《大學(xué)物理教程習(xí)題答案》上海交通大學(xué)出版社.doc

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1、習(xí)題1 1-1．已知質(zhì)點位矢隨時間變化的函數(shù)形式為 其中為常量．求：（1）質(zhì)點的軌道；(2)速度和速率。 解：(1) 由，知： ， 消去t可得軌道方程： ∴質(zhì)點的軌道為圓心在（0，0）處，半徑為R的圓； （2）由，有速度： 而，有速率：。 1-2．已知質(zhì)點位矢隨時間變化的函數(shù)形式為，式中的單位為m，的單位為s。求：（1）質(zhì)點的軌道；（2）從到秒的位移；（3）和秒兩時刻的速度。 解：（1）由，可知 ， 消去t得軌道方程為：，∴質(zhì)點的軌道為拋物線。 （2）由，有速度： 從到秒的位移為： （3）和秒兩時刻的速度為：， 。 1-3．已知質(zhì)點位矢隨時間變化的函數(shù)

2、形式為，式中的單位為m，的單位為s.求：（1）任一時刻的速度和加速度；（2）任一時刻的切向加速度和法向加速度。 解：(1)由，有：，，有：； （2）而，有速率： ∴，利用有： 。 1-4．一升降機以加速度上升，在上升過程中有一螺釘從天花板上松落，升降機的天花板與底板相距為，求螺釘從天花板落到底板上所需的時間。 解法一：以地面為參照系，坐標(biāo)如圖，設(shè)同一時間內(nèi)螺釘下落的距離為，升降機上升的高度為，運動方程分別為 （1） （2） （3） （注意到為負(fù)值，有） 聯(lián)立求解，有：。 解法二：以

3、升降機為非慣性參照系，則重力加速度修正為， 利用，有：。 1-5．一質(zhì)量為的小球在高度處以初速度水平拋出，求： （1）小球的運動方程； （2）小球在落地之前的軌跡方程； （3）落地前瞬時小球的，，。 解：（1）如圖，可建立平拋運動學(xué)方程： ， ，∴； （2）聯(lián)立上面兩式，消去t得小球軌跡方程：（為拋物線方程）； （3）∵，∴， 即：， 在落地瞬時，有：，∴ 又∵ ，∴ 。 1-6．路燈距地面的高度為，一身高為的人在路燈下以勻速沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運動，并求其速度. 證明：設(shè)人向路燈行走，t時刻人影中頭的坐標(biāo)為，足的坐標(biāo)為， 由相似三角形關(guān)

4、系可得：， ∴ 兩邊對時間求導(dǎo)有： ，考慮到：， 知人影中頭的速度：（常數(shù)）。 1-7．一質(zhì)點沿直線運動，其運動方程為(m)，在 t從0秒到3秒的時間間隔內(nèi)，則質(zhì)點走過的路程為多少？ 解：由于是求質(zhì)點通過的路程，所以可考慮在0~3s的時間間隔內(nèi)，質(zhì)點速度為0的位置： 若 解得 ， 。 1-8．一彈性球直落在一斜面上，下落高度，斜面對水平的傾角，問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點多遠(yuǎn)(假設(shè)小球碰斜面前后速度數(shù)值相等，碰撞時人射角等于反射角)。 解：小球落地時速度為，建立沿斜面的直角坐標(biāo)系，以小球第一次落地點為坐標(biāo)原點如圖示， → （1） →

5、 （2） 第二次落地時：，代入（2）式得：， 所以：。 1-9．地球的自轉(zhuǎn)角速度最大增加到若干倍時，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開地球?已知現(xiàn)在赤道上物體的向心加速度約為，設(shè)赤道上重力加速度為。 解：由向心力公式：， 赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足：，而現(xiàn)在赤道上物體的向心力為： ∴ 1-10．已知子彈的軌跡為拋物線，初速為，并且與水平面的夾角為。試分別求出拋物線頂點及落地點的曲率半徑。 解：（1）拋物線頂點處子彈的速度，頂點處切向加速度為0，法向加速度為。 因此有：， ； （2）在落地點時子彈的，由拋物線對稱性，知法向加速度方向與豎直方向

6、成角，則：，有： 則： 。 1-11．一飛行火箭的運動學(xué)方程為，其中b是與燃料燃燒速率有關(guān)的量，u為燃?xì)庀鄬鸺膰娚渌俣?。求? （1）火箭飛行速度與時間的關(guān)系；（2）火箭的加速度。 解：一維運動，直接利用公式：，有： （1） ， （2） 1-12．飛機以的速度沿水平直線飛行，在離地面高時，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)上，問：投放物品時，駕駛員看目標(biāo)的視線和豎直線應(yīng)成什么角度?此時目標(biāo)距飛機下方地點多遠(yuǎn)? 解：設(shè)此時飛機距目標(biāo)水平距離為有： ┄①，┄② 聯(lián)立方程解得：，∴。 1-13．一物體和探測氣球從同一高度豎直向上運動，物體初速為，而氣球以速度勻

7、速上升，問氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測得物體的速度各多少？ 解：物體在任意時刻的速度表達(dá)式為： 故氣球中的觀察者測得物體的速度 代入時間t可以得到第二秒末物體速度：，（向上） 第三秒末物體速度： 第四秒末物體速度：（向下）。 思考題1 1-1．質(zhì)點作曲線運動，其瞬時速度為，瞬時速率為，平均速度為，平均速率為，則它們之間的下列四種關(guān)系中哪一種是正確的? （A）；（B）；（C）；（D） 答：（C） 1-2．沿直線運動的物體，其速度大小與時間成反比，則其加速度的大小與速度大小的關(guān)系是：（A）與速度大小成正比；（B）與速度大小平方成正比；（C）與速度大小

8、成反比；（D）與速度大小平方成反比。 答：B 1-3．如圖所示為A，B兩個質(zhì)點在同一直線上運動的圖像，由圖可知 （A）兩個質(zhì)點一定從同一位置出發(fā) （B）兩個質(zhì)點都始終作勻加速運動 （C）在末兩個質(zhì)點相遇 （D）在時間內(nèi)質(zhì)點B可能領(lǐng)先質(zhì)點A 答：D 1-4．質(zhì)點的關(guān)系如圖，圖中，，三條線表示三個速度不同的運動．問它們屬于什么類型的運動?哪一個速度大？哪一個速度??？ 答：勻速直線運動；。 1-5．如圖所示，兩船和相距，分別以速度和勻速直線行駛，它們會不會相碰?若不相碰，求兩船相靠最近的距離．圖中和為已知。 答：方法一：如圖，以A船為參考系，在

