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1、習(xí)題 1 寫出下列情況的邊界條件： 2 設(shè)附圖中的短柱體處于平面應(yīng)力狀態(tài)，試證在牛角尖端 C 處的應(yīng)力等于零。 3 單位厚度薄板受力如下圖所示，給定應(yīng)力函數(shù) 2 2 1 py xy f ，求 （1）應(yīng)力分量 xy y x , , ； （2）應(yīng)變分量 xy y x , , ； （3）位移分量 。 v u, 1 4 一正方形平面單元，四個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 0 , 0 A ， 0 , 1 B ， 1 , 1 C ， 1 , 0 D ，設(shè)點(diǎn) 和 固定，即 ，已知單元內(nèi)應(yīng)變 A D 0 D D A A v u v u 4 4 4 10 3 3 10 2 2 1 10 2 1 x y x y x xy y
2、 x 求點(diǎn)B和C的位移 ， ， ， 。 B u B v C u C v 5 如下圖所示三角形懸臂梁，只受重力作用，而梁的密度為 p，試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù) ，求解系數(shù) A, B, C, D和應(yīng)力分量 3 2 2 3 Dy Cxy y Bx Ax f xy y x , , 。 6 一長(zhǎng)為 l，高為 h，寬為 b 的懸臂梁，在自由端受集中力 F 的作用，取坐標(biāo)系如圖所示，現(xiàn)給出某組應(yīng) 力分布 O F l h b 0 , , 2 2 xz yz z y xy x y B A y x l A 現(xiàn)要求檢查平衡方程（無(wú)體力） ，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，上下面應(yīng)力邊界條件，及兩端的圣維南邊界條件，試問(wèn) 2什么情況下有
3、可能都滿足。 7 一長(zhǎng)為 a，寬為 b，厚為 1 的板，放在一剛性光滑的地面上，取坐標(biāo)系如圖所示，原點(diǎn)取 在板的中面，板受 x方向均布力 q的作用，已知位移場(chǎng)為 u=A 1 x+A 2 , v=B 1 y+B 2 , w=C 1 z+C 2 的形式，假設(shè)彈性模量為 E，泊松比為 ，試求待定系數(shù)及 u，v，w的表達(dá)式。 （20分） b O 8 懸臂梁 沿下邊受均布剪力，而上邊和 l x y c 0 , 0 l x 一端不受力，可用應(yīng)力函數(shù) 2 3 2 2 3 2 4 4 4 4 4 1 c ly c ly c xy c xy xy s f 得出解答，并說(shuō)明此解答在哪方面不完善？ 9 如下圖所示簡(jiǎn)
4、支梁，只受重力作用，而梁的密度為 ，試證明應(yīng)力函數(shù) 滿足雙調(diào)和方程，并求解系數(shù) A, B, C, D 和應(yīng)力分量 y Dx Cy By y Ax f 2 3 5 3 2 xy y x , , 。 10 圖中的懸臂梁受均布載荷作用，求其最大應(yīng)力 （1）用應(yīng)力函數(shù) x y y x xy x q f arctan 4 4 1 2 2 2 2 （2）用初等理論求，并比較以上結(jié)果。 3 11 已知下列位移，試求指定點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。 （1） 2 2 2 10 4 , 10 20 3 xy v x u 在(0,2)點(diǎn)處。 （2） 2 2 2 2 2 10 2 3 , 10 8 , 10 15 6 xy z w
5、 zy v x u 在(1,3,4)點(diǎn)處。 12 設(shè)有圖示懸臂梁右端受 F 作用，如取撓曲線為 ，試求 a,b值。 3 2 bx ax w 13 對(duì)于圖示簡(jiǎn)支梁，試檢驗(yàn)下列撓度表達(dá)式是否都是幾何可能位移？ 1 2 1 sin 2 ; 1 n n n n l x n a w x a x a a x l x w 14 如圖所示簡(jiǎn)支梁，先施加載荷 ，再承受 作用，試寫出圖中兩個(gè)集中外力所做的實(shí)功與虛功。 1 P 2 P 4 15 試用最小勢(shì)能原理分析圖示(a)線彈性剛架內(nèi)力，并用最小余能原理分析圖示(b)線彈性剛架內(nèi)力。 16 圖示單位厚度平面應(yīng)力懸臂梁，端部受集中力 作用，已知應(yīng)力分布為 P 3
