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1、2020/7/8,1,第三章 機器人坐標(biāo)系統(tǒng),張遠輝 機械電子所 2014,2020/7/8,2,機器人是個復(fù)雜的運動系統(tǒng)，它的每一個動作都是各個元部件共同作用的結(jié)果。,2020/7/8,3,3.1 位置與姿態(tài) 3.2 正交坐標(biāo)系 3.3 運動坐標(biāo)表示 3.4 齊次坐標(biāo)變換 3.5 機器人坐標(biāo)系統(tǒng),為了系統(tǒng)地、精確地描述各個元部件的作用以及它們之間的關(guān)系，需要引入一套機器人坐標(biāo)系統(tǒng)。,2020/7/8,4,要全面地確定一個物體在三維空間中的狀態(tài)需要有三個位置自由度和三個姿態(tài)自由度。前者用來確定物體在空間中的具體方位，后者則是確定物體的指向。我們將物體的六個自由度的狀態(tài)稱為物體的位姿。,如果H為
2、手坐標(biāo)系，用以描述手的姿態(tài)，那再加上手的位置就構(gòu)成了手的位姿。,3.1 位置與姿態(tài),一般姿態(tài)的描述可以用橫滾（Roll）、俯仰（Pitch）和側(cè)擺（Yaw）三軸的轉(zhuǎn)角來實現(xiàn)。,繞坐標(biāo)系H各軸轉(zhuǎn)動,yaw,P,roll,pitch,H,XH,ZH,YH,2020/7/8,5,從二維坐標(biāo)系說起,如果已知P點在H坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為1,1T, 則P在B下的坐標(biāo)?,2020/7/8,6,坐標(biāo)系重合的情況（旋轉(zhuǎn)）,2020/7/8,7,正交基之間的變換,2020/7/8,8,帶入后,坐標(biāo)寫成列向量,2020/7/8,9,旋轉(zhuǎn)矩陣R,2020/7/8,10,僅僅只有平移,H坐標(biāo)系的原點，在B坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是a
3、,bT ，則,2020/7/8,11,僅僅只有平移,2020/7/8,12,先平移+后旋轉(zhuǎn),2020/7/8,13,先旋轉(zhuǎn)+后(相對于B平移a,b),2020/7/8,14,有加法和乘法-整合,2020/7/8,15,3.2 正交坐標(biāo)系,3.2.1 正交坐標(biāo)系及矢量的基礎(chǔ)知識,右圖是所謂的正交坐標(biāo)系B(x,y,z)，用來表示機器人的基坐標(biāo)， 其中 , , 分別是三個坐標(biāo)軸的單位向量。 B系中有另外一個坐標(biāo)系H（xH，yH，zH），用來表示手坐標(biāo), 其中 , , 分別是H系三個坐標(biāo)軸的單位向量。,z,y,x,B,H,H,z,H,x,H,y,a,n,o,i,j,k,P,端點P相對于機器人手坐標(biāo)系H
4、,及基座坐標(biāo)系B的定位,2020/7/8,16,3.2.1.1 正交坐標(biāo)系的性質(zhì),單位矢量 , , 在基坐標(biāo)系中可表示為,根據(jù)矢量點積和叉積的性質(zhì)，對于相互正交的單位矢量 ， ， 有,對于單位矢量 , , 也有同樣的性質(zhì)。,2020/7/8,17,令矩陣 R稱為正交坐標(biāo)變換矩陣。,當(dāng)用列向量表示單位矢量時，有,于是，變換矩陣R可以表示為：,當(dāng)用矩陣表示兩個矢量的點乘時，有,2020/7/8,18,3.2.1.2 正交坐標(biāo)變換矩陣R的性質(zhì),顯然,于是可得,1,-,=,R,R,T,2020/7/8,19,3.2.1.3 正交坐標(biāo)變換矩陣的幾何意義, 上式可寫成,其中,考慮到,上式表明正交坐標(biāo)變換矩
5、陣R實現(xiàn)了由手坐標(biāo)系H到基坐標(biāo)系B的正交坐標(biāo)變換，它可以將一組3個相互正交的單位矢量變換為另一組3個相互正交的單位矢量，每一組單位矢量均代表了一個正交坐標(biāo)系。這也說明了將矩陣R稱為正交坐標(biāo)變換矩陣的原因。在機器人學(xué)中經(jīng)常要用到這種正交坐標(biāo)變換。,2020/7/8,20,3.2.2 位置的描述,一旦建立起一個坐標(biāo)系，我們就可以用3維的位置矢量來確定該空間內(nèi)任一點的位置 。其中，x、y、z是p點在笛卡爾坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸上坐標(biāo)分量。用這種方法可以很容易地表示出手坐標(biāo)（原點）在基坐標(biāo)系中的空間位置。,3.2.3 姿態(tài)的描述,物體的姿態(tài)可由某個固接在物體上的坐標(biāo)系來描述。設(shè)在空間中除了有參考坐標(biāo)系B外