9、該參考系中船A是靜止的，而船B的速度。 是船B相對于船A的速度,從船B作一條平行于方向的直線BC,它不與船A相交,這表明兩船不會相碰. 由A作BC垂線AC,其長度就是兩船相靠最近的距離 作FD//AB,構(gòu)成直角三角形DEF，故有：， 在三角形BEF中,由余弦定理可得： 。 方法二： 兩船在任一時刻的位置矢量分別為： 任一時刻兩船的距離為： 令： 。 1-6．若質(zhì)點限于在平面上運動，試指出符合下列條件的各應(yīng)是什么樣的運動？ （A），；（B），；（C）， 答：(1) 質(zhì)點作圓周運動； (2) 質(zhì)點作勻速率曲線運動； (3) 質(zhì)點作拋體運

10、動。 1-7．如圖所示，質(zhì)點在t=0時刻由原點出發(fā)作斜拋運動，其速度，回到x軸的時刻為t，則 （A） （B） （C） （D） 答：A （注意：題目中各處的v 應(yīng)為矢量！須加上箭頭。） 1-8．一質(zhì)點作斜拋運動，用代表落地時， （1）說明下面三個積分的意義：； （2）用和代表拋出點和落地點位置，說明下面三個積分的意義： 。 答： 表示物體落地時x方向的距離， 表示物體落地時y方向的距離， 表示物體在時間內(nèi)走過的幾何路程， 拋出點到落地點的位移， 拋出點到落地點位移的大小， 拋出點到落地點位移的大小。 習(xí)題2 2-1 質(zhì)量為16kg的質(zhì)

11、點在平面內(nèi)運動，受一恒力作用，力的分量為，，當(dāng)時，，，。當(dāng)時，求： (1) 質(zhì)點的位矢； (2) 質(zhì)點的速度。 解：由 ，有：， （1）， 。 于是質(zhì)點在時的速度： （2） 2-2 質(zhì)量為2kg的質(zhì)點在xy平面上運動，受到外力的作用，t=0時，它的初速度為，求t=1s時質(zhì)點的速度及受到的法向力。 解：解：由于是在平面運動，所以考慮矢量。 由：，有：，兩邊積分有： ，∴， 考慮到，，有 由于在自然坐標(biāo)系中，，而（時），表明在時，切向速度方向就是方向，所以，此時法向的力是方向的，則利用，將代入有，∴。 2-3．如圖，物體A、B質(zhì)量相同，B在光滑水平桌面上．

12、滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力均不計，滑輪與其軸之間的摩擦也不計．系統(tǒng)無初速地釋放，則物體A下落的加速度是多少？ 解：分別對A，B進(jìn)行受力分析，可知： 則可計算得到： 。 2-4．如圖，用質(zhì)量為的板車運載一質(zhì)量為的木箱，車板與箱底間的摩擦系數(shù)為，車與路面間的滾動摩擦可不計，計算拉車的力為多少才能保證木箱不致滑動？ 解法一：根據(jù)題意，要使木箱不致于滑動，必須使板車與木箱具有相同的加速度，且上限車板與箱底間為最大摩擦。 即： 可得： 解法二：設(shè)木箱不致于滑動的最大拉力為，列式有： 聯(lián)立得：， 有：。 2-5．如圖所示一傾角為的斜面放在水平面上，斜面上放一

13、木塊，兩者間摩擦系數(shù)為。為使木塊相對斜面靜止，求斜面加速度的范圍。 解法一：在斜面具有不同的加速度的時候， 木塊將分別具有向上和向下滑動的趨勢，這就是加速度的兩個范圍，由題意，可得： （1）當(dāng)木塊具有向下滑動的趨勢時（見圖a），列式為： 可計算得到：此時的 （2）當(dāng)木快具有向上滑動的趨勢時（見圖b），列式為： 可計算得到：此時的，所以：。 解法二：考慮物體m放在與斜面固連的非慣性系中， 將物體m受力沿和方向分解，如圖示，同時 考慮非慣性力，隔離物塊和斜面體，列出木塊平衡式： 方向： 方向

14、： 考慮到，有：， 解得：。 ∴的取值范圍：。 2-6．質(zhì)量為的子彈以速度水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為，忽略子彈的重力，求：(1) 子彈射入沙土后，速度隨時間變化的函數(shù)式；(2) 子彈進(jìn)入沙土的最大深度。 解：（1）由題意，子彈射入沙土中的阻力表達(dá)式為： 又由牛頓第二定律可得：，則 分離變量，可得：，兩邊同時積分，有：， 所以： （2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是的時候子彈的位移，則： 考慮到，，可推出：，而這個式子兩邊積分就可以得到位移： 。 2-7．質(zhì)量為的物體可以在劈形物體的斜面上無摩擦滑動， 劈形物質(zhì)量為，放置在

15、光滑的水平面上，斜面傾角為， 求釋放后兩物體的加速度及它們的相互作用力。 解：利用隔離體方法，設(shè)方形物相對于劈形物 沿斜面下滑的加速度為，劈形物水平向左的加 速度為，分析受力有： 方形物受力：，，（慣性力）； 劈形物受力：，，，如圖； 對于，有沿斜面平行和垂直的方程為： ① ② 對于，有： ③ 將③代入有②：， ∴，代入①，有： 再將在水平和豎直兩方向上分解，有： ∴ 而相互作用力： 2-8．在光滑的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒，半徑為，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運動，摩擦系數(shù)為，在時，球的速率為，求任一時

16、刻球的速率和運動路程。 解：利用自然坐標(biāo)系，法向：，而： 切向：，則： ，得： 2-9．如圖，一質(zhì)點在幾個力作用下沿半徑為的圓周運動，其中有一恒力N，求質(zhì)點從A開始沿逆時針方向經(jīng)3/4圓周到達(dá)B的過程中，力所做的功。 解：本題為恒力做功，考慮到B的坐標(biāo)為（，）， ∴，再利用：， 有：（焦耳） 2-10．質(zhì)量為m=0.5kg的質(zhì)點，在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)運動，其運動方程為x=5t2,y=0.5(SI),從t=2s到t=4s這段時間內(nèi)，外力對質(zhì)點的功為多少？ 解：由功的定義：，題意： ， ∴。 2-11．一質(zhì)量為的物體，在力的作用下

17、，由靜止開始運動，求在任一時刻此力所做功的功率為多少。 解：由，要求功率就必須知道力和速度的情況，由題意： 所以功率為： 。 2-12．一彈簧并不遵守胡克定律，其彈力與形變的關(guān)系為，其中和單位分別為和。 （1）計算當(dāng)將彈簧由拉伸至過程中，外力所做之功； （2）此彈力是否為保守力? 解：（1）由做功的定義可知： （2）∵，按保守力的定義： ∴該彈力為保守力。 2-13．如圖，一質(zhì)量為m的質(zhì)點，在半徑為R的半球形容器中，由靜止開始自邊緣上的A點滑下，到達(dá)最低點B時，它對容器的正壓力數(shù)值為N，求質(zhì)點自A滑到B的過程中，摩擦力對其做的功。 分析：直接求