6、2 12 1 , 2 2 0 h I y h I P I Pxy xy y x 試?yán)猛饬Φ扰c內(nèi)力功關(guān)系，即 2 2 0 h h l xy xy y y x x dxdy P 求自由端撓度 。 17 兩端固支梁，在離左端距離 處，作用集中力 ，這時(shí)左支承的反力 a P R和反力矩M 都作為未知系數(shù)， 現(xiàn)用最小余能原理求出反力R和反力矩M 。 5 18 試用最小余能原理求圖示等截面細(xì)長(zhǎng)桿件自由端 C 的垂直位移 。 均為已知。 c f EI P R a 及 , , 19 試分別采用如下位移函數(shù)： ；并根據(jù)最小勢(shì)能原理分析圖示線彈性剛架內(nèi)力（僅考慮彎 曲變形情況） 。 3 2 bx ax w 2
7、0 圖示雙跨連續(xù)梁，抗彎剛度為EI ，受均布載荷 作用。試用最小余能原理求中間簡(jiǎn)支處的彎矩。 q 21 試寫出以下結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能和余應(yīng)變能 （1）等截面均勻受力的軸力桿，設(shè)桿橫截面積為 A，桿長(zhǎng) L，彈性模量 E。 (a)用桿變形 表示桿應(yīng)變能 L (b)用軸向力 F表示桿余應(yīng)變能 （2）彎曲梁（不計(jì)剪力變形） 6設(shè)梁截面的彎曲慣性矩 J，梁長(zhǎng) L，彎曲變形撓度 w。 (a)用 w表示梁的應(yīng)變能 (b)用 M表示梁的余應(yīng)變能 22 使用虛功原理求下圖所示梁的撓度函數(shù) w，設(shè) l x a w sin 1 ，抗彎剛度為 EI 23 已知下圖所示的懸臂梁，其跨度為 L，抗彎剛度為 EI，在自由端受載荷
8、 F 作用，試用最小勢(shì)能原理 求最大撓度值。 24 一懸臂梁，受均載q作用，取撓度函數(shù) ，試用最小勢(shì)能原理求 。 （注：變形勢(shì)能公 式 3 2 bx ax w max w l dx dx w d EI E 0 2 2 2 2 ） 25 一端固定，一端簡(jiǎn)支梁受均載 q的作用，選用梁的變形 3 cos 1 cos 1 22 xx wa ll 試用最小勢(shì)能原理求待定系數(shù) a，以及中點(diǎn)（ 2 / l x ）處的 w值。 26 如圖 4所示，兩端固定的梁，受均載 q的作用，試用最小余能原理求未知反力 R和反力 矩 M。 7 27 有一桿，長(zhǎng)為 ，剖面面積為 A，材料的彈性模量為 E，熱膨張系數(shù)為 L ，
9、兩端固定在剛性基礎(chǔ)上， 如圖 A.1 所示。設(shè)在桿固定于基礎(chǔ)之后，受到均勻分布的溫度 T 的作用。試應(yīng)用最小勢(shì)能原理決定桿內(nèi)的 應(yīng)力分布。 28 與習(xí)題 l-l 相同的桿，但不是受溫度作用，而是受沿桿的長(zhǎng)度均勻分布的軸向載荷的作用，如圖 A.2 所示。分布載荷每單位長(zhǎng)度的集度為 q(單位為N)。試用最小余能原理決定桿內(nèi)的應(yīng)力分布。 29 圖A.3 表示有一絕對(duì)剛硬的梁，一端自由，另一端鉸支在剛硬的基礎(chǔ)上。該粱在跨度中間用 3 根只 受軸力的桿與基礎(chǔ)相連。桿的剖面面積都是 A，材料的彈性模量都是 E，長(zhǎng)度都是 L。試用最小勢(shì)能原理決 定粱在外力 P 的作用下，3 根彈性桿中的內(nèi)力以及梁的位移。
10、830 桿一端與剮硬基礎(chǔ)相連，另一端互相連接在一起，如圖 A.4 所示。桿的剖面面積均為 A材料彈性 模量均為 E，幾何尺寸如圖所示。試用最小勢(shì)能原理和虛功原理，分別確定各桿的內(nèi)力(軸力)和加載節(jié)點(diǎn) 的位移。 31 如圖表示一段兩端自由的梁，受到力矩和的作用，不平衡的力矩由一對(duì)剪力所平衡。用最小勢(shì)能原 理計(jì)算 M1作用端的轉(zhuǎn)角 1 和M 2作用端的轉(zhuǎn)角 2 。計(jì)算中考慮剪切力的影響。已知：L 為梁的跨長(zhǎng)；EJ 為 彎曲剛度，沿梁長(zhǎng)度為常值； 為剪切參數(shù)；As為等效的剪切橫剖面積；G 為剪切模量。 圖中 y 軸的原點(diǎn)放在梁剖面的中性軸上，x 軸的原點(diǎn)放在粱左邊剖面中性軸與 y 軸的交點(diǎn)上。 2