6、，還有物體質(zhì)心上的一個笛卡爾正交坐標(biāo)系H，且H系與此物體的空間位置關(guān)系是固定不變的，那么就可以H系的三個坐標(biāo)軸的單位矢量相對于B系的方向來表示H系和B系的姿態(tài)。,2020/7/8,21,2020/7/8,22,假設(shè) 為H坐標(biāo)系中某軸的單位向量，即它在B坐標(biāo)系的方向可以 與B系三軸夾角的余弦值為分量加以表達，見下圖。,因此正交坐標(biāo)變換矩陣R為一方向余弦矩陣，也被稱之為旋轉(zhuǎn)矩陣（具體含義將在后面小節(jié)中闡述）。,j,l,g,x,y,z,k,B,l,l,a,l,b,i,矢量的方向矢徑表示,2020/7/8,23,3.3 運動坐標(biāo)表示,3.3.1 平動的坐標(biāo)表示,設(shè)手坐標(biāo)系H與基坐標(biāo)系B具有相同的姿態(tài)，
7、但H系坐標(biāo)原點與B系的原點不重合。用矢量 來描述H系相對于B系的位置（如右圖所示），稱 為H系相對于B系的平移矢量。如果點p在H系中的位置為 ，那么它相對于B系的位置矢量 可由矢量相加得出，即,稱其為坐標(biāo)平移方程。,2020/7/8,24,下面以繞z軸轉(zhuǎn)動 角為例來研究繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動某個角度的表示法。設(shè)H系從與B系相重合的位置繞B系的z軸轉(zhuǎn)動角 ，H系與B系的關(guān)系如右圖所示。,3.3.2 轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)表示,(1) 繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動某個角度的表示法,2020/7/8,25,實現(xiàn)兩個坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)動關(guān)系的矩陣，又叫轉(zhuǎn)動矩陣R，可表示為,上面的分析說明了R矩陣可以用來表示繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動，這表征了R矩陣的另一
8、種幾何意義。,2020/7/8,26,設(shè)B系與H系的z軸相重合，B系繞z軸轉(zhuǎn)動角 就得H系，如下圖所示。,(2) 兩個坐標(biāo)系的投影之間的關(guān)系,2020/7/8,27,已知矢徑 在H系三軸投影分別為u,v,w。則由上圖可知,由上式可見，R矩陣可以將矢徑在手坐標(biāo)系上的投影變換到該矢徑在基坐標(biāo)系上的投影，這表征了R矩陣的又一種幾何意義。,2020/7/8,28,(3) 具有轉(zhuǎn)動關(guān)系的兩個矢量的投影之間的關(guān)系,設(shè)矢量 在坐標(biāo)系Bxy的投影為u，v，w；將矢量 繞z軸轉(zhuǎn)動 角，得到矢量 ，設(shè)矢量 在同一坐標(biāo)系的投影為x, y, z，如下圖所示。,x,y,H,y,),(,H,B,z,q,z,q,H,x,y
9、,u,P,v,x,Q,關(guān)系具有轉(zhuǎn)動關(guān)系的兩個矢量的投影之間的投影,O,2020/7/8,29,如果注意到 在x,y軸的投影相當(dāng)于 在 軸的投影，再對比頁和頁的兩個圖所示的相同幾何關(guān)系，便可得式（）相同結(jié)果，只是此時的u，v，w與x，y，z同前面討論的情況的幾何含義不同。這時矩陣R用來表示具有轉(zhuǎn)動關(guān)系的兩個矢量在同一坐標(biāo)系中的投影之間的關(guān)系，這表征了R矩陣的最后一種幾何意義。 至此，歸納了R矩陣的四種幾何意義，這對于認識R矩陣的本質(zhì)，研究機器人的坐標(biāo)系統(tǒng)很有幫助。,2020/7/8,30,3.3.3 復(fù)合運動的坐標(biāo)表示,2020/7/8,31,對于任意一點P在B和H系中的描述有以下的關(guān)系,其中，