18、解顯然有困難，所以使用動能定理，那就要知道它的末速度的情況。 解：求在B點的速度：， 可得： 由動能定理： ∴ 2-14．在密度為的液面上方，懸掛一根長為，密度為的均勻棒，棒的端剛和液面接觸如圖所示，今剪斷細(xì)繩，設(shè)細(xì)棒只在浮力和重力作用下運動，在的條件下，求細(xì)棒下落過程中的最大速度，以及細(xì)棒能進(jìn)入液體的最大深度。 解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力為零的時候， 所以：，即 ，則：。 利用功能原理：，有： 可解得： （2）當(dāng)均勻棒完全進(jìn)入液體中時，浮力不變，到最大深度時，速度為零，設(shè)： ，由能量守恒有：， 即： ∴。 2-15．一鏈條放

19、置在光滑桌面上，用手撳住一端，另一端有四分之一長度由桌邊下垂，設(shè)鏈條長為，質(zhì)量為，試問將鏈條全部拉上桌面要做多少功？ 解：直接考慮垂下的鏈條的質(zhì)心位置變化，來求做功，則： 2-16．在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連一物體、邊上再放一物體，它們質(zhì)量分別為和，彈簧勁度系數(shù)為，原長為．用力推，使彈簧壓縮，然后釋放。求： （1）當(dāng)與開始分離時，它們的位置和速度； （2）分離之后，還能往前移動多遠(yuǎn)? 解：（1）當(dāng)與開始分離時，兩者具有相同的速度，但的加速度為零，此時彈簧和都不對產(chǎn)生作用力，即為彈簧原長位置時刻，根據(jù)能量守恒，可得到：，有：，； （2）分離之后

20、，的動能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢能，所以： ，則： 。 2-17．已知地球?qū)σ粋€質(zhì)量為的質(zhì)點的引力為（為地球的質(zhì)量和半徑)。（1）若選取無窮遠(yuǎn)處勢能為零，計算地面處的勢能；（2）若選取地面處勢能為零，計算無窮遠(yuǎn)處的勢能．比較兩種情況下的勢能差． 解：（1）取無窮遠(yuǎn)處勢能為零，地面處的勢能為： ； （2）若選取地面處勢能為零，計算無窮遠(yuǎn)處的勢能為： ∴兩種情況下勢能差是完全一樣的。 2-18．如圖所示的圓錐擺，繩長為l，繩子一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的質(zhì)點，以勻角速ω繞鉛直線作圓周運動，繩子與鉛直線的夾角為θ。在質(zhì)點旋轉(zhuǎn)一周的過程中，試求： （1）質(zhì)點所受

21、合外力的沖量； （2）質(zhì)點所受張力T的沖量。 解：（1）設(shè)周期為，因質(zhì)點轉(zhuǎn)動一周的過程中， 速度沒有變化，，由， ∴旋轉(zhuǎn)一周的沖量； （2）如圖該質(zhì)點受的外力有重力和拉力， 且，∴張力T旋轉(zhuǎn)一周的沖量： 所以拉力產(chǎn)生的沖量為，方向豎直向上。 2-19．質(zhì)量為的質(zhì)點在平面內(nèi)運動，運動學(xué)方程為 ，求： （1）質(zhì)點在任一時刻的動量； （2）從到的時間內(nèi)質(zhì)點受到的沖量。 解：（1）根據(jù)動量的定義：，而， ∴ ； （2）由 ， 所以沖量為零。 2-20．質(zhì)量為M=2.0kg的物體（不考慮體積），用一根長為l=1.0m的細(xì)繩懸掛在天花板上。今有一質(zhì)量為m=20g

22、的子彈以=600m/s的水平速度射穿物體。剛射出物體時子彈的速度大小=30m/s，設(shè)穿透時間極短。求： （1）子彈剛穿出時繩中張力的大小； （2）子彈在穿透過程中所受的沖量。 解：（1）解：由碰撞過程動量守恒可得： ∴ 根據(jù)圓周運動的規(guī)律：，有：； （2）根據(jù)沖量定理可得：。 2-21．一靜止的原子核經(jīng)放射性衰變產(chǎn)生出一個電子和一個中微子，巳知電子的動量為，中微子的動量為，兩動量方向彼此垂直。（1）求核反沖動量的大小和方向；（2）已知衰變后原子核的質(zhì)量為，求其反沖動能。 解：由碰撞時，動量守恒，分析示意圖，有： （1） 又∵

23、，∴ ， 所以 ， ； （2）反沖的動能為：。 2-22．有質(zhì)量為的彈丸，從地面斜拋出去，它的落地點為。如果它在飛行到最高點處爆炸成質(zhì)量相等的兩碎片。其中一碎片鉛直自由下落，另一碎片水平拋出，它們同時落地。問第二塊碎片落在何處。 解：利用質(zhì)心運動定理，在爆炸的前后，質(zhì)心始終只受重力的作用，因此，質(zhì)心的軌跡為一拋物線，它的落地點為。 ，而， ， ∴ 。 2-23．如圖，光滑斜面與水平面的夾角為，輕質(zhì)彈簧上端固定．今在彈簧的另一端輕輕地掛上質(zhì)量為的木塊，木塊沿斜面從靜止開始向下滑動．當(dāng)木塊向下滑時，恰好有一質(zhì)量的子彈，沿水平方向以速度射中木塊并陷在其中。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為。求

24、子彈打入木塊后它們的共同速度。 解：由機械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過程中子彈和木快沿斜面方向動量守恒，可得： (碰撞前木快的速度) 再由沿斜面方向動量守恒定律，可得： 。 2-24．以初速度0將質(zhì)量為m的質(zhì)點以傾角從坐標(biāo)原點處拋出。設(shè)質(zhì)點在Oxy平面內(nèi)運動，不計空氣阻力，以坐標(biāo)原點為參考點，計算任一時刻： （1）作用在質(zhì)點上的力矩； （2）質(zhì)點的角動量。 解：（1） （2） 2-25．人造地球衛(wèi)星近地點離地心r1=2R，（R為地球半徑），遠(yuǎn)地點離地心r2=4R。求： （1）衛(wèi)星在近地點及遠(yuǎn)地點處的速率和（用地球半徑R以及地球表面附近的重力加速度

25、g來表示）； （2）衛(wèi)星運行軌道在近地點處的軌跡的曲率半徑ρ。 解：（1）利用角動量守恒：，得 ， 同時利用衛(wèi)星的機械能守恒，這里，萬有引力勢能表達(dá)式為：， 所以：， 考慮到：，有： ，； （2）利用萬有引力提供向心力，有： ， 可得到：。 2-26．火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飛出，如圖所示。在飛離地球過程中，火箭發(fā)動機停止工作，不計空氣阻力，求火箭在距地心4R的A處的速度。 解：第二宇宙速度時，由機械能守恒： 再由動量守恒：， 代入：。 2-27．如圖，一輕繩跨過兩個質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為和的重物，繩與滑輪間無