11、L s / 12 GA EJ 32 試述實(shí)功與虛功之區(qū)別。 33 如圖所示簡(jiǎn)支梁上外力 在位移 上所作之功為實(shí)功還是虛功？ 1 P 12 w 34 受分布載荷作用之簡(jiǎn)支梁如下圖所示，試證明其虛功方程為 l l l kdx M l M M wdx q 0 0 0 0 9 35 受分布載荷作用之懸臂梁如下圖所示，試證明其虛功方程為 l l l l kdx M l M l w Q wdx q 0 0 36 受分布載荷(包括切向載荷 和法向載荷 )和端部外力作用的圓弧形大曲率桿如圖所示， 試推導(dǎo)其虛 功方程。 t q n q 37 在一般情況下，圓環(huán)的徑向位移可用下列三角級(jí)數(shù)來(lái)描述： 1 1 sin
12、cos n n n n n b n a w （1） 10式中， ， 為待定系數(shù)(廣義位移)。試根據(jù)勢(shì)能原理求圖示圓環(huán)中 P力作用點(diǎn) C,D的相對(duì)位移線 n a n b 38 試用最小勢(shì)能原理，求圖示懸臂梁自由端得撓度和轉(zhuǎn)角 （提示 由于梁上沒(méi)有分布載荷，可設(shè)該梁之撓曲線為下列函數(shù)： ） 0 1 2 2 3 3 a x a x a x a w 39 應(yīng)用最小勢(shì)能原理求圖示桁架各桿的內(nèi)力。 40 采用最小勢(shì)能原理，求圖示等截面細(xì)長(zhǎng)桿件自由端 C的垂直位移 。 均為已知。 c f EI P R a 及 , , 11 41 采用最小勢(shì)能原理，求圖示細(xì)長(zhǎng)曲桿自由端 B 的水平位移 I R q B E ,
13、 及 ， 均為已知 解 我們知道，用最小勢(shì)能原理求某一已知載荷作用方向上的相應(yīng)位移時(shí)，可先寫出系統(tǒng)的變形能 U，然 后由 i P U 得到欲求之位移 i 。現(xiàn)在遇到的新情況是：在 B 點(diǎn)欲求位移的方向上沒(méi)有外力作用，對(duì)于這種 情況，我們可采用所謂附加力法來(lái)加以解決。即先在指定點(diǎn)并沿所求位移的方向上假想地加上一個(gè)力，如 力 P。求彎矩及其偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，把它當(dāng)作真實(shí)載荷一樣處理，在代入位移算式時(shí)再令 P=0，如此求得的 i P U 即 為 B 點(diǎn)的水平位移 。 B 42 試用最小余能原理求圖示細(xì)長(zhǎng)桿件端截面 C 的垂直位移 EI P R a f c 及 。 , 均為已知。 1243 采用最小勢(shì)能原理，
14、 求圖示細(xì)長(zhǎng)桿件端截面 C的垂直位移 EI P R a f c c c 及 。 及轉(zhuǎn)角 水平位移 , , 均為已知 44 采用最小勢(shì)能原理，求圖示開口細(xì)鏈環(huán) A， B 兩端截面間的相對(duì)線位移 C 的垂直位移 EI P R B A B A 及 。 和相對(duì)角位移 , 均為已知 45 采用最小勢(shì)能原理，試求圖示靜不定細(xì)長(zhǎng)桿件 C 端的支反力及 B點(diǎn)處沿 P力方向的位移。 46 圖示平均半徑為 R之等截面薄圓環(huán)，在某處被一徑向截面切開，切縫中卡入一厚度為 e的塊體，使環(huán) 張開。采用最小余能原理，試求環(huán)中的最大彎矩。R、e 及 EI均為已知。 13 47 采用最小余能原理，求圖示細(xì)鏈環(huán)載荷作用點(diǎn) A，B
15、 的相對(duì)線位移 B A ，P, R 及 EI 均為已知。 48 圖示結(jié)構(gòu)是由半徑為月的半圓形曲桿和兩段長(zhǎng)度各為l的直桿所組成，P及 EI為已知，采用最小勢(shì)能 原理，試求兩個(gè)載荷 P作用之點(diǎn) A、D間的相對(duì)線位移 D A 3 2 2 3 3 24 6 4 6 R lR R l l EI P D A 該位移使 A，D兩點(diǎn)之間的距離增大。 49 采用最小勢(shì)能原理，求圖示平面細(xì)長(zhǎng)曲桿自由端 B 在垂直方向上的位移 均為已知。 EI P R f B 及 , , EI PR f B 2 3 8 該位移方向向下。 50 采用最小勢(shì)能原理，求圖示薄圓環(huán) A、G 兩截面的彎矩及 C、D 兩點(diǎn)之間的相對(duì)線位移。
