【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理學(xué)案 理 新人教A版

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1、 第十章　計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布 學(xué)案63　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個(gè)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題． 自主梳理 1．分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法． 2．分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法． 3．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，都是涉及完成一件事的不同

2、方法的種數(shù)，它們的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與“分類”有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與“分步”有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成，從思想方法的角度看，分類加法計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用是將一個(gè)問題進(jìn)行“分類”思考，分步乘法計(jì)數(shù)原理是將問題進(jìn)行“分步”思考． 自我檢測(cè) 1．(2009·北京)用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．324 B．328 C．360 D．648 2. 如圖小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)

3、間內(nèi)可以通過的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)B向結(jié)點(diǎn)A傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為(　　) A．26 B．24 C．20 D．19 3．(2011·青島月考)某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，則該外商不同的投資方案有(　　) A．16種 B．36種 C．42種 D．60種 4．(2010·湖北)現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是(　　) A．56 B．65 C. D．6×5×4×3×2

4、5. 如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同著色方法共有________種．(以數(shù)字作答) 6．(2011·泉州調(diào)研)集合A含有5個(gè)元素，集合B含有3個(gè)元素．從A到B可有________個(gè)不同映射． 探究點(diǎn)一　分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 例1　在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？ 變式遷移1　方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么這樣的橢圓有多少個(gè)？

5、 探究點(diǎn)二　分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 例2　(2011·黃山模擬)乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，求不同的出場(chǎng)安排共有多少種？ 變式遷移2　有0、1、2、…、8這9個(gè)數(shù)字． (1)用這9個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，共有多少個(gè)不同的四位數(shù)？ (2)用這9個(gè)數(shù)字組成四位密碼，共有多少個(gè)不同的四位密碼？ 探究點(diǎn)三　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 例3　如圖所示，花壇內(nèi)有五個(gè)花池，有五種不同顏色的花卉可供栽種，每個(gè)花池內(nèi)只能種

6、 同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則最多的栽種方案有(　　) A．180種 B．240種 C．360種 C．420種 變式遷移3　 如圖所示為一電路圖，從A到B共有________條不同的線路可通電． 分類討論思想 例　(12分)從1到20這20個(gè)正整數(shù)中，每次取出3個(gè)，問：它們可以組成多少組不同的等差數(shù)列． 多角度審題　本題是一道計(jì)數(shù)原理與等差數(shù)列的綜合題，能構(gòu)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)有很多，到底如何取這三個(gè)數(shù)才能準(zhǔn)確的、不重、不漏的找出所有能構(gòu)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)是本題的難點(diǎn)． 【答題模板】 解　依題意，要使這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差d的取值

7、可以為±1，±2，…，±9，因此分18類．[3分] 當(dāng)d＝±1時(shí)，可以組成36組不同的等差數(shù)列； 當(dāng)d＝±2時(shí)，可以組成32組不同的等差數(shù)列； …； 當(dāng)d＝±9時(shí)，可以組成4組不同的等差數(shù)列．[9分] 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有36＋32＋28＋…＋8＋4 ＝180(組)不同的等差數(shù)列．[12分] 【突破思維障礙】 由于取出的三個(gè)數(shù)必須構(gòu)成等差數(shù)列，因此，按照公差的大小來分類能使取出的三個(gè)數(shù)不重不漏，那么每一類型有多少個(gè)三位數(shù)，由于從前往后取，關(guān)鍵看取到最后，由各數(shù)列的特點(diǎn)，就能看出有幾個(gè)數(shù)列，例如：當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為1時(shí)，能構(gòu)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為1 2 3,2 3 4,3 4

8、 5，…，18 19 20，查個(gè)數(shù)時(shí)，看每組數(shù)的第一個(gè)數(shù)，分別為1,2,3，…，18，因此共18個(gè)等差數(shù)列；再例如當(dāng)公差為2時(shí)，取到最后剩17,19, 20.但前面能構(gòu)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)分別為1 3 5,2 4 6,3 5 7,4 6 8，…，16 18 20，看每組數(shù)的第一個(gè)數(shù)分別為1,2,3，…，16，共16個(gè)等差數(shù)列． 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 容易遺忘公差為－1，－2，…，－9時(shí)的情況，有可能找不到公差每增加1個(gè)單位，等差數(shù)列個(gè)數(shù)減少4個(gè)的規(guī)律． 1．關(guān)于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用范圍：(1)如果完成一件事情有幾類辦法，這幾類辦法彼此之間相互獨(dú)立，無論哪一類辦法中的哪一種方法都能獨(dú)立完成這件事