26、相對滑動，滑輪軸光滑，兩個定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量均為，將由兩個定滑輪以及質(zhì)量為和的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。 解：受力分析如圖，可建立方程： ┄① ┄② ┄③ ┄④ ，┄⑤ 聯(lián)立，解得：， 。 2-28．如圖所示，一均勻細(xì)桿長為，質(zhì)量為，平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，設(shè)開始時桿以角速度繞過中心且垂直與桌面的軸轉(zhuǎn)動，試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多長時間桿才會停止轉(zhuǎn)動。 解：（1）設(shè)桿的線密度為：，在桿上取一小質(zhì)元，有微元摩擦力： ， 微元摩擦力矩：， 考慮對稱性，有摩擦力矩： ； （2）根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，有：， ，∴。

27、 或利用：，考慮到，， 有：。 2-29．如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為，半徑為；物體的質(zhì)量為，用一細(xì)繩與勁度系數(shù)的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計。求：（1）當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長時使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體的速度達(dá)最大值時的位置及最大速率。 解：（1）設(shè)彈簧的形變量為，下落最大距離為。 由機械能守恒：，有： ； （2）當(dāng)物體下落時，由機械能守恒：， 考慮到，有：， 欲求速度最大值，將上式兩邊對求導(dǎo)，且令，有： ，將代入，有：， ∴當(dāng)m時物體速度達(dá)最大值，有： ，代入數(shù)值可算出： 。 2-30．如圖所示，長為l的輕桿，兩端各固

28、定質(zhì)量分別為和的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為和．輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為的小球，以水平速度與桿下端小球作對心碰撞，碰后以的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。 解：根據(jù)角動量守恒，有： 有： ∴ 思考題 2-1．質(zhì)量為m的小球，放在光滑的木板和光滑的墻壁之間，并保持平衡，如圖所示．設(shè)木板和墻壁之間的夾角為a，當(dāng)a逐漸增大時，小球?qū)δ景宓膲毫⒃鯓幼兓? 解：以小球為研究對象，設(shè)墻壁對小球的壓力為N1， 方向水平向右，木板對小球的壓力為N2，方向垂直于 木板，小球受重力為mg，建立平衡方程： ， 所以當(dāng)增大，

29、小球?qū)δ景宓膲毫2將減??； 小球?qū)Ρ诘膲毫σ矞p小。 2-2．質(zhì)量分別為m1和m2的兩滑塊A和B通過一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為μ，系統(tǒng)在水平拉力F作用下勻速運動，如圖所示．如突然撤消拉力，則剛撤消后瞬間，二者的加速度aA和aB分別為多少 ？ 解：由于系統(tǒng)在拉力F作用下做勻速運動， 對A進(jìn)行受力分析，知：， 對B進(jìn)行受力分析，知： 突然撤消拉力時，對A有：，所以， 對B有：，所以。 2-3．如圖所示，用一斜向上的力 (與水平成30角)，將一重為的木塊壓靠在豎直壁面上，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動，則說明木塊與壁面間的靜摩

30、擦系數(shù)m的大小為多少？ 解：假設(shè)墻壁對木塊的壓力為N，由受力分析圖可知： 整理上式，并且根據(jù)題意，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動，則說明： 即：（此式中F無論為多大，總成立），則可得：。 2-4．如圖所示，假設(shè)物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑，軌道是光滑的，在從A至C的下滑過程中，下面哪個說法是正確的？ (A) 它的加速度大小不變，方向永遠(yuǎn)指向圓心。 (B) 它的速率均勻增加。 (C) 它的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心。 (D) 它的合外力大小不變。 (E) 軌道支持力的大小不斷增加。 解：在下滑過程中，物體做圓周運動。并且v在增大，所以

31、它既有法向加速度，又有切向加速度，A的說法不對； 速率的增加由重力沿切線方向的分力提供，由于切線方向始終在改變，所以速率增加不均勻，B的說法不對； 外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在變化，所以合力的大小方向也在變化。C，D的說法都不對。 下滑過程中的θ和v都在增大，所以N也在增大， 則E的說法正確。 2-5．和兩物體放在水平面上，它們受到的水平恒力一樣，位移也一樣，但一個接觸面光滑，另一個粗糙．力做的功是否一樣?兩物體動能增量是否一樣? 答：根據(jù)功的定義： 所以當(dāng)它們受到的水平恒力一樣，位移也一樣時，兩個功是相等的； 但由于光滑的接觸面摩擦力不做功，粗糙的接觸面摩擦力

32、做功，所以兩個物體的總功不同，動能的增量就不相同。 2-6．按質(zhì)點動能定理，下列式子： 是否成立?這三式是否是質(zhì)點動能定理的三個分量式?試作分析。 答：不成立，因為功是標(biāo)量，不分方向，沒有必要這么寫。 2-7．在勁度系數(shù)為的彈簧下，如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長多少?如瞬間掛上讓其自由下落彈簧又伸長多少? 答：如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長為，所以； 如瞬間掛上讓其自由下落，彈簧伸長應(yīng)滿足能量守恒：，所以 。 2-8．一粒子初時沿軸負(fù)向以速度運動，后被位于坐標(biāo)原點的金核所散射，使其沿與軸成的方向運動(速度大小不變)．試用矢量在圖上表出粒子

33、所受到的沖量的大小和方向。 解：由： ， 考慮到， 見右圖示。 2-9．試用所學(xué)的力學(xué)原理解釋逆風(fēng)行舟的現(xiàn)象。 解：可用動量定理來解釋。設(shè)風(fēng)沿與航向成角的方向 從右前方吹來，以風(fēng)中一小塊沿帆面吹過來的空氣為研 究對象，表示這塊空氣的質(zhì)量，和分別表示它 吹向帆面和離開帆面時的速度，由于帆面比較光滑，風(fēng) 速大小基本不變，但是由于的速度方向改變了，所 以一定是受到帆的作用力，根據(jù)牛頓第三定律，必然 對帆有一個反作用力，此力的方向偏向船前進(jìn)的方向，將分解為兩個分量，垂直船體的分量與水對船的阻力相平衡，與船的航向平行的分量就是推動帆及整個船體前進(jìn)的作用力。 2-10．當(dāng)

34、質(zhì)量為的人造衛(wèi)星在軌道上運動時，常常列出下列三個方程： ， ， ， 試分析上述三個方程各在什么條件下成立。 解：（1）機械能守恒； （2）角動量守恒； （3）萬有引力提供向心力。 2-11．在水平冰面上以一定速度向東行駛的炮車，向東南（斜向上）方向發(fā)射一炮彈，對于炮車和炮彈這一系統(tǒng)，在此過程中（忽略冰面摩擦力及空氣阻力）哪些量守恒？ 答：對于這個系統(tǒng)，（1）動量守恒；（2）能量守恒，因為沒有外力做功。 2-12．體重相同的甲乙兩人，分別用雙手握住跨過無摩擦滑輪的繩子兩端，當(dāng)他們由同一高度向上爬時，相對于繩子，甲的速度是乙的兩倍，則到達(dá)頂點情況是： （A