16、均為已知。 EI P R CD AB 及 , , 14 A ，G兩截面的彎矩分別為 PR M A 2 4 和 PR M G 2 4 2 其中， 使曲率增大， 使曲率減小 A M G M C，D兩點(diǎn)之間的相對(duì)線位移為 EI PR D C 8 2 4 16 2 該位移使 C，D兩點(diǎn)相對(duì)移遠(yuǎn)。 51 采用最小勢(shì)能原理，求圖示桁架 B 點(diǎn)的垂直位移 點(diǎn)的水平位移 和 BC 桿的轉(zhuǎn)角 C f B , C 及 a P BC , , EA均為已知。 15 52 試述畫出圖示飛機(jī)機(jī)翼內(nèi)力圖和翼梁突緣、腹板和翼肋的應(yīng)力圖。 16 53 試求圖示方板的最大撓度。 （ D a q w 0 max 00203 . 0
17、 ） 17 54 求圖示環(huán)板在周邊載荷作用下的最大撓度。設(shè) 3 . 0 , 5 . 1 a R ，板厚 。 （ 3 2 max 209 . 0 E FR w ） 55 如圖所示四周簡(jiǎn)支矩形板，板面受到垂直于板面的法向均布力 p 0 ，板四周邊界上受到均布彎矩 M 0 作 用，試求其撓度。 56 如圖所示厚為 h，直徑為 2a 四周簡(jiǎn)支圓板，板面受到垂直于板面的法向均布力 p 作用，且沿軸界作用 著徑向彎矩，試求板的撓度曲面函數(shù)，最大撓度和邊界上的轉(zhuǎn)角。 18 57 設(shè)厚度為 ，直徑為 的圓板，板周界為固支，板面受均布法向載荷 作用，此時(shí)圓板內(nèi)力與撓度 的關(guān)系為 t a 2 0 p w 單位寬度
18、上徑向彎矩 d dw d w d D M 2 2 單位寬度上周向彎矩 2 2 1 d w d d dw D M 單位寬度上法向力 d dw d w d d w d D F z 2 2 2 3 3 1 1 其中 為板彎曲剛度 D 1 12 3 Et D ， 為材料泊松比，E 為彈性模量。設(shè)板撓度解為 ln ln 2 3 2 2 1 0 4 C C C C w 64 0 D p 1 ,C ， （1）寫出確定 的邊界條件； （2）求出 ； （3）求板撓度函數(shù) ； （4）求出圓板中心撓度。 3 2 1 , , C C 0 ,C C 3 2 0 , , C C C w 58 設(shè)有一邊簡(jiǎn)支一邊固支的板條，
19、受線性分布載荷作用，試求固支邊彎矩。 59 一環(huán)形板，外緣簡(jiǎn)支，內(nèi)緣受均勻分布的剪力 作用，設(shè)厚度為 ，直徑為 的圓板，板周界為固 支，板面受均布法向載荷 作用，設(shè)板撓度解為 0 Q t a 2 0 p ln 2 ln 64 2 3 2 1 0 4 0 C C C D p C w ，此時(shí) 圓板內(nèi)力與撓度 的關(guān)系為 w 19單位寬度上徑向彎矩 d dw d w d D M 2 2 單位寬度上周向彎矩 2 2 1 d w d d dw D M 單位寬度上法向力 d dw d w d d w d D F z 2 2 2 3 3 1 1 其中 為板彎曲剛度 D 1 12 3 Et D ， 為材料泊松比
20、，E為彈性模量。 （1）寫出確定 的邊 界條件； （2）求出 ； （3）當(dāng) 時(shí)，則圓環(huán)變?yōu)閳A板，且內(nèi)邊緣上分布剪力變?yōu)閳A心受 集中力作用，求圓板撓度函數(shù) 。 3 2 1 0 , , , C C C C 3 2 1 0 , , , C C C C w b a 60 邊長(zhǎng)為 a及 b的四邊簡(jiǎn)支矩形板，承受著法向分布載荷 q（x,y）,板的抗彎剛度為 D，試 用重三角級(jí)數(shù)解法求撓度 w(x,y)，其中 11 sin sin , mn mn b y n a x m C y x q , dxdy b y n sin a x m sin ) y , x ( q ab 4 C a 0 b 0 mn 如果 q(x,y)=q 0 =常數(shù)，試確定下列兩種情形的撓度函數(shù)： i）b a ; ii）b 20
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