中考數(shù)學(xué)專題 四邊形存在性問題解析

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1、 中考數(shù)學(xué)專題 四邊形存在性問題解析 1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，點C的坐標(biāo)為（－18，0）。 （1）求點B的坐標(biāo)； （2）若直線DE交梯形對角線BO于點D，交y軸于點E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式； （3）若點P是（2）中直線DE上的一個動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點的 四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 【考點】一次函數(shù)綜合題，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法

2、，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，菱形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）構(gòu)造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的長度，即可求出B點坐標(biāo)。 （2）已知E點坐標(biāo)，欲求直線DE的解析式，需要求出D點的坐標(biāo)．構(gòu)造△ODG∽△OBA，由線段比例關(guān)系求出D點坐標(biāo)，從而可以求出直線DE的解析式。 （3）如圖所示，符合題意的點Q有4個： 設(shè)直線y=－x+4分別與x軸、y軸交于點E、點F， 則E（0，4），F(xiàn)（4，0），OE=OF=4，EF=4。 ①菱形OEP1Q1，此時OE為菱形一邊。 則有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF－P1E=4－4。 易知△P1NF為等腰直角三角形， ∴P1N=NF

3、=P1F=4－2。 設(shè)P1Q1交x軸于點N，則NQ1=P1Q1－P1N=4－（4－2）=2。 又ON=OF－NF=2，∴Q1（2 ，－2）。 ②菱形OEP2Q2，此時OE為菱形一邊。此時Q2與Q1關(guān)于原點對稱，∴Q2（－2，2）。 ③菱形OEQ3P3，此時OE為菱形一邊。 此時P3與點F重合，菱形OEQ3P3為正方形，∴Q3（4，4）。 ④菱形OP4EQ4，此時OE為菱形對角線。 由菱形性質(zhì)可知，P4Q4為OE的垂直平分線， 由OE=4，得P4縱坐標(biāo)為2，代入直線解析式y(tǒng)=－x+4得橫坐標(biāo)為2，則P4（2，2）。 由菱形性質(zhì)可知，P4、Q4關(guān)于OE或y軸對稱，∴Q4（－2，2

4、）。 綜上所述，存在點Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形，點Q的坐標(biāo)為： Q1（2，－2），Q2（－2，2），Q3（4，4），Q4（－2，2）。 2.如圖，四邊形ABCD為矩形，C點在x軸上，A點在y軸上，D點坐標(biāo)是（0，0），B點坐標(biāo)是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，且F點的坐標(biāo)是（2，4）． （1）求G點坐標(biāo)； （2）求直線EF解析式； （3）點N在x軸上，直線EF上是否存在點M，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【考點】一次函數(shù)綜合題，矩形

5、的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，待定系數(shù)法，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)可知FG=AF=2，而FG=AB－AF=1，則在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的長，從而得到CG的長，從而得到G點坐標(biāo)。 （2）由題意，可知△AEF為含30度角的直角三角形，從而可求出E點坐標(biāo)；又F點坐標(biāo)已知，所以可利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式。 （3）分FG為平行四邊形邊和對角線兩種情況討論，探究可能的平行四邊形的形狀： 若以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，則可能存在以下情形：

6、①FG為平行四邊形的一邊，且N點在x軸正半軸上，如圖1所示。 過M1點作M1H⊥x軸于點H，易證△M1HN1≌△GBF， ∴M1H=GB=，即yM1=。 由直線EF解析式，求出。 ∴M1（）。 ②FG為平行四邊形的一邊，且N點在x軸負半軸上，如圖2所示。 仿照與①相同的辦法，可求得M2（）。 ③FG為平行四邊形的對角線，如圖3所示。 過M3作FB延長線的垂線，垂足為H．易證△M3FH≌△GN3C， 則有M3H=CG=4，所以M3的縱坐標(biāo)為8－。 代入直線EF解析式，得到M3的橫坐標(biāo)為。 ∴M3（）。 綜上所述，存在點M，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，點M

7、的坐標(biāo)為：M1（），M2（），M3（ ）。 3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊0A、08分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x2—7x+12=0的兩根(OA<0B)，動點P從點A開始在線段AO上以每秒l個單位長度的速度向點O運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒． (1)求A、B兩點的坐標(biāo)。 (2)求當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似，并直接寫出此時點Q的坐標(biāo)． (3)當(dāng)t=2時，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點M，使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出M點的坐標(biāo)；若