35、）甲先到達(dá)；（B）乙先到達(dá)；（C）同時到達(dá)；（D）誰先到達(dá)不能確定。 答：本題測試的是剛體系統(tǒng)的角動量定理和角動量守恒的概念. 當(dāng)兩小孩質(zhì)量相等時，M=0。則系統(tǒng)角動量守恒，兩人的實際的速度相同，將同時到達(dá)滑輪處，與誰在用力，誰不在用力無關(guān)。 選擇C。 2-13．一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的軸以角速度按圖示方向轉(zhuǎn)動，若如圖所示的情況那樣，將兩個大小相等方向相反但不在同一條直線的力沿盤面方向同時作用到盤上，則盤的角速度怎樣變化？ 答：增大 2-14．一個人站在有光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動平臺上,雙臂伸直水平地舉起二啞鈴,在該人把此二啞鈴水平收縮到胸前的過程中，人、啞鈴與轉(zhuǎn)動平臺

36、組成的系統(tǒng)的： （A）機械能守恒，角動量守恒；（B）機械能守恒，角動量不守恒； （C）機械能不守恒，角動量守恒；（D）機械能不守恒，角動量不守恒。 答：（C） 習(xí)題3 3-1．原長為的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為的物體，當(dāng)物體靜止時，彈簧長為．現(xiàn)將物體上推，使彈簧縮回到原長，然后放手，以放手時開始計時，取豎直向下為正向，寫出振動式。（g取9.8） 解：振動方程：，在本題中，，所以； ∴ 。 取豎直向下為x正向，彈簧伸長為0.1m時為物體的平衡位置，所以如果使彈簧的初狀態(tài)為原長，那么：A=0.1m， 當(dāng)t=0時，x=-A，那么就可以知道物體的初相位為π。 所以：

37、 即：。 3-2．有一單擺，擺長，小球質(zhì)量，時，小球正好經(jīng)過處，并以角速度向平衡位置運動。設(shè)小球的運動可看作簡諧振動，試求：（1）角頻率、頻率、周期；（2）用余弦函數(shù)形式寫出小球的振動式。（g取9.8） 解：振動方程： 我們只要按照題意找到對應(yīng)的各項就行了。 （1）角頻率：， 頻率： ， 周期：； （2）振動方程可表示為：，∴ 根據(jù)初始條件，時：， 可解得：， 所以得到振動方程： 。 3-3．一質(zhì)點沿軸作簡諧振動，振幅為，周期為。當(dāng)時，位移為，且向軸正方向運動。求：（1）振動表達(dá)式；（2）時，質(zhì)點的位置、速度和加速度；（3）如果在某時刻質(zhì)點位于，且向軸負(fù)方向運動

38、，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。 解：（1）由題已知 A=0.12m，T=2 s ，∴ 又∵t=0時，，，由旋轉(zhuǎn)矢量圖，可知： 故振動方程為：； （2）將t=0.5 s代入得： ， ， ， 方向指向坐標(biāo)原點，即沿x軸負(fù)向； （3）由題知，某時刻質(zhì)點位于， 且向軸負(fù)方向運動，如圖示，質(zhì)點從位置回到 平衡位置處需要走，建立比例式：， 有： 。 3-4．兩質(zhì)點作同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點1在 處，且向左運動時，另一個質(zhì)點2在 處，且向右運動。求這兩個質(zhì)點的位相差。 解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知： 當(dāng)質(zhì)點1在 處，且向左運動時， 相位為， 而質(zhì)

39、點2在 處，且向右運動， 相位為。 所以它們的相位差為。 3-5．當(dāng)簡諧振動的位移為振幅的一半時，其動能和勢能各占總能量的多少？物體在什么位置時其動能和勢能各占總能量的一半？ 解：由，，有：， ， （1）當(dāng)時，由， 有：，， ∴，； （2）當(dāng)時，有： ∴，。 3-6．兩個同方向的簡諧振動曲線(如圖所示) （1）求合振動的振幅。 （2）求合振動的振動表達(dá)式。 解：通過旋轉(zhuǎn)矢量圖做最為簡單。 由圖可知，兩個振動同頻率，且 初相：，初相：， 表明兩者處于反相狀態(tài)， （反相，） ∵，∴合成振動的振幅： ； 合成振動的相位： ； 合成振動的方程

40、： 。 3-7．兩個同方向，同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為，與第一個振動的位相差為。若第一個振動的振幅為。則（1）第二個振動的振幅為多少？（2）兩簡諧振動的位相差為多少？ 解：如圖，可利用余弦定理： 由圖知 =0.01 m ∴A２=0.1 m ， 再利用正弦定理：，有： ，∴。 說明A１與A２間夾角為π/2，即兩振動的位相差為π/2 。 3-8. 質(zhì)點分別參與下列三組互相垂直的諧振動： （1） ；（2） ； （3） 。試判別質(zhì)點運動的軌跡。 解：質(zhì)點參與的運動是頻率相同，振幅相同的垂直運動的疊加。 對于，的疊加，可推得： （1）

41、將，代入有：， 則方程化為：，軌跡為一般的橢圓； （2）將，代入有： 則方程化為：，即，軌跡為一直線； （3）將，代入有： 則方程化為：，軌跡為圓心在原點，半徑為4m的圓。 3-9．沿一平面簡諧波的波線上，有相距的兩質(zhì)點與，點振動相位比點落后，已知振動周期為，求波長和波速。 解：根據(jù)題意，對于A、B兩點，， 而相位和波長之間滿足關(guān)系：， 代入數(shù)據(jù)，可得：波長=24m。又∵T=2s，所以波速。 3-10．已知一平面波沿軸正向傳播，距坐標(biāo)原點為處點的振動式為，波速為，求： （1）平面波的波動式； （2）若波沿軸負(fù)向傳播，波動式又如何? 解：（1）設(shè)平面波的波動式為

42、，則點的振動式為： ，與題設(shè)點的振動式比較， 有：，∴平面波的波動式為：； （2）若波沿軸負(fù)向傳播，同理，設(shè)平面波的波動式為：，則點的振動式為： ，與題設(shè)點的振動式比較， 有：，∴平面波的波動式為：。 3-11．一平面簡諧波在空間傳播，如圖所示，已知點的振動規(guī)律為，試寫出： （1）該平面簡諧波的表達(dá)式； （2）點的振動表達(dá)式（點位于點右方處）。 解：（1）仿照上題的思路，根據(jù)題意，設(shè)以點為原點平面簡諧波的表達(dá)式為： ，則點的振動式： 題設(shè)點的振動式比較，有：， ∴該平面簡諧波的表達(dá)式為： （2）B點的振動表達(dá)式可直接將坐標(biāo)，代入波動方程： 3-12．已知

43、一沿正方向傳播的平面余弦波，時的波形如圖所示，且周期為。 （1）寫出點的振動表達(dá)式； （2）寫出該波的波動表達(dá)式； （3）寫出點的振動表達(dá)式； （4）寫出點離點的距離。 解：由圖可知：，，而，則：， ，，∴波動方程為： 點的振動方程可寫成： 由圖形可知：時：，有： 考慮到此時，∴，（舍去） 那么：（1）點的振動表達(dá)式：； （2）波動方程為：； （3）設(shè)點的振動表達(dá)式為： 由圖形可知：時：，有： 考慮到此時，∴（或） ∴A點的振動表達(dá)式：，或； （4）將A點的坐標(biāo)代入波動方程，可得到A的振動方程為： ，與（3）求得的A點的振動表達(dá)式比較，有： ，所以： 。