9、，求完成這件事的方法種數(shù)時(shí)就用分類加法計(jì)數(shù)原理，分類加法計(jì)數(shù)原理可利用“并聯(lián)電路”來理解．(2)如果完成一件事情要分幾個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個(gè)步驟各有若干種不同的辦法，求完成這件事的方法種數(shù)時(shí)就用分步乘法計(jì)數(shù)原理，分步乘法計(jì)數(shù)原理可利用“串聯(lián)電路”理解． 2．應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的注意事項(xiàng)：(1)要真正理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步．(2)分類時(shí)要做到不重不漏．(3)對(duì)于復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題，可以分類、分步綜合應(yīng)用． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2011·合肥調(diào)研)從1到10

10、的正整數(shù)中，任意抽取兩個(gè)相加所得的和為奇數(shù)的不同情形的種數(shù)是(　　) A．10 B．15 C．20 D．25 2．某電腦用戶計(jì)劃使用不超過500元的資金購買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有(　　) A．5種 B．6種 C．7種 D．8種 3．(2010·佛山模擬)某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個(gè)號(hào)中抽出7個(gè)號(hào)為一注，每注2元，某人想從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從11至20中選2個(gè)選續(xù)的號(hào)，從21至30中選1個(gè)號(hào)，從31至36中選1個(gè)號(hào)組成一注，則這個(gè)人把這種特殊要求的號(hào)

11、買全，至少要(　　) A．3 360元 B．6 720元 C．4 320元 D．8 640元 4．(2011·杭州月考)如果一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字既大于百位數(shù)字也大于個(gè)位數(shù)字，則這樣的三位數(shù)共有(　　) A．240個(gè) B．285個(gè) C．231個(gè) D．243個(gè) 5．4位同學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對(duì)得21分，答錯(cuò)得－21分；選乙題答對(duì)得7分，答錯(cuò)得－7分．若4位同學(xué)的總分為0，則這4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是(　　) A．48 B．44 C．36 D．24 二、填空題(每小

12、題4分，共12分) 6. 一植物園參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線種數(shù)共有________種． 7．(2011·安慶模擬)計(jì)劃展出6幅不同的畫，其中1幅水彩畫，2幅油畫，3幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列法有______種． 8．電視臺(tái)在“歡樂今宵”節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中存放著先后兩次競(jìng)猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾，若先確定一名幸運(yùn)之星，再從兩信箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴，有________種不同的結(jié)果． 三、解答題(共38分) 9．(1

13、2分)(2011·開封模擬)從{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}中任選三個(gè)不同元素作為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，問能組成多少條拋物線經(jīng)過原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一象限或第三象限？ 10．(12分)用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的比2 000大的四位偶數(shù)． 11．(14分)有一個(gè)圓形區(qū)域被3條直徑分成6塊(如圖所示)，在每一塊區(qū)域內(nèi)種植植物，相鄰的兩塊區(qū)域種植不同的植物，現(xiàn)有4種不同的植物選擇，一共有多少種不同的種植方法．

14、學(xué)案63　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 自主梳理 1．m＋n　2.m×n 自我檢測(cè) 1．B　[若組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，可分為兩種情況：①當(dāng)個(gè)位上是0時(shí)，共有9×8＝72(種)情況；②當(dāng)個(gè)位上是不為0的偶數(shù)時(shí)，共有4×8×8＝256(種)情況．綜上，共有72＋256＝328(種)情況．] 2．D　[本題只要類比成供水系統(tǒng)中水管的最大流量問題即可．由B到A，單位時(shí)間內(nèi)第一條網(wǎng)線傳遞的最大信息量為3，第二條網(wǎng)線傳遞的最大信息量為4，第三條網(wǎng)線傳遞的最大信息量為6，第四條網(wǎng)線傳遞的最大信息量為6，由分類加法計(jì)數(shù)原理，得3＋4＋6＋6＝19.] 3．D　[某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且

