頻響。,48,例7.4已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為采用雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)T=2s解將式(7.38)代入Ha(s)可得,49,7.3.4設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法,數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)方法,模擬原型低通濾波器,模擬（高通、帶通或帶阻）濾波器,數(shù)字（高通、帶通或帶阻）濾波器,頻率變換,脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法,模擬原型低通濾波器,數(shù)字低通濾波器,數(shù)字（高通、帶通或帶阻）濾波器,脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法,頻率變換,50,模擬低通到模擬高通的變換,設(shè)為低通濾波器歸一化頻率，p=j，為高通濾波器歸一化頻率，q=j，,51,模擬低通到模
12、擬高通的頻率變換關(guān)系：模擬低通到模擬高通的系統(tǒng)函數(shù)映射關(guān)系為：模擬高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：,52,模擬低通到模擬帶通的變換,sl：下阻帶上限頻率1：通帶下限3：通帶上限sh：上阻帶下限頻率B=3-1:帶通濾波器的帶寬，并以此作為參考頻率對軸作歸一化處理,53,通帶中心頻率歸一化中心頻率,54,模擬低通到模擬帶通的頻率變換關(guān)系,和的對應(yīng)關(guān)系：,55,模擬低通到模擬帶通的頻率變換關(guān)系,模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：,56,模擬低通到模擬帶阻的變換,1：通帶下限3：通帶上限sl：阻帶下限sh：阻帶上限B=3-1:阻帶帶寬，并以此作為參考頻率對軸作歸一化處理,57,通帶中心頻率歸一化中心頻率,58,和的
13、對應(yīng)關(guān)系：,59,模擬低通到模擬帶阻的頻率變換關(guān)系,模擬帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為:,60,由模擬低通原型濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字帶通、高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)步驟：將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)。利用頻率變換關(guān)系將模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。將模擬低通濾波器通過頻率變換法，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。,61,例7.5設(shè)計(jì)一個數(shù)字高通濾波器，要求通帶下限頻率，阻帶上限頻率為，通帶衰減不大于3dB，阻帶衰減不小于15dB。解數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，
14、取T=1,62,對p歸一化，模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器,63,取N=2，歸一化模擬低通濾波器為去歸一化，將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通,64,用雙線性變換法將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通,65,7.4IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì),頻率最小均方誤差設(shè)計(jì)時(shí)域直接設(shè)計(jì),66,7.4.1頻率最小均方誤差設(shè)計(jì),理想濾波器的頻率響應(yīng)：Hd(ej)設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)：H(ej)頻率最小均方誤差設(shè)計(jì)方法就是尋找濾波器的頻率響應(yīng)H(ej)，使最小,67,設(shè)濾波器的頻率響應(yīng)為：共有（4N+1）個待定系數(shù)設(shè)那么,68,取E對每一個參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并令這些導(dǎo)數(shù)為零，得到4N+1個方程,69,70,對極點(diǎn)的修
15、正,在設(shè)計(jì)過程中，對系數(shù)函數(shù)零極點(diǎn)位置未給任何約束，零極點(diǎn)可能在單位圓內(nèi)，也可能在單位圓外。如果極點(diǎn)在單位圓外，那么濾波器不是因果穩(wěn)定的，因此需要對這些單位圓外的極點(diǎn)進(jìn)行修正。由于系統(tǒng)函數(shù)是一個有理函數(shù)，零極點(diǎn)均以共軛成對的形式存在。,71,設(shè)z1為極點(diǎn)如果將極點(diǎn)z1和它的共軛極點(diǎn)均以其倒數(shù)和代替后，幅度特性的形狀不變化，僅是幅度的增益變化了。設(shè)極點(diǎn)z1處于單位圓外，如果用其倒數(shù)進(jìn)行代換，變成，將極點(diǎn)搬移到單位圓內(nèi)。極點(diǎn)位置重新分配后，濾波器就變成因果穩(wěn)定的。,72,7.4.2IIR數(shù)字濾波器的時(shí)域直接設(shè)計(jì),設(shè)希望設(shè)計(jì)的IIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)為hd(n)，時(shí)域設(shè)計(jì)法是設(shè)計(jì)一個IIR數(shù)字