44、 3-13．一平面簡諧波以速度沿軸負(fù)方向傳播。已知原點的振動曲線如圖所示。試寫出： （1）原點的振動表達(dá)式； （2）波動表達(dá)式； （3）同一時刻相距的兩點之間的位相差。 解：這是一個振動 圖像！ 由圖可知A=0.5cm，設(shè)原點處的振動方程為：。 （1）當(dāng)時，，考慮到：，有：， 當(dāng)時，，考慮到：，有：，， ∴原點的振動表達(dá)式：； （2）沿軸負(fù)方向傳播，設(shè)波動表達(dá)式： 而，∴； （3）位相差： 。 3-14．一正弦形式空氣波沿直徑為的圓柱形管行進(jìn)，波的平均強度為，頻率為，波速為。問波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每兩個相鄰?fù)嗝骈g的波段中含有多少能量？ 解

45、：（1）已知波的平均強度為：，由 有： ； （2）由，∴ 。 3-15．一彈性波在媒質(zhì)中傳播的速度，振幅，頻率。若該媒質(zhì)的密度為，求：（1）該波的平均能流密度；（2）1分鐘內(nèi)垂直通過面積的總能量。 解：（1）由：，有： ； （2）1分鐘為60秒，通過面積的總能量為： 。 3-16．設(shè)與為兩個相干波源，相距波長，比的位相超前。若兩波在在、連線方向上的強度相同且不隨距離變化，問、連線上在外側(cè)各點的合成波的強度如何？又在外側(cè)各點的強度如何？ 解：（1）如圖，、連線上在外側(cè)， ∵， ∴兩波反相，合成波強度為0； （2）如圖，、連線上在外側(cè)， ∵， ∴兩

46、波同相，合成波的振幅為， 合成波的強度為： 。 3-17．圖中所示為聲音干涉儀，用以演示聲波的干涉。為聲源，為聲音探測器，如耳或話筒。路徑的長度可以變化，但路徑是固定的。干涉儀內(nèi)有空氣，且知聲音強度在的第一位置時為極小值100單位，而漸增至距第一位置為的第二位置時，有極大值單位。求： （1）聲源發(fā)出的聲波頻率； （2）抵達(dá)探測器的兩波的振幅之比。 解：根據(jù)駐波的定義，相鄰兩波節(jié)(腹)間距：， 相鄰波節(jié)與波腹的間距：，可得：。 （1）聲音的速度在空氣中約為340m/s，所以： （2）∵，，，依題意有： ，那么 。 3-18．蝙蝠在洞穴中飛來飛去，是利用超聲脈

47、沖來導(dǎo)航的。假定蝙蝠發(fā)出的超聲頻率為39000Hz。當(dāng)它以空氣中聲速的的運動速率朝著墻壁飛撲過程中，試問它自己聽到的從墻壁反射回來的脈沖頻率是多少？ 解：根據(jù)多普勒效應(yīng)， 3-19．一聲源的頻率為1080Hz，相對于地以30m/s的速度向右運動，在其右方有一反射面相對于地以65m/s的速率向左運動，設(shè)空氣中的聲速為331m/s，求： （1）聲源在空氣中發(fā)出聲音的波長； （2）每秒鐘到達(dá)反射面的波數(shù)； （3）反射波的波速； （4）反射波的波長。 解：（1）在聲源前方靜止接收器接收到的頻率 聲音的波長 （2）每秒鐘到達(dá)反射面的波數(shù)（等于反射波的頻率）為

48、 （3）波速只取決于媒質(zhì)的性質(zhì)，因此反射波的波速仍為 （4）反射波的波長為 3-20．試計算：一波源振動的頻率為，以速度向墻壁接近（如圖所示），觀察者在點聽得拍音的頻率為，求波源移動的速度，設(shè)聲速為。 解：根據(jù)觀察者不動，波源運動，即：，， 觀察者認(rèn)為接受到的波數(shù)變了：， 其中，，，分別代入，可得： 。 思考題 3-1．試說明下列運動是不是簡諧振動： （1）小球在地面上作完全彈性的上下跳動； （2）小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅度的擺動。 答：要使一個系統(tǒng)作諧振動，必須同時滿足以下三個條件： ① 描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、擺長……等等

49、在運動中保持為常量； ② 系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運動； ③ 在運動中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用。 或者說，若一個系統(tǒng)的運動微分方程能用描述時，其所作的運動就是諧振動。 那么，（1）拍皮球時球的運動不是諧振動。第一、球的運動軌道中并不存在一個穩(wěn)定的平衡位置；第二、球在運動中所受的三個力：重力，地面給予的彈力，擊球者給予的拍擊力，都不是線性回復(fù)力。要使一個系統(tǒng)作諧振動，必須同時滿足以下三個條件：一、描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、擺長……等等在運動中保持為常量；二、系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運動；三、在運動中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用?；蛘哒f，若一

50、個系統(tǒng)的運動微分方程能用描述時，其所作的運動就是諧振動。 （2）小球在圖所示的情況中所作的小弧度的運動，是諧振動。顯然，小球在運動過程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點，即系統(tǒng)勢能最小值位置點O；而小球在運動中的回復(fù)力為。題中所述，，故，所以回復(fù)力為。（式中負(fù)號表示回復(fù)力的方向始終與角位移的方向相反）即小球在O點附近的往復(fù)運動中所受回復(fù)力為線性的。若以小球為對象，則小球在以O(shè)′為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運動，由牛頓第二定律，在凹槽切線方向上有 mR，令，則有：。 3-2．簡諧振動的速度和加速度在什么情況下是同號的?在什么

51、情況下是異號的?加速度為正值時，振動質(zhì)點的速率是否一定在增加？反之，加速度為負(fù)值時，速率是否一定在減小? 答： 簡諧振動的速度： ； 加速度：； 要使它們同號，必須使質(zhì)點的振動相位在第一象限。其他象限的相位兩者就是異號的。 加速度為正值時，振動質(zhì)點的速率不一定在增加，反之，加速度為負(fù)值時，速率也不一定在減小。 只有當(dāng)速度和加速度是同號時，加速度才能使速率增加；反之，兩者異號時，加速度使速率減小。 3-3．分析下列表述是否正確，為什么? （1）若物體受到一個總是指向平衡位置的合力，則物體必然作振動，但不一定是簡諧振動； （2）簡諧振動過程是能量守恒的過程，凡是能量守恒的過程就

