【步步高】屆高三數(shù)學大一輪復習 坐標系與參數(shù)方程學案 理 新人教A版

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1、學案75坐標系與參數(shù)方程導學目標：1.了解坐標系的有關(guān)概念，理解簡單圖形的極坐標方程.2.會進行極坐標方程與直角坐標方程的互化.3.理解直線、圓及橢圓的參數(shù)方程，會進行參數(shù)方程與普通方程的互化，并能進行簡單應用自主梳理1極坐標系的概念在平面上取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做_；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個_設(shè)M是平面上任一點，極點O與點M的距離OM叫做點M的_，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的_，記為.有序數(shù)對(，)叫做點M的_，記作(，)2極坐標和直角坐標的互化把直角坐標系的原點作

2、為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標為(，)，則它們之間的關(guān)系為x_，y_.另一種關(guān)系為：2_，tan _.3簡單曲線的極坐標方程(1)一般地，如果一條曲線上任意一點都有一個極坐標適合方程(，)0，并且坐標適合方程(，)0的點都在曲線上，那么方程(，)0叫做曲線的_(2)常見曲線的極坐標方程圓的極坐標方程_表示圓心在(r,0)半徑為|r|的圓；_表示圓心在(r，)半徑為|r|的圓；_表示圓心在極點，半徑為|r|的圓直線的極坐標方程_表示過極點且與極軸成角的直線；_表示過(a,0)且垂直于極軸的直線；_表示過(b，

3、)且平行于極軸的直線；sin()0sin(0)表示過(0，0)且與極軸成角的直線方程4常見曲線的參數(shù)方程(1)直線的參數(shù)方程若直線過(x0，y0)，為直線的傾斜角，則直線的參數(shù)方程為這是直線的參數(shù)方程，其中參數(shù)l有明顯的幾何意義(2)圓的參數(shù)方程若圓心在點M(a，b)，半徑為R，則圓的參數(shù)方程為00)的參數(shù)方程為自我檢測1(2010北京)極坐標方程(1)()0(0)表示的圖形是()A兩個圓 B兩條直線C一個圓和一條射線 D一條直線和一條射線2(2010湖南)極坐標方程cos 和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是()A圓、直線 B直線、圓C圓、圓 D直線、直線3(2010重慶)直線yx與圓心

4、為D的圓(0,2)交于A、B兩點，則直線AD與BD的傾斜角之和為()A. B.C. D.4(2011廣州一模)在極坐標系中，直線sin()2被圓4截得的弦長為_5(2010陜西)已知圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為sin 1，則直線l與圓C的交點的直角坐標為_.探究點一求曲線的極坐標方程例1 在極坐標系中，以(，)為圓心，為半徑的圓的方程為_變式遷移1 如圖，求經(jīng)過點A(a,0)(a0)，且與極軸垂直的直線l的極坐標方程探究點二極坐標方程與直角坐標方程的互化例2 (2009遼寧)在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立坐

5、標系曲線C的極坐標方程為cos1，M、N分別為C與x軸，y軸的交點(1)寫出C的直角坐標方程，并求M、N的極坐標；(2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程變式遷移2 (2010東北三校第一次聯(lián)考)在極坐標系下，已知圓O：cos sin 和直線l：sin()，(1)求圓O和直線l的直角坐標方程；(2)當(0，)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標探究點三參數(shù)方程與普通方程的互化例3 將下列參數(shù)方程化為普通方程：(1)；(2)；(3).變式遷移3 化下列參數(shù)方程為普通方程，并作出曲線的草圖(1)(為參數(shù))；(2) (t為參數(shù))探究點四參數(shù)方程與極坐標的綜合應用例4 求圓3cos 被直線(t是

