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1、第9講 立體幾何的綜合問題,第9講立體幾何的綜合問題 1.分別和兩條異面直線相交的兩條不同直線的位置關(guān)系是.,答案異面或相交,解析當兩條直線與兩條異面直線的交點有4個時,兩條直線異面;當兩條直線與兩條異面直線的交點有3個時,兩條直線相交(如圖).,2.過平面外一條直線的平面與平面垂直,則平面的個數(shù)可以是 .,答案一個或無數(shù)個,解析若這條直線與平面垂直,則平面有無數(shù)個;若這條直線與平面不垂直,則平面只有1個.,3.已知,,是三個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題:如果m,m,那么;如果mn,m,那么n;如果,m,那么m;如果 ,=m,=n,那么mn.其中正確的命題有 .(寫出所有正確命題的序
2、號),答案,解析由面面垂直的判定定理可知正確;如果mn, m,那么n,位置關(guān)系不確定,可能平行或n,錯誤;如果,m,那么m,位置關(guān)系不確定,錯誤;由面面平行的性質(zhì)定理可知正確.,4.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D,則四面體ABCD外接球的體積為 .,答案,解析四面體ABCD外接球的球心在AC的中點,則球的半徑R=|AC|=,體積 為R3==.,題型一空間位置關(guān)系的證明與計算,例1(2017江蘇鹽城期末) 如圖,已知平行四邊形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直,G、H分別是DF、BE的中點. (1)求證:GH平面C
3、DE; (2)若CD=2,DB=4,求四棱錐F-ABCD的體積.,解析(1)證明:連接FC,EFAD,ADBC, EFBC. 又EF=AD=BC,四邊形EFBC是平行四邊形. 又H為BE的中點,H為FC的中點. 又G是FD的中點,HGCD. HG平面CDE,CD平面CDE, GH平面CDE.,(2)平面ADEF平面ABCD,交線為AD,且FAAD, FA平面ABCD.AD=BC=6, FA=AD=6. 又CD=2,DB=4, CD2+DB2=BC2,BDCD.,SABCD=CDBD=8, VF-ABCD=SABCDFA=86=16.,【方法歸納】解決空間幾何體的體積計算的步驟大致有作、證、求,
4、即作出相關(guān)的輔助線,證明空間線面垂直,最后利用體積公式計算,所以要重視邏輯推理在空間計算中的應(yīng)用.,1-1(2018江蘇高考信息預(yù)測)如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)棱PA底面ABCD,四邊形ABCD為矩形,AD=2AB=2AP=2,E為PD上一點,且PE=2DE. (1)若F為PE的中點,求證:BF平面ACE; (2)求三棱錐P-ACE的體積.,解析(1)證明:PE=2DE,F為PE的中點, E為DF的中點. 連接BD,與AC的交點為O,連接OE. 四邊形ABCD為矩形,O為BD中點. BFOE. 又OE平面ACE,BF平面ACE,BF平面ACE. (2)側(cè)棱PA底面ABCD,且四邊形ABC
5、D為矩形. CDPA,CDAD. 又PAAD=A,PA,AD平面PAD,CD平面PAD.,三棱錐P-ACE的體積VP-ACE=VC-PAE =SPAE|CD|=SPAD|CD| =211=.,題型二立體幾何中的翻折問題,例2(2018江蘇高考信息預(yù)測)如圖1,在平面多邊形BCDEF中,四邊形ABCD為正方形,EFAB,AB=2EF=2,沿著AB將圖形折成圖2,其中AED=90,AE=ED,H為AD的中點.,(1)求證:EHBD; (2)求四棱錐D-ABFE的體積.,解析(1)證明:由題可知,ABEA,ABAD,且EAAD=A,EA,AD平面AED. 所以AB平面AED. 因為EH平面AED,所
6、以ABEH. 因為AE=ED,H是AD的中點,所以EHAD. 又ABAD=A,AB,AD平面ABCD,所以EH平面ABCD. 又因為BD平面ABCD,所以EHBD. (2)VD-ABFE=VE-ABD+VB-DEF. 其中VE-ABD=ABADEH=221=.,因為=,且VB-DFC=VF-BCD, 所以VB-DEF=VB-DFC=VF-BCD, 所以VD-ABFE=VE-ABD+VB-DEF=+221=1.,【方法歸納】平面圖形翻折問題的求解方法: 解決與折疊有關(guān)問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變量和不變量,一般情況下,線段的長度是不變量,而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化,抓住不變量是解決問題的突破口.
7、在解決問題時,要綜合考慮折疊前后的圖形,既要分析折疊后的圖形,也要分析折疊前的圖形.,2-1如圖所示,四邊形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,將ABD沿BD折起,記折起后A的位置為點P,且平面PBD平面BCD(如圖). 求證:(1)CD平面PBD;(2)平面PBC平面PDC.,證明(1)AD=AB,BAD=90, ABD=ADB=45. 又ADBC,DBC=ADB=45. 又DCB=45,BDC=90,即BDDC. 平面PBD平面BCD,平面PBD平面BCD=BD, CD平面PBD. (2)由CD平面PBD得CDBP. 又BPPD,PDCD=D,BP平面PDC, 又
8、BP平面PBC,平面PBC平面PDC.,題型三立體幾何中的探索性問題,例3(2017江蘇揚州中學(xué)高三期中)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面A1ABB1是菱形,且垂直于底面ABC,A1AB=60,E,F分別是AB1,BC的中點. (1)求證:直線EF平面A1ACC1; (2)在線段AB上確定一點G,使平面EFG平面ABC,并給出證明.,解析(1)證明:連接A1C,A1B. 側(cè)面A1ABB1是菱形,E是AB1的中點, E也是A1B的中點, 又F是BC的中點,EFA1C. A1C平面A1ACC1,EF平面A1ACC1, 直線EF平面A1ACC1.,(2)當=時,平面EFG平面ABC, 證
9、明如下:連接EG,FG. 側(cè)面A1ABB1是菱形,且A1AB=60,,A1AB是等邊三角形. E是A1B的中點,=, EGAB. 平面A1ABB1平面ABC, 且平面A1ABB1平面ABC=AB, EG平面ABC. 又EG平面EFG,平面EFG平面ABC.,【方法歸納】立體幾何中的探索性問題主要是對平行、垂直關(guān)系的探究以及對條件和結(jié)論不完備的開放性問題的探究,解決這類問題一般根據(jù)探索性問題的設(shè)問,假設(shè)其存在并探索出結(jié)論,然后在這個假設(shè)下進行推理論證,若得到合乎情理的結(jié)論,則肯定假設(shè),若得到矛盾的結(jié)論,則否定假設(shè).,3-1(2017江蘇無錫模擬)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E
10、是棱DD1的中點. (1)證明:平面ADC1B1平面A1BE; (2)在棱C1D1上是否存在一點F,使B1F平面A1BE?證明你的結(jié)論.,解析(1)證明:因為立體圖形ABCD-A1B1C1D1為正方體,所以B1C1平面ABB1A1, 因為A1B平面ABB1A1,所以B1C1A1B. 又因為A1BAB1,B1C1AB1=B1,所以A1B平面ADC1B1. 因為A1B平面A1BE,所以平面ADC1B1平面A1BE. (2)當點F為C1D1的中點時,B1F平面A1BE.證明如下: 如圖,連接OE,EF,,易知EFC1D,且EF=C1D. 又因為B1OC1D且B1O=C1D, 所以EFB1O且EF=B1O,,所以四邊形B1OEF為平行四邊形, 所以B1FOE. 又因為B1F平面A1BE,OE平面A1BE, 所以B1F平面A1BE.,
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