8、不存在，請說明理由． 【考點】動點問題，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定。 【分析】（1）解出一元二次方程，結(jié)合OA＜OB即可求出A、B兩點的坐標(biāo)。 （2）分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB兩種情況討論即可。 （3）當(dāng)t=2時，如圖，OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q（）。 若以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形，則 ①當(dāng)AQ為對角線時，點M1的橫坐標(biāo)與點Q的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為?！郙1（）。 ②當(dāng)PQ為對角線時，點M2的橫坐標(biāo)與點Q的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為?！郙2（）。 ③

9、當(dāng)AP為對角線時，點Q、M3關(guān)于AP的中點對稱。 由A(0，3)，P（0，1）得AP的中點坐標(biāo)為（0，2）。 由Q（）得M3的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為。∴M3（）。 綜上所述，若以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形，則M點的坐標(biāo)為 （）或（）或（）。 4.如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處．分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O，D，C三點． （1）求AD的長及拋物線的解析式； （2）一動點P從點E出發(fā)，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q

10、從點C出發(fā)，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當(dāng)點P運動到點C時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似？ （3）點N在拋物線對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標(biāo)（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題，折疊和動點問題，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）根據(jù)折疊圖形的軸對稱性，△CED≌△CBD，在Rt△C

11、EO中求出OE的長，從而可得到AE的長；在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的長．進一步能確定D點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。 （2）由于∠DEC=90°，首先能確定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在這兩種情況下，分別利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出對應(yīng)的t的值。 （3）假設(shè)存在符合條件的M、N點，分兩種情況討論： ①EC為平行四邊形的對角線，由于拋物線的對稱軸經(jīng)過EC中點，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點必為拋物線頂點。 由得拋物線頂點，則：M（4

12、，）。 ∵平行四邊形的對角線互相平分，∴線段MN必被EC中點（4，3）平分，則N（4，﹣）。 ②EC為平行四邊形的邊，則ECMN， 設(shè)N（4，m），則M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）； 將M（﹣4，m+6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣38， 此時 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）； 將M（12，m﹣6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣26， 此時 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）。 綜上所述，存在符合條件的M、N點，它們的坐標(biāo)為：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）； ②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）。

13、5.已知二次函數(shù)y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的圖象與x軸交于點A（x1，0）和點B（x2，0），x1＜x2，與y軸交于點C，且滿足． （1）求這個二次函數(shù)的解析式； （2）探究：在直線y=x+3上是否存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求出點P的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)與x點問題，曲線圖上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）欲求拋物線的解析式，關(guān)鍵是求得m的值．根據(jù)題中所給關(guān)系式，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得m的值，從而問題得到解決。注意：解答中

14、求得兩個m的值，需要進行檢驗，把不符合題意的m值舍去。 （2）利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等關(guān)系求得P點的縱坐標(biāo)，從而得到P點的橫坐標(biāo)，從而求得P點坐標(biāo)。 6.已知拋物線y=x2 + 1(如圖所示)． (1)填空：拋物線的頂點坐標(biāo)是(______，______)，對稱軸是_____； (2)已知y軸上一點A(0，2)，點P在拋物線上，過點P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角 形，求點P的坐標(biāo)； (3)在(2)的條件下，點M在直線AP上．在平面內(nèi)是否存在點N，使四邊形OAMN為菱形?若存在， 直接寫出所有滿足條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說

15、明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定。 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點坐標(biāo)和對稱軸即可。 （2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得PB=4，將PB=4代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點 的橫坐標(biāo)，代入解析式即可求得P點的縱坐標(biāo)。 （3）首先求得直線AP的解析式，然后設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出有關(guān)AP的長即 可得到有關(guān)M點的橫坐標(biāo)的方程，求得M的橫坐標(biāo)后即可求得其縱坐標(biāo)： 設(shè)存在點M使得OAMN是菱形， ∵∠OAP＞900，∴OA不可能為菱形的對角線，只能為菱形的邊。 若點P的坐標(biāo)為（，4），∵點A的坐標(biāo)為（0，2

16、）， 設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b，則，解得： 。 ∴AP所在直線的解析式為：y=x+2。 ∵點M在直線AP上，∴設(shè)點M的坐標(biāo)為：（m， m+2）。 如圖，作MH⊥y軸于點H， 則MH= m，AN=OH－OA=m+2－2=m。 ∵OA為菱形的邊，∴AM=AO=2。 ∴在Rt△AMH中，AH2+MH2=AM2，即：m2+（m）2=22， 解得：m=±。∴M（，3）或（－，1）。 當(dāng)M（，3）時，N（，1）；當(dāng)M（－，1）時，N（－，－1）。 若點P的坐標(biāo)為（－，4），同理可得N的坐標(biāo)為（－，1）或（，－1）。 綜上所述，存在點N（，1），（－，－1），（－，1），（，－1），使得 四邊形OAMN是菱形。