6、參數(shù))截得的弦長變式遷移4 (2011課標全國)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))M是C1上的動點，P點滿足2，P點的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程；(2)在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|.本節(jié)內(nèi)容要注意以下兩點：一、簡單曲線的極坐標方程可結(jié)合極坐標系中和的具體含義求出，也可利用極坐標方程與直角坐標方程的互化得出同直角坐標方程一樣，由于建系的不同，曲線的極坐標方程也會不同在沒有充分理解極坐標的前提下，可先化成直角坐標解決問題二、在普通方程中，有些F(x，y)0不易得到，這時可借助于一個中間

7、變量(即參數(shù))來找到變量x，y之間的關(guān)系同時，在直角坐標系中，很多比較復雜的計算(如圓錐曲線)，若借助于參數(shù)方程來解決，將會大大簡化計算量將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時要注意其中的x，y(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，也即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有：代入消元、加減消元、平方后相加減消元等同極坐標方程一樣，在沒有充分理解參數(shù)方程的前提下，可先化成直角坐標方程再去解決相關(guān)問題(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1在極坐標系中，與點(3，)關(guān)于極軸所在直線對稱的點的極坐標是()A(3，) B(3，

8、) C(3，) D(3，)2曲線的極坐標方程為2cos21的直角坐標方程為()Ax2(y)2 B(x)2y2Cx2y2 Dx2y213(2010湛江模擬)在極坐標方程中，曲線C的方程是4sin ，過點(4，)作曲線C的切線，則切線長為()A4 B. C2 D24(2010佛山模擬)已知動圓方程x2y2xsin 22ysin()0(為參數(shù))，那么圓心的軌跡是()A橢圓 B橢圓的一部分C拋物線 D拋物線的一部分5(2010安徽)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的方程為x3y20，則曲線C上到直線l距離為的點的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4二、填空題(每小題4分，共12分)6(2010天津)

9、已知圓C的圓心是直線(t為參數(shù))與x軸的交點，且圓C與直線xy30相切，則圓C的方程為_7(2011廣東)已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0)和(tR)，它們的交點坐標為_8(2010廣東深圳高級中學一模)在直角坐標系中圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓C的極坐標方程為_三、解答題(共38分)9(12分)(2011江蘇)在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓(為參數(shù))的右焦點，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程10(12分)(2010福建)在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為

10、極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為2sin .(1)求圓C的直角坐標方程；(2)設(shè)圓C與直線l交于點A，B.若點P的坐標為(3，)，求|PA|PB|.11(14分)(2010課標全國)已知直線C1：(t為參數(shù))，圓C2：(為參數(shù))(1)當時，求C1與C2的交點坐標；(2)過坐標原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點，當變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線學案75坐標系與參數(shù)方程自主梳理1極軸極坐標系極徑極角極坐標2.cos sin x2y2(x0)3.(1)極坐標方程(2)2rcos 2rsin r(R)cos asin b自我檢測1C2.A3.C445(1,1)，(

11、1,1)解析ysin ，直線l的直角坐標方程為y1.由得x2(y1)21.由得或直線l與圓C的交點的直角坐標為(1,1)和(1,1)課堂活動區(qū)例1 解題導引求曲線的極坐標方程的步驟：建立適當?shù)臉O坐標系，設(shè)P(，)是曲線上任意一點；由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑和極角之間的關(guān)系式；將列出的關(guān)系式進行整理、化簡，得出曲線上的極坐標方程；證明所得方程就是曲線的極坐標方程，若方程的推導過程正確，化簡過程都是同解變形，這一證明可以省略答案asin ，0解析圓的直徑為a，設(shè)圓心為C，在圓上任取一點A(，)，則AOC或，即AOC|.又acosAOCacos|asin .圓的方程是asin

12、 ，0.變式遷移1 解設(shè)P(，)是直線l上任意一點，OPcos OA，即cos a，故所求直線的極坐標方程為cos a.例2 解題導引直角坐標方程化為極坐標方程比較容易，只要運用公式xcos 及ysin 直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如cos ，sin ，2的形式，進行整體代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法但對方程進行變形時，方程必須同解，因此應注意對變形過程的檢驗解(1)由cos1得1.從而C的直角坐標方程為xy1，即xy2，當0時，2，所以M(2,0)當時，所以N.(2)M點的直角坐標為(2,0)

