2015中考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)教學(xué)案：第2講 整式及其運(yùn)算

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1、第2講　整式及其運(yùn)算 陜西《中考說明》 陜西2012～2014年中考試題分析 考點歸納 考試要求 年份 題型 題號 分值 考查內(nèi)容 分值 比重 考點1整式的相關(guān)概念 1.了解整式的概念；2.在現(xiàn)實情境中進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義；3.能分析簡單問題的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示；4.會求代數(shù)式的值；5.能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進(jìn)行計算；6.能解釋一些簡單代數(shù)式的實際背景或幾何意義 —— —— —— —— —— —— 考點2乘法公式 1.了解乘法公式(a＋b)(

2、a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2的幾何背景，并能進(jìn)行簡單計算；2.會推導(dǎo)乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2 —— —— —— —— —— —— 考點3整式的運(yùn)算 1.會進(jìn)行簡單的整式加、減運(yùn)算；2.會進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算(其中多項式相乘僅指一次式相乘) 2012 選擇題 3 3 積的乘方 0.8% 　　本節(jié)考查的知識點有整式的運(yùn)算，在2012年的選擇題中考查積的乘方，解決此類題，必須牢固掌握冪的運(yùn)算的方法．由上表可知，我省近三年的中考試題中有關(guān)整式及其運(yùn)算的考查明顯有所淡化，在2013年和2014的中

3、考中雖然未考查到，但由于其是中考需要掌握的知識，因此在2015年可能會考查到其相關(guān)知識，因此在復(fù)習(xí)中也不容忽視． 1．代數(shù)式及求值 (1)概念：用__基本運(yùn)算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)__把數(shù)或表示數(shù)的__字母__連接而成的式子叫代數(shù)式．單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式； (2)列代數(shù)式：找出數(shù)量關(guān)系，用表示數(shù)的字母將它數(shù)學(xué)化的過程； (3)代數(shù)式的值：用__具體數(shù)__代替代數(shù)式中的字母，按運(yùn)算順序計算出的結(jié)果叫代數(shù)式的值； (4)代數(shù)式求值的步驟：(1)代入數(shù)值(注意利用整體代入思想，簡化運(yùn)算)；(2)計算． 2．單項式：由__數(shù)與字母__或__字母與字母__相

4、乘組成的代數(shù)式叫做單項式，所有字母指數(shù)的和叫做__單項式的次數(shù)__，數(shù)字因數(shù)叫做__單項式的系數(shù)__．單獨的數(shù)、字母也是單項式． 3．多項式：由幾個__單項式相加__組成的代數(shù)式叫做多項式，多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個__多項式的次數(shù)__，其中不含字母的項叫做__常數(shù)項__． 4．整式：__單項式和多項式__統(tǒng)稱為整式． 5．同類項：多項式中所含__字母__相同并且__相同字母的指數(shù)__也相同的項，叫做同類項；所有的常數(shù)項都是同類項． 6．冪的運(yùn)算法則 (1)同底數(shù)冪相乘： __am·an＝am＋n(m，n都是整數(shù)，a≠0)__； (2)冪的乘方： __(am)n＝amn

5、(m，n都是整數(shù)，a≠0)__； (3)積的乘方： __(ab)n＝an·bn(n是整數(shù)，a≠0，b≠0)__； (4)同底數(shù)冪相除： __am÷an＝am－n(m，n都是整數(shù)，a≠0)__． 7．整式加減 整式加減的實質(zhì)是合并同類項．把多項式中同類項的系數(shù)相加，合并為一項，叫做合并同類項，其法則是：幾個同類項相加，把它們的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的__指數(shù)__都不變． 8．整式乘法 單項式與單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的因式，只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)一起作為積的一個因式． 單項式乘多項式：m(a＋b)＝__ma＋mb__； 多

6、項式乘多項式：(a＋b)(c＋d)＝__ac＋ad＋bc＋bd__. 9．乘法公式 (1)平方差公式：__(a＋b)(a－b)＝a2－b2__； (2)完全平方公式：__(a±b)2＝a2±2ab＋b2__． 10．整式除法 單項式與單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個因式．多項式除以單項式，將這個多項式的每一項分別除以這個單項式，然后把所得的商相加． 一座“橋梁” 用字母表示數(shù)是從算術(shù)過渡到代數(shù)的橋梁，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，用字母表示數(shù)能夠簡明地表示出事物的規(guī)律及本質(zhì)特征．只有借助字母，才能把一些數(shù)量規(guī)律及數(shù)量

7、更簡潔、準(zhǔn)確地表示出來．用字母表示數(shù)：(1)注意字母的確定性；(2)注意字母的任意性；(3)注意字母的限制性． 二種思維方法 法則公式既可正向運(yùn)用，也可逆向運(yùn)用．逆向運(yùn)用和靈活變式運(yùn)用既可簡化計算，又能進(jìn)行較復(fù)雜的代數(shù)式的大小比較．當(dāng)直接計算有較大困難時，考慮逆向運(yùn)用，可起到化難為易的功效． 三種數(shù)學(xué)思想 (1)觀察、比較、歸納、猜想的數(shù)學(xué)思想 觀察才能獲取大量信息，成為智慧的源泉，比較才能發(fā)現(xiàn)信息的異同；通過歸納使共同點浮出水面，總結(jié)歸納的結(jié)果獲得猜想、有所發(fā)現(xiàn)，這就是歸納的思想，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法． (2)整體思想 在進(jìn)行整式運(yùn)算或求代數(shù)式值時，若將注意力和著眼點放在問題