15、在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，則可分兩類：第一類，在兩個(gè)城市分別投資1個(gè)項(xiàng)目、2個(gè)項(xiàng)目，此時(shí)有3×4×3＝36(種)方案；第二類，在三個(gè)城市各投資1個(gè)項(xiàng)目，有4×3×2＝24(種)方案，共計(jì)有36＋24＝60(種)方案．] 4．A　[由分步乘法計(jì)數(shù)原理得5×5×5×5×5×5＝56.] 5．72 解析　本題根據(jù)題意，可分類求解：第一類，用三種顏色著色，有4×3×2＝24(種)方法；第二類，用四種顏色著色，有2×4×3×2＝48(種)方法． 從而共有24＋48＝72(種)方法． 6．243 解析　A中的任一元素去選擇B的某一元素都有3種方法，且要完成一個(gè)映射應(yīng)該使A中的每一個(gè)元素

16、在B中都能找到唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3×3×3×3×3＝35＝243(個(gè))． 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　→ 應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，首先根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類應(yīng)滿足：完成一件事的任何一種方法，必屬于某一類且僅屬于某一類． 解　根據(jù)題意，十位數(shù)上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目要求的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè))． 變式遷移1　解　以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，分為五類． 第一類：m＝1時(shí)，使n

17、>m，n有6種選擇； 第二類：m＝2時(shí)，使n>m，n有5種選擇； 第三類：m＝3時(shí)，使n>m，n有4種選擇； 第四類：m＝4時(shí)，使n>m，n有3種選擇； 第五類：m＝5時(shí)，使n>m，n有2種選擇． ∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20(種)方法，即有20個(gè)符合題意的橢圓． 例2　解題導(dǎo)引　→ “分步”是乘法原理的標(biāo)志．要注意在同一類中合理分步的幾個(gè)原則：分步標(biāo)準(zhǔn)必須一致；分步要做到步驟關(guān)聯(lián)，步驟連續(xù)，步驟獨(dú)立，確保對(duì)每一類事件的分步不重不漏．這樣才能保證使用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)的正確性． 解　按出場(chǎng)位置順序逐一安排．第一位置隊(duì)員的安排有3種方法；第二位置隊(duì)員的安排有7種方法；第三位置隊(duì)

18、員的安排有2種方法；第四位置隊(duì)員的安排有6種方法；第五位置隊(duì)員的安排只有1種方法． 由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的出場(chǎng)安排方法有3×7×2×6×1＝252(種)． 變式遷移2　解　(1)未強(qiáng)調(diào)四位數(shù)的各位數(shù)字不重復(fù)，只需首位不為0，依次確定千、百、十、個(gè)位，各有8、9、9、9種方法， ∴共能組成8×93＝5 832(個(gè))不同的四位數(shù)． (2)每一位上的數(shù)字都有9種方法， ∴共能組成94＝6 561(個(gè))不同的四位密碼． 例3　解題導(dǎo)引　→→→ (1)對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．

19、 (2)當(dāng)兩個(gè)原理混合使用時(shí)，一般是先分類，在每類方法里再分步． D　[由題意知，最少用三種顏色的花卉，按照花卉選種的顏色可分為三類方案，即用三種顏色，四種顏色，五種顏色． ①當(dāng)用三種顏色時(shí)，花池2、4同色和花池3、5同色，此時(shí)共有A種方案． ②當(dāng)用四種顏色時(shí)，花池2、4同色或花池3、5同色，故共有2A種方案． ③當(dāng)用五種顏色時(shí)有A種方案． 因此所有栽種方案為A＋2A＋A＝420(種)．] 變式遷移3　8 解析　按上、中、下三條線路可分為三類：上線路中有3條，中線路中有1條，下線路中有2×2＝4(條)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有3＋1＋4＝8(條)． 課后練習(xí)區(qū) 1．D　[當(dāng)

20、且僅當(dāng)偶數(shù)加上奇數(shù)后和為奇數(shù)，從而不同情形有5×5＝25(種)．] 2．C　[由于本題種數(shù)不多，可用列舉法具體寫出：3×60＋2×70；4×60＋2×70；5×60＋2×70；6×60＋2×70；3×60＋3×70；4×60＋3×70；3×60＋4×70，共7種不同的選購方式．] 3．D　[從01至10的三個(gè)連號(hào)的個(gè)數(shù)有8種；從11至20的兩個(gè)連號(hào)的個(gè)數(shù)有9種；從21至30的單選號(hào)的個(gè)數(shù)有10種，從31至36的單選號(hào)的個(gè)數(shù)有6種，故總的選法有8×9×10×6＝4 320(種)，可得需要錢數(shù)為8 640元．] 4．A　[當(dāng)十位數(shù)字是9時(shí)，百位數(shù)字有8種取法，個(gè)位數(shù)字有9種取法，此時(shí)取法種數(shù)