16、濾波器，使它的單位脈沖響應(yīng)h(n)逼近hd(n).設(shè)濾波器是因果性的，其系統(tǒng)函數(shù)為時(shí)域直接設(shè)計(jì)法是尋找M+N-1個系數(shù)ai、bi，使得在范圍內(nèi)，使h(n)逼近hd(n)。,73,求解上述方程，得到系統(tǒng)函數(shù)H(z),74,波形形成濾波器,設(shè)x(n)為給定的輸入信號，yd(n)為希望的輸出信號，x(n)和yd(n)長度分別為M和N，實(shí)際的濾波器輸出為y(n),75,取E對h(n)的偏導(dǎo)為0得到求解上式得H(z)的系數(shù)h(n)，然后求出ai和bi,76,7.5IIR數(shù)字濾波器的Matlab仿真實(shí)現(xiàn),IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換,77,7.5.1IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì),設(shè)數(shù)字濾波器系
17、統(tǒng)函數(shù)為模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為函數(shù)butter和cheby1可以確定Butterworth和ChebyshevI型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。,78,函數(shù)butter的調(diào)用格式,函數(shù)butter的調(diào)用格式為b,a=butter(n,Wc,)%設(shè)計(jì)數(shù)字Butterworth濾波器b,a=butter(n,Wc,ftype)%設(shè)計(jì)模擬Butterworth濾波器其中，n為濾波器階數(shù)，Wc為截止頻率。,79,函數(shù)cheby1的調(diào)用格式,函數(shù)cheby1的調(diào)用格式為b,a=cheby1(n,Rp,Wc)%設(shè)計(jì)數(shù)字Chebyshev濾波器b,a=cheby1(n,Rp,Wc,ftype)%設(shè)計(jì)模擬Chebyshe
18、v濾波器其中，n為濾波器階數(shù)，Rp為通帶內(nèi)的紋波系數(shù)，Wc為截止頻率。,80,例：設(shè)計(jì)butterworth低通濾波器,例7.8設(shè)計(jì)一模擬butterworth低通濾波器，通帶截止頻率300Hz，通帶最大衰減2dB，阻帶截止頻率800Hz，阻帶最小衰減30dB。,解濾波器的階數(shù)和截止頻率可由式和確定，程序段為Wp=2*pi*300;Ws=2*pi*800;Rp=2;Rs=30;N=ceil(log10(10(0.1*Rs)-1)/(10(0.1*Rp)-1)/(2*log10(Ws/Wp);Wc=Wp/(10(Rp/10)-1)(1/(2*N);b,a=butter(N,Wc,s);freqs
19、(b,a),81,例7.8程序運(yùn)行結(jié)果,運(yùn)行程序，得到N=4，Wc=2.0157e+003。幅頻特性和相頻特性如圖7.16所示。,82,7.5.2模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換,設(shè)模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為從模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換有兩種方法，即脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。,83,脈沖響應(yīng)不變法,脈沖響應(yīng)不變法:用代換Ha(s)中的(s-sk)即可得到H(z)，從而將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器格式。可用函數(shù)impinvar實(shí)現(xiàn)，調(diào)用格式為bz,az=impinvar(b,a,fs)其中，fs為取樣頻率。,84,雙線性變換法,雙線性變換法:用代換Ha(s)中的s即可得到H(z)，從而將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器格式。可用函數(shù)bilinear實(shí)現(xiàn)，調(diào)用格式為zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,fs)其中，z，p，k和zd，pd，kd分別為s域和z域系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。,85,例：模擬濾波器轉(zhuǎn)換數(shù)字濾波器,例7.9利用impinvar將一模擬低通濾波器變換成數(shù)字濾波器(取樣頻率為10Hz)，,程序段為b,a=butter(4,.3,s);bz,az=impinvar(b,a,10);程序運(yùn)行結(jié)果為bz=1.0e-006*-0.00000.13240.51920.12730az=1.0000-3.92165.7679-3.77090.9246,
無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì).ppt