52、是簡諧振動。 答：（1）的表述是正確的，原因參考7-1； （2）的表述不正確，比如自由落體運動中能量守恒，但不是簡諧振動。 3-4．用兩種方法使某一彈簧振子作簡諧振動。 方法1：使其從平衡位置壓縮，由靜止開始釋放。 方法2：使其從平衡位置壓縮2，由靜止開始釋放。 若兩次振動的周期和總能量分別用和表示，則它們滿足下面那個關(guān)系？ （A） （B） （C） （D） 答：根據(jù)題意，這兩次彈簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。選擇（B）。 3-5．一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，周期為T，振幅為A，質(zhì)點從運動到處所需要的最短時間為多少？ 答：質(zhì)點從運

53、動到處所需要的最短相位變化為，所以運動的時間為：。 3-6．一彈簧振子，沿軸作振幅為的簡諧振動，在平衡位置處，彈簧振子的勢能為零，系統(tǒng)的機械能為，問振子處于處時；其勢能的瞬時值為多少？ 答：由題意，在平衡位置處，彈簧振子的勢能為零，系統(tǒng)的機械能為，所以該振子的總能量為，當(dāng)振子處于處時；其勢能的瞬時值為： 。 3-7.圖（a）表示沿軸正向傳播的平面簡諧波在時刻的波形圖，則圖（b）表示的是： （A）質(zhì)點的振動曲線； （B）質(zhì)點的振動曲線； （C）質(zhì)點的振動曲線； （D）質(zhì)點的振動曲線。 答：圖（b）在t=0時刻的相位為，所以對應(yīng)的是質(zhì)點n的振動曲線，選擇B。

54、 3-8．從能量的角度討論振動和波動的聯(lián)系和區(qū)別。. 答：（1）在波動的傳播過程中，任意時刻的動能和勢能不僅大小相等而且相位相同，同時達(dá)到最大，同時等于零。而振動中動能的增加必然以勢能的減小為代價，兩者之和為恒量。 （2）在波傳動過程中，任意體積元的能量不守恒。質(zhì)元處在媒質(zhì)整體之中，沿波的前進(jìn)方向，每個質(zhì)元從后面吸收能量，又不停的向前面的質(zhì)元釋放能量，能量得以不斷地向前傳播。而一個孤立振動系統(tǒng)總能量是守恒的。 3-9. 當(dāng)兩列波干涉時，是否會有能量損失？ 答：否。當(dāng)兩列波干涉時，波的能量只是進(jìn)行了重新分布，并不會有損失。 3-10. 一衛(wèi)星發(fā)射恒定頻率的無線電波

55、。地面上的探測器測到了這些無線電波，并使它們與某一標(biāo)準(zhǔn)頻率形成拍，然后將拍頻輸入揚聲器，人們就“聽”到了衛(wèi)星的信號。試描述當(dāng)衛(wèi)星趨近地面探測器、通過探測器上空以及離開探測器時聲音的變化情況。 答：由于多普勒效應(yīng)，當(dāng)衛(wèi)星趨近地面探測器、通過探測器上空以及離開探測器時，地面上探測器測到的來自衛(wèi)星的無線電波頻率將大于、等于和小于其發(fā)射頻率（n1），它們與標(biāo)準(zhǔn)頻率(n2)形成拍的拍頻將隨著增大（若n2>n1）或減?。ㄈ鬾1>n2），揚聲器發(fā)出的拍音也隨之變短或變長。 習(xí)題4 4-1．在容積的容器中盛有理想氣體，氣體密度為=1.3g/L。容器與大氣相通排出一部分氣體后，氣壓下降了0.78atm

56、。若溫度不變，求排出氣體的質(zhì)量。 解：根據(jù)題意，可知：，，。 由于溫度不變，∴，有：， 那么，逃出的氣體在下體積為：， 這部分氣體在下體積為： 則排除的氣體的質(zhì)量為： 。 根據(jù)題意，可得：， 4-2．有一截面均勻的封閉圓筒，中間被一光滑的活塞分割成兩邊。如果其中的一邊裝有0.1kg某一溫度的氫氣，為了使活塞停留在圓筒的正中央，則另一邊裝入的同一溫度的氧氣質(zhì)量為多少？ 解：平衡時，兩邊氫、氧氣體的壓強、體積、溫度相同，利用，知兩氣體摩爾數(shù)相同，即：，∴，代入數(shù)據(jù)有： 。 4-3．如圖所示，兩容器的體積相同，裝有相同質(zhì)量的氮氣和氧氣。用一內(nèi)壁光滑的水平細(xì)玻璃管相通，管的正

57、中間有一小滴水銀。要保持水銀滴在管的正中間，并維持氧氣溫度比氮氣溫度高30oC，則氮氣的溫度應(yīng)是多少？ 解：已知氮氣和氧氣質(zhì)量相同，水銀滴停留在管的正中央， 則體積和壓強相同，如圖。 由：，有：， 而：，，可得： 。 4-4．高壓氧瓶：，，每天用，，為保證瓶內(nèi)，能用幾天？ 解：由，可得：， ∴； 而：，有：， 那么：能用的天數(shù)為天 。 4-5．氫分子的質(zhì)量為，如果每秒有個氫分子沿著與容器器壁的法線成角的方向以的速率撞擊在面積上(碰撞是完全彈性的)，則器壁所承受的壓強為多少？ 解：由：，再根據(jù)氣體壓強公式：，有： 。 4-6．一容器內(nèi)儲有氧氣，其壓強，溫度

58、，求容器內(nèi)氧氣的 （1）分子數(shù)密度； （2）分子間的平均距離； （3）分子的平均平動動能； （4）分子的方均根速度。 解：（1）由氣體狀態(tài)方程得： ； （2）分子間的平均距離可近似計算：； （3）分子的平均平動動能：； （4）分子的方均根速度： 。 4-7．已知某種理想氣體，其分子方均根率為，當(dāng)其壓強為時，求氣體的密度。 解： ∵，由氣體方程：， 又∵，∴。 4-8．金屬導(dǎo)體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運動（與容器中的氣體分子類似），設(shè)金屬中共有個自由電子，其中電子的最大速率為 ，電子速率在之間的概率為：，式中為常數(shù)．則電子的平均速率為多少？ 解：由平均速率

59、的定義：，考慮到：， 有： 。 4-9．大量粒子（個）的速率分布函數(shù)圖象如圖所示，試求：（1）速率小于的分子數(shù)約為多少？（2）速率處在到之間的分子數(shù)約為多少？（3）所有個粒子的平均速率為多少？（4）速率大于的那些分子的平均速率為多少？ 解：根據(jù)圖像信息，注意到。 圖形所圍的面積為分子的全部數(shù)目，有： ，所以，利用 ，有：，。 （1）速率小于的分子數(shù)：個； （2）速率處在到之間的分子數(shù)： 個； 【或：】 （3）所有個粒子的平均速率：先寫出這個分段函數(shù)的表達(dá)式： 由平均速率定義：，有： ； （4）速率大于的那些分子的平均速率： 。 4-10．在麥

