遼寧省北票市高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.2 等差數(shù)列的性質(zhì)課件 新人教B版必修5.ppt

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1、等差數(shù)列,,知識回顧,等差數(shù)列,【說明】數(shù)列an為等差數(shù)列,an+1-an=d,或an+1=an+d,d,=an+1-an,公差是唯一的常數(shù)。,an=a1+(n-1)d,等差數(shù)列各項對應的點都在同一條直線上.,一、判定題：下列數(shù)列是否是等差數(shù)列？,.9，7，5，3，,-2n+11，；.-1，11，23，35，,12n-13，；.1，2，1，2，；.1，2，4，6，8，10，；.a,a,a,a,，a，；,,,,,,,復習鞏固：,,(1)等差數(shù)列8，5，2，，的第5項是(2)等差數(shù)列-5，-9，-13，的第n項是,-4,an=-5+(n-1).(-4),10,二、填空題：,簡言之“知三求一”,(3

2、)已知an為等差數(shù)列，a1=3，d=2，an=21，則n=,,【說明】在等差數(shù)列an的通項公式中a1、d、an、n任知三個，可求出另外一個,例1.三數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，首尾二數(shù)的積為12，求此三數(shù).,設這三個數(shù)分別為a-da，a+d，則3a=12，a2-d2=12,6，4，2或2，4，6,結論:三數(shù)成等差數(shù)列可設這三個數(shù)分別為a-da，a+d四數(shù)成等差數(shù)列可設這四個數(shù)分別為a-3da-d,a+d,a+3d,等差數(shù)列的性質(zhì),例2：已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q，其中p,q是常數(shù)且p0，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？如果是，其首項與公差分別是什么？,分析：由等差數(shù)列的定義，要判定a

3、n是不是等差數(shù)列，只要看是否是一個與n無關的常數(shù),解：取數(shù)列an中任意相鄰兩項an與an-1,,它是一個與n無關的常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列。且公差為p,a1=p+q,結論:數(shù)列的通項公式為an=pn+q，(其中p,q是常數(shù))等價與這個數(shù)列是等差數(shù)列,關于n的一次函數(shù),例3、已知數(shù)列an,bn都為等差數(shù)列，求證：數(shù)列an+bn為等差數(shù)列,證法1：設an=a1+(n-1)d1,bn=b1+(n-1)d2（其中a1、b1、d1、d2均為常數(shù)）所以an+bn=a1+(n-1)d1+b1+(n-1)d2=(a1+b1)+(n-1)(d1+d2),所以(an+1+bn+1)-(an+bn)=(a1+b1

4、)+(n+1-1)(d1+d2)-(a1+b1)+(n-1)(d1+d2)=d1+d2（常數(shù)）故數(shù)列an+bn為等差數(shù)列,問題1：通過剛才的證明你能得出數(shù)列an+bn的首項和公差嗎？它的首項和公差與數(shù)列an,bn的首項和公差有什么關系？,證法2：設an=A1n+B1，bn=A2n+B2(其中A1,A2,B1,B2為常數(shù)）所以an+bn=（A1n+B1）+（A2n+B2）=（A1+A2）n+（B1+B2）所以(an+1+bn+1)-(an+bn)=（A1+A2）(n+1)+（B1+B2）-（A1+A2）n-（B1+B2）=A1+A2（為常數(shù)）,例3、已知數(shù)列an,bn都為等差數(shù)列，求證：數(shù)列an

5、+bn為等差數(shù)列,,思考：（1）數(shù)列an-bn是否為等差數(shù)列？若是，首項、公差為多少？若不是，請說明理由。,,（2）數(shù)列pan+qbn（其中p、q為常數(shù)）是否為等差數(shù)列？若是，首項、公差為多少？若不是，請說明理由。,性質(zhì)1:若an、bn都是等差數(shù)列，且公差分別為d1,d2,(1).則anbn也是等差數(shù)列,且公差為d1d2。(2).則panqbn也是等差數(shù)列,且公差為pd1qd2,性質(zhì)2.若an是等差數(shù)列,且p+q=m+n，(p,q,m,n為正整數(shù)），則ap+aq=am+an。即下標和相等，則相應項和也相等（兩邊項數(shù)一樣）,證明：ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+

6、q-2)d,am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,又因為p+q=m+n，所以ap+aq=am+an,如：a2+a9=a5+a6,a6+a10=a8+a8=2a8,,特別地,若,則,注意：上面的命題的逆命題是不一定成立的,例4.在等差數(shù)列an中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20,(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8,(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.,分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10,分析：a3+a11=a

7、6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=15,分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28又a4a7=187，解、得,或,d=_2或2,從而a14=_3或31,性質(zhì)3:若an是等差數(shù)列,則從中抽取間隔相等的項也是等差數(shù)列,an=am+(n-m)d,an-am=(n-m)d,,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,a12,a1,a4,a7,a10,,,,,性質(zhì)4:若an是等差數(shù)列,則長度相等的連續(xù)k項的和也是等差數(shù)列,如:,a1+a2++ak,ak+1+ak+2+.+a2k,a2k+1+.+a3k,也是等差數(shù)列a1+a2++ak,a2+a3+.+ak+1,a3+a4.+ak+2,也是等差數(shù)列,(3)若求,例5.在等差數(shù)列an中,m,2b-a,130,性質(zhì)5:若an是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列。,祝同學們學習進步！,