10、,是 p 點相對于B系的位置矢量。,至此，我們由淺入深地介紹了物體的基本宏觀運動在坐標(biāo)系中的表示方法，這是我們學(xué)習(xí)機器人復(fù)雜運動的最基本的數(shù)學(xué)工具。在后續(xù)章節(jié)中會頻繁地用到。,2020/7/8,32,3.4 齊次坐標(biāo)變換,3.4.1 齊次坐標(biāo)的定義和性質(zhì),3.4.1.1 齊次坐標(biāo)的概念,用四個數(shù)所組成的列向量 來表示三維空間中的一點 ，這兩個坐標(biāo)向量之間的關(guān)系是 ， ， 則 稱為三維空間點 的齊次坐標(biāo)。通常情況下取w=1,則 的齊次坐標(biāo)表示為 。,2020/7/8,33,3.4.1.2 齊次坐標(biāo)的性質(zhì),（1）齊次坐標(biāo)的不唯一性 所謂不唯一性是指某點的齊次坐標(biāo)有無窮多點，不是單值確定的。例如 是
11、某點的齊次坐標(biāo)，則 也是該點的齊次坐標(biāo)。,（2）齊次坐標(biāo)的原點和坐標(biāo)軸 根據(jù)齊次坐標(biāo)的定義，齊次坐標(biāo) 表示坐標(biāo)原點，而 ， ， 分別表示OX軸、OY軸和OZ軸的無窮遠點，即表示直角坐標(biāo)的OX軸、OY軸和OZ軸。,2020/7/8,34,則有,其中，,（）,2020/7/8,35,3.4.2 齊次變換和齊次矩陣,在引入齊次坐標(biāo)之后，現(xiàn)在我們來看如何用齊次坐標(biāo)來表示上一節(jié)中所講的內(nèi)容。在上一節(jié)的最后我們曾用笛卡爾標(biāo)系統(tǒng)表示出了物體復(fù)合運動，最后我們得出了 的結(jié)論，它表示了 由到 的變換?，F(xiàn)在我們利用齊次坐標(biāo)來表示出上式：,2020/7/8,36,A矩陣稱為齊次矩陣（Homogeneous matr
12、ix）,在機器人學(xué)中是個重要的術(shù)語，它將轉(zhuǎn)動和移動組合在一個44矩陣中。 其中 為33的轉(zhuǎn)動矩陣， 為13的零陣 ， 為表示移動的31的列陣。接下來我們將利用齊次矩陣來表示物體的運動。,2020/7/8,37,3.4.2.1 利用齊次矩陣表示平移變換,設(shè)向量 ， 要和向量 相加得V，即 （）,欲求一變換矩陣H，使得U經(jīng)過H變換之后變成向量V，即 （） 考慮到式（）和式（）等效，根據(jù)式（）可知,平移變換就是用于兩個向量的相加。,2020/7/8,38,此變換矩陣有一性質(zhì)就是它的每一個元素乘上一個非零的元素后不會改變這個變換。,由此可知得,2020/7/8,39,3.4.2.2 利用齊次矩陣表示旋
13、轉(zhuǎn)變換,根據(jù)直角坐標(biāo)和齊次坐標(biāo)的關(guān)系，易得繞X，Y，Z軸旋轉(zhuǎn)一個角的相應(yīng)旋轉(zhuǎn)變換是,2020/7/8,40,例如，已知一個向量U繞Z軸旋轉(zhuǎn)90變成V，則用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為,如，一個向量U 先后繞X、Y軸分別旋轉(zhuǎn)90、60得到V，用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為,2020/7/8,41,3.4.2.3 利用齊次矩陣表示旋轉(zhuǎn)加平移變換,把上述兩種變換結(jié)合起來用齊次矩陣表示，這時的齊次變換矩陣就是,2020/7/8,42,可見，在齊次變換矩陣中旋轉(zhuǎn)矩陣 和 表示平移的列陣 確實是分離的。,注意，一般情況下,2020/7/8,43,3.4.2.4 利用齊次矩陣表示手的轉(zhuǎn)動和移動,手的轉(zhuǎn)動可以表示為繞X軸的側(cè)擺 ，繞Y軸
14、的俯仰 和繞Z軸橫滾 ，依次構(gòu)成的復(fù)合轉(zhuǎn)動，采用簡化符號 ，則有,2020/7/8,44,上式表示了手的轉(zhuǎn)動運動。如果手除了轉(zhuǎn)動運動以外還可做移動運動，只需將上式中齊次矩陣的第4列用表示移動的矩陣塊 來代替，便可得到包括3個姿態(tài)轉(zhuǎn)動和3個平移的6自由度運動的齊次矩陣。,2020/7/8,45,3.4.3 齊次變換的性質(zhì),3.4.3.1 變換過程的相對性相對變換,前面所介紹的所有旋轉(zhuǎn)和平移變換都是相對于參考坐標(biāo)系B系而言的。例如 上述的變換過程是：手坐標(biāo)系H首先繞著基坐標(biāo)系B旋轉(zhuǎn) ，然后平移 。這種變換的順序是從右向左進行的。 這樣的過程也可以以相反的順序進行，即從左向右進行。此時可以理解為首先