13、N點的直角坐標為(0，)所以P點的直角坐標為，則P點的極坐標為，所以直線OP的極坐標方程為，(，)變式遷移2 解(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，圓O的直角坐標方程為x2y2xy，即x2y2xy0.直線l：sin()，即sin cos 1，則直線l的直角坐標方程為yx1，即xy10.(2)由得故直線l與圓O公共點的一個極坐標為(1，)例3 解題導引參數(shù)方程通過消去參數(shù)化為普通方程對于(1)直接消去參數(shù)k有困難，可通過兩式相除，先降低k的次數(shù)，再運用代入法消去k；對于(2)可運用恒等式(sin cos )21sin 2消去；對于(3)可運用恒等式()2()21消去t.另外，參數(shù)

14、方程化為普通方程時，不僅要消去參數(shù)，還應注意普通方程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致解(1)兩式相除，得k.將k代入，得x.化簡，得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程是y22x，x0,2(3)由()2()21，得x24y21.又x1，得所求的普通方程是x24y21(x1)變式遷移3 解(1)由y2(sin cos )21sin 212x，得y22x1.sin 2，x.sin cos ，y.故所求普通方程為y22 (x，y)，圖形為拋物線的一部分圖形如圖甲所示(2)由x2y222

15、1及x0，xy0知，所求軌跡為兩段圓弧x2y21 (0x1,0y1或1x0，1y0)圖形如圖乙所示例4 解題導引一般將參數(shù)方程化為普通方程，極坐標方程化成直角坐標方程解決解將極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程：3cos 即：x2y23x，即(x)2y2.即：2xy30.所以圓心到直線的距離d0，即直線經(jīng)過圓心，所以圓被直線截得的弦長為3.變式遷移4 解(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M(，)由于M點在C1上，所以即從而C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)曲線C1的極坐標方程為4sin ，曲線C2的極坐標方程為8sin .射線與C1的交點A的極徑為14sin，射線與C2的交點B的極徑為28sin.所以|A

16、B|21|2.課后練習區(qū)1B由于極徑不變，極角關(guān)于極軸對稱，其對稱點為(3，)故選B.2B2cos21，2cos 即x2y2x，(x)2y2.3C4sin 化為普通方程為x2(y2)24，點(4，)化為直角坐標為(2，2)，切線長、圓心到定點的距離及半徑構(gòu)成直角三角形，由勾股定理：切線長為2，故選C.4D圓心軌跡的參數(shù)方程為即消去參數(shù)得y212x(x)，故選D.5B曲線C的方程為(為參數(shù))，(x2)2(y1)29，而l為x3y20，圓心(2，1)到l的距離d.又3，有2個點6(x1)2y22解析直線(t為參數(shù))與x軸的交點為(1,0)，故圓C的圓心為(1,0)又圓C與直線xy30相切，圓C的半

17、徑為r，圓C的方程為(x1)2y22.7(1，)解析將兩曲線的參數(shù)方程化為一般方程分別為y21(0y1，0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實根，所以又直線l過點P(3，)，故由上式及t的幾何意義得|PA|PB|t1|t2|t1t23.(12分)方法二(1)同方法一(2)因為圓C的圓心為點(0，)，半徑r，直線l的普通方程為yx3.(8分)由得x23x20.解得或(10分)不妨設(shè)A(1,2)，B(2,1)，又點P的坐標為(3，)，故|PA|PB|3.(12分)11解(1)當時，C1的普通方程為y(x1)，C2的普通方程為x2y21，聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點坐標為(1,0)，(，)(7分)(2)C1的普通方程為xsin ycos sin 0.A點坐標為(sin2，cos sin )，故當變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))(9分)P點軌跡的普通方程為(x)2y2.(12分)故P點軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓(14分)10