21、為8×9；當(dāng)十位數(shù)字是8時(shí)，百位數(shù)字有7種取法，個(gè)位數(shù)字有8種取法，此時(shí)取法種數(shù)為7×8，依此類推，直到當(dāng)十位數(shù)字是2時(shí)，百位數(shù)字有1種取法，個(gè)位數(shù)字有2種取法，此時(shí)取法種數(shù)為1×2，所以總的個(gè)數(shù)為1×2＋2×3＋3×4＋…＋8×9＝240.] 5．C　[由題意總分為0分三類：第一類得分為21,21，－21，－21，第二類為7,7，－7，－7，第三類為21，－21,7，－7.每類中4位同學(xué)的不同得分可認(rèn)為4個(gè)分?jǐn)?shù)填4個(gè)空，每空填一個(gè)分?jǐn)?shù)，前兩類中各有C種填法，第三類有4×3×2×1＝24(種)填法，總共有6＋6＋24＝36(種)．] 6．48 解析　如圖所示，在A點(diǎn)可先參觀區(qū)域1，也可先

22、參觀區(qū)域2或3，共有3種不 同選法．每種選法中又有2×2×2×2＝16(種)不同路線． ∴共有3×16＝48(種)不同的參觀路線． 7．24 解析　先把每種品種的畫看成一個(gè)整體，而水彩畫只能放在中間，又油畫與國畫放在兩端有2種放法，再考慮2幅油畫本身排放有2種方法，3幅國畫本身排放有3×2＝6(種)方法，故不同的陳列法有2×2×6＝24(種)． 8．28 800 解析　分兩類：(1)幸運(yùn)之星在甲箱中抽，先定幸運(yùn)之星，再在兩箱中各定一名幸運(yùn)伙伴有30×29×20＝17 400(種)結(jié)果； (2)幸運(yùn)之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(種)結(jié)果，因此共有不同結(jié)果

23、17 400＋11 400＝28 800(種)． 9．解　拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，得c＝0， 當(dāng)頂點(diǎn)在第一象限時(shí)，a<0，－>0， 即則有3×4＝12(種)；(6分) 當(dāng)頂點(diǎn)在第三象限時(shí)，a>0，－<0， 即 則有4×3＝12(種)；(10分) 共計(jì)有12＋12＝24(種)．(12分) 10．解　完成這件事有3類方法： 第一類是用0做結(jié)尾的比2 000大的4位偶數(shù)，它可以分三步去完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2,3,4,5可以選擇，有4種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，還有4個(gè)數(shù)字可供選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，還有3種選法．依據(jù)分

24、步計(jì)數(shù)原理，這類數(shù)的個(gè)數(shù)有4×4×3＝48個(gè)．(4分) 第二類是用2做結(jié)尾的比2 000大的4位偶數(shù)，它可以分三步去完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2,1,0，只有3個(gè)數(shù)字可以選擇，有3種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，在去掉已經(jīng)確定的首尾兩數(shù)字之后，還有4個(gè)數(shù)字可供選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，還有3種選法．依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理， 這類數(shù)的個(gè)數(shù)有3×4×3＝36個(gè)．(8分) 第三類是用4做結(jié)尾的比2 000大的4位偶數(shù)，其步驟同第二類．(10分) 所以所求無重復(fù)數(shù)字的比2 000大的四位偶數(shù)有4×4×3＋3×4×3＋3×4×3＝120個(gè)．(12分) 11．解　分3類考慮．第一類：A，C，E種同1種植物，有4種種法，當(dāng)A，C，E種好后，B，D，F(xiàn)從余下3種植物中選1種，各有3種種法，一共有4×3×3×3＝108(種)種法；(4分) 第二類：A，C，E種2種植物，有A種種法，當(dāng)A，C種同一種植物時(shí)，B有3種種法，D，F(xiàn)有2種種法，若C，E或E，A種同一種植物，種法相同，因此，共有A×3×(3×2×2)＝432(種)種法；(8分) 第三類：A，C，E種3種植物，有A種種法，這時(shí)B，D，F(xiàn)各有2種種法，共有A×23＝192(種)種法．由分類計(jì)數(shù)原理知，共有108＋432＋192＝732(種)種法． (14分) 8