8、的整體結(jié)構(gòu)上，把一些緊密聯(lián)系的代數(shù)式作為一個整體來處理．借助“整體思想”，可以拓寬解題思路，收到事半功倍之效．整體思想最典型的是應(yīng)用于乘法公式中，公式中的字母a和b不僅可以表示單項式，也可以表示多項式，如(x－2y＋z)(x＋2y－z)＝[x－(2y－z)][x＋(2y－z)]＝x2－(2y－z)2＝x2－4y2＋4yz－z2. (3)數(shù)形結(jié)合思想 在列代數(shù)式時，常常能遇到另外一種類型的題：給你提供一定的圖形，通過對圖形的觀察探索，搜集圖形透露的信息，并根據(jù)相關(guān)的知識去列出相應(yīng)的代數(shù)式，也能用圖形驗證整式的乘法和乘法公式． (2012·陜西)計算(－5a3)2的結(jié)果是( D ) A

9、．－10a5　　B．10a6　　C．－25a5　　D．25a6 　同類項的概念及合并同類項 【例1】　若－4xay＋x2yb＝－3x2y，則a＋b＝__3__． 【點評】　(1)判斷同類項時，看字母和相應(yīng)字母的指數(shù)，與系數(shù)無關(guān)，也與字母的相關(guān)位置無關(guān)，兩個只含數(shù)字的單項式也是同類項；(2)只有同類項才可以合并． 1．(1)(2012·畢節(jié))已知xn－2my4與－x3y2n是同類項，則(mn)2010的值為( C ) A．2010　　　B．－2010　　　C．1　　　D．－1 (2)(2014·濟(jì)寧)化簡－5ab＋4ab的結(jié)果是( D ) A．－1 B．a(chǎn) C．b D

10、．－ab 　整式的混合運(yùn)算及求值 【例2】　(2014·紹興)先化簡，再求值：a(a－3b)＋(a＋b)2－a(a－b)，其中a＝1，b＝－. 解：原式＝a2－3ab＋a2＋2ab＋b2－a2＋ab＝a2＋b2＝1＋＝ 【點評】　注意多項式乘多項式的運(yùn)算中要做到不重不漏，應(yīng)用乘法公式進(jìn)行簡便計算，另外去括號時，要注意符號的變化，最后把所得式子化簡，即合并同類項，再代值計算． 2．(2012·杭州)化簡2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]，若m是任意整數(shù)，請觀察化簡后的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)原式表示一個什么數(shù)？ 解：2[(m－1)m＋m(m＋1

11、)][(m－1)m－m(m＋1)]＝2(m2－m＋m2＋m)(m2－m－m2－m)＝－8m3.原式＝(－2m)3，表示3個－2m相乘，或者說是一個立方數(shù)，8的倍數(shù)等 　乘法公式 【例3】　(2013·義烏)如圖①，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，再沿著線段AB剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖②的等腰梯形． (1)設(shè)圖①中陰影部分面積為S1，圖②中陰影部分面積為S2，請直接用含a，b的代數(shù)式表示S1和S2； (2)請寫出上述過程所揭示的乘法公式． 解：(1)S1＝a2－b2；S2＝(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)　(2)(a＋

12、b)(a－b)＝a2－b2 【點評】　(1)在利用完全平方公式求值時，通常用到以下幾種變形： ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab； ②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； ③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； ④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab. 注意公式的變式及整體代入的思想． (2)算式中的局部直接使用乘法公式、簡化運(yùn)算，任何時候都要遵循先化簡，再求值的原則． 3．(1)整式A與m2－2mn＋n2的和是(m＋n)2，則A＝__4mn__. (2)(2014·廣州)已知多項式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3. ①化簡多項式A； ②若(x＋1)

13、2＝6，求A的值． 解：①A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3＝x2＋4x＋4＋2－2x＋x－x2－3＝3x＋3 ②(x＋1)2＝6，則x＋1＝±，∴A＝3x＋3＝3(x＋1)＝±3 試題　計算①x3·x5；②x4·x4；③(am＋1)2；④(－2a2·b)2；⑤(m－n)6÷(n－m)3. 錯解?、賦3·x5＝x3×5＝x15；②x4·x4＝2x4；③(am＋1)2＝a2m＋1；④(－2a2·b)2＝－22a4b2；⑤(m－n)6÷(n－m)3＝(m－n)6－3＝(m－n)3. 剖析　冪的四種運(yùn)算(同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪相除)是學(xué)習(xí)整式乘除的基礎(chǔ)，對冪運(yùn)算的性質(zhì)理解不深刻，記憶不牢固，往往會出現(xiàn)這樣或那樣 的錯誤．針對具體問題要分清問題所對應(yīng)的基本形式，以便合理運(yùn)用法則，對符號的處理，應(yīng)特別引起重視． 正解　①x3·x5＝x3＋5＝x8；②x4·x4＝x4＋4＝x8；③(am＋1)2＝a(m＋1)×2＝a2m＋2；④(－2a2·b)2＝(－2)2a4b2＝4a4b2；⑤(m－n)6÷(n－m)3＝(n－m)6÷(n－m)3＝(n－m)3.