15、手坐標(biāo)系H在基坐標(biāo)系B 中平移 然后繞當(dāng)前的手坐標(biāo)系H的 軸旋轉(zhuǎn) 。,2020/7/8,46,一般的變換過程可以分兩種情況： (1) 如果我們用一個描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換C，左乘一個坐標(biāo)系的變換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉(zhuǎn)就是相對于靜止坐標(biāo)系進行的。 (2) 如果我們用一個描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換C，右乘一個坐標(biāo)系的變換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉(zhuǎn)就是相對于運動坐標(biāo)系進行的。,真是那么精彩嗎?,2020/7/8,47,3.4.3.2 變換過程的可逆性逆變換,在機器人學(xué)中很多時候要用到齊次變換矩陣的逆陣，下面我們將導(dǎo)出齊次變換矩陣的逆陣的求法。,2020/7/8,48,3.4.3.3
16、變換過程的封閉性-變換方程的建立,在解機器人運動學(xué)和動力學(xué)方程時，要經(jīng)常解變換方程。在這些變換方程里，一個坐標(biāo)點往往要用兩種或多種方式來描述。,（1） 機器人 變換Z：參考坐標(biāo)系U 基坐標(biāo)系B 變換A：基坐標(biāo)系B 手坐標(biāo)系H 變換E：手坐標(biāo)系H 加工工具T （2） 變位機 變換P：參考坐標(biāo)系U 變位機V 變換Q：變位機V 被加工件W,2020/7/8,49,這種聯(lián)系亦可由一有向變換圖表述，見右圖。,如果我們希望解上述方程，求出變換A ，就必須對方程左乘 ，然后右乘 ，得到 實際上，可以從封閉的有向變換圖的任一變換開始列變換方程。從某一變換弧開始，順箭頭方向為正方向，逆箭頭方向為逆變換，一直連續(xù)
17、列寫到相鄰于該變換弧為止（但不再包括該起點變換），如果包括該起點變換，則得到一個單位變換。,2020/7/8,50,3.5 機器人坐標(biāo)系統(tǒng),3.5.1 機器人坐標(biāo)系統(tǒng)的構(gòu)成,現(xiàn)在讓我們設(shè)想完成將一條螺栓擰入螺母這樣一項簡單的工作。如果是人來完成這件事情，每個人看來都是非常容易的。但是如果讓機器人來完成這項工作，機器人必須規(guī)劃出每個關(guān)節(jié)的運動過程，最終合成末端執(zhí)行器的動作。在完成這樣的工作時，我們必須為每個關(guān)節(jié)變量規(guī)劃出運動軌跡，而這樣的軌跡是相對于每個關(guān)節(jié)所對應(yīng)的坐標(biāo)系而言的。由此可見，我們必須為每一個關(guān)節(jié)定義出一個坐標(biāo)系。除此之外，為了能與工件相配合完成既定的工作，也需要為工件和周圍環(huán)境定義
18、出坐標(biāo)系統(tǒng)。所有上述的坐標(biāo)系就構(gòu)成了一個機器人的坐標(biāo)系統(tǒng)。由上面的分析可以得出這樣的坐標(biāo)系統(tǒng)包括三大部分：,（1）機器人自身的坐標(biāo)系 （2）作業(yè)工件和變位機的坐標(biāo)系 （3）作為共同參考的世界坐標(biāo)系 其中，世界坐標(biāo)系是聯(lián)系前兩種坐標(biāo)系的紐帶。下面我們舉一個例子來說明如何建立機器人的坐標(biāo)系統(tǒng)。,2020/7/8,51,3.5.2 變換方程的建立,機器人變換方程的建立主要是利用上一節(jié)所介紹的齊次變換的封閉性。接下來將利用圖3-11的例子來說明如何建立變換方程。,設(shè)由P系到U系的變換矩陣為 ， 由B系到U系的變換矩陣為 ， 由H系到B系的變換矩陣為 ， 由E系到H系的變換矩陣為 。,B,U,B,U,T
19、,H,H,B,T,E,P,P,U,T,E,P,T,E,H,T,操作機坐標(biāo)系及變換方程的建立,2020/7/8,52,于是，固定在鉆頭端點處的工具坐標(biāo)系E系相對世界坐標(biāo)系U系的位置可表示為 另一方面，由P系到U系的變換矩陣為 ，由E系到P系的變換矩陣為 ，工件上孔的位置（即E系）相對于U系的位置為 （） 由以上兩個公式可得 式（）即所謂的機器人的變換方程。解此方程，由上式左乘 ，右乘 ，則得 由此可以求出手坐標(biāo)系相對于基坐標(biāo)系的變換矩陣，于是便可以知道手相對于基座處于何種姿態(tài)時，便可以完成在工件上的鉆孔工作。,2020/7/8,53,參考文獻,1. 陳哲，吉熙章編著，機器人技術(shù)基礎(chǔ)，機械工業(yè)出版社，1997.10 2. 熊有倫,丁漢,劉恩滄.機器人學(xué).機械工業(yè)出版 社, 1993年10月,2020/7/8,54,The End of Chapt. 3,
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