60、克斯韋分布下，（1）計算溫度和時氧氣分子最可幾速率和；（2）計算在這兩溫度下的最可幾速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率；（3）計算時氧分子在處單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子的比率。 解：根據(jù)最可幾速率的定義： （1）溫度：， ： ； （2）在最可幾速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率就是麥克斯韋分布函數(shù)： ，代入： ，代入：； （3）計算時氧分子在處單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子的比率。 將，代入： 得： 。 4-11．在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，若氧氣（視為剛性雙原子分子的理想氣體）和氦氣的體積比，則其內(nèi)能之比為多少？ 解：根據(jù)，有：，因題設(shè)條件為，，可得：

61、，又∵氦氣是單原子分子，知：， 那么內(nèi)能之比為： 。 4-12．水蒸氣分解為同溫度的氫氣和氧氣，即H2O→H2+0.5O2，內(nèi)能增加了多少？ 解：水蒸氣分解后，一份的三原子的內(nèi)能變成了1.5份的雙原子的內(nèi)能，而水分子的自由度為6，氫氣和氧氣作為剛性雙原子分子，其自由度均為5，利用氣體內(nèi)能公式：，所以內(nèi)能的變化為： 。 4-13．體積為的鋼瓶中盛有氧氣（視為剛性雙原子氣體），使用一段時間后，測得瓶中氣體的壓強為，此時氧氣的內(nèi)能為多少？ 解：由理想氣體狀態(tài)方程：，以及雙原子氣體內(nèi)能公式：， 可得到： 。 思考題 4-1．氣體在平衡狀態(tài)時有何特征？平衡態(tài)與穩(wěn)定態(tài)有

62、什么不同？氣體的平衡態(tài)與力學(xué)中所指的平衡有什么不同？ 答：平衡態(tài)的特征： （1）系統(tǒng)與外界在宏觀上無能量和物質(zhì)的交換 （2）系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間改變。 熱平衡態(tài)是指：在無外界的影響下，不論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何，經(jīng)過足夠長的時間后，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間改變的穩(wěn)定狀態(tài)。 它與穩(wěn)定態(tài)或力學(xué)中的平衡不是一個概念。 1．平衡態(tài)是一種熱動平衡狀態(tài)。處在平衡態(tài)的大量分子并不是靜止的，它們?nèi)栽谧鳠徇\動，而且因為碰撞，每個分子的速度經(jīng)常在變，但是系統(tǒng)的宏觀量不隨時間改變。 例如：粒子數(shù)問題： 箱子假想分成兩相同體積的部分，達(dá)到平衡時，兩側(cè)粒子有的穿越界線，但兩側(cè)粒子數(shù)相同。 2．平衡態(tài)是一種理

63、想狀態(tài)。 4-2．對一定量的氣體來說，當(dāng)溫度不變時，氣體的壓強隨體積的減小面增大；當(dāng)體積不變時，壓強隨溫度的升高而增大。從宏觀來看，這兩種變化同樣使壓強增大；從微觀來看，它們是否有區(qū)別? 答：有區(qū)別。從微觀上看： 當(dāng)溫度不變時，氣體的壓強隨體積的減小而增大是因為：當(dāng)一定時，體積減小，n越大，即單位時間內(nèi)碰撞到器壁的分子越多，則P就越大； 當(dāng)體積不變時，壓強隨溫度的升高而增大是因為：當(dāng)n一定時，越大，即單位時間內(nèi)分子對器壁的碰撞越厲害，則P就越大。 4-3．在推導(dǎo)理想氣體壓強公式的過程中，什么地方用到了理想氣體的分子模型?什么地方用到了平衡態(tài)的概念?什么地方用到了統(tǒng)計平均的概念

64、？壓強的微觀統(tǒng)計意義是什么? 答：壓強的求解公式中用到了理想氣體的分子模型，把分子作為質(zhì)點來研究； 對每個分子狀態(tài)的假定用到了平衡態(tài)的概念； 從一個分子對器壁的作用力推廣到所有分子對器壁的作用力，計算分子的平均速度都用到了統(tǒng)計平均的概念； 壓強的微觀統(tǒng)計意義是壓強是大量分子碰撞器壁的平均效果，是對大量分子對時間對面積的一個統(tǒng)計平均值。對一個分子而言，它對器壁的碰撞是偶然的，但就大量分子而言，其碰撞的統(tǒng)計平均效果就表現(xiàn)為持續(xù)的均勻壓強。 4-4．容器內(nèi)有質(zhì)量為，摩爾質(zhì)量為的理想氣體，設(shè)容器以速度作定向運動，今使容器突然停止，問：（1）氣體的定向運動機械能轉(zhuǎn)化什么形式的能量？（2）下

65、面兩種氣體分子速度平方的平均值增加多少？單原子分子；②雙原子分子；（3）如果容器再從靜止加速到原來速度，那么容器內(nèi)理想氣體的溫度是否還會改變?為什么? 答：（1）一般來說，氣體的宏觀運動不會影響其微觀的內(nèi)動能，但是當(dāng)容器忽然停止運動時，大量分子的定向運動的動能將通過與器壁的以及分子間的碰撞而轉(zhuǎn)換為熱運動的能量，會使容器內(nèi)氣體的問題有所升高。 （2），所以：，溫度增加多少，其速度平方的平均值也做相應(yīng)的增加。 （3）宏觀量溫度是一個統(tǒng)計概念，是大量分子無規(guī)則熱運動的集體表現(xiàn)，是分子平均平動動能的量度，分子熱運動是相對質(zhì)心參照系的，平動動能是系統(tǒng)的內(nèi)動能．溫度與系統(tǒng)的整體運動無關(guān)．所以當(dāng)容器再

66、從靜止加速到原來速度，那么容器內(nèi)理想氣體的溫度不會改變。 4-5．?dāng)⑹鱿铝惺降奈锢硪饬x： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 答：（1）在平衡態(tài)下，分子熱運動能量平均地分配在分子每一個自由度上的能量均為； （2）在平衡態(tài)下，分子平均平動動能； （3）在平衡態(tài)下，自由度為i的分子平均總能量； （4）1摩爾自由度為i的分子組成的系統(tǒng)內(nèi)能為； （5）由質(zhì)量為M，摩爾質(zhì)量為Mmol，自由度為i的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能為。 （6）由質(zhì)量為m，摩爾質(zhì)量為M，自由度為i的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能的變化為。 4-6．氦氣、氧氣分子數(shù)均為，，速率分布曲線如圖，且陰影面積為，求：（1）哪條是氦氣的速率分布曲線？ （2）； （3）的意義？ （4）為多少？對應(yīng)的物理意義是什么？ 答：（1）由可知，對于氧氣和氦氣，即使，氦氣的還是大于氧氣，所以圖形中，大的曲線是氦氣，即B圖是氦氣的； （2）； （3）的意義：在這速率附近、速率區(qū)間dv內(nèi)的氦氣和氧氣的分子數(shù)相同； （4）為在v0右邊的兩曲線的面積差乘以N， 對應(yīng)的物理意義是v0→∞的速率區(qū)間內(nèi)氦氣分子比氧氣分子