（贛豫陜）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.3 球的表面積和體積課件 北師大版必修2.ppt

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1、7.3球的表面積和體積,第一章7簡單幾何體的面積和體積,,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解球的表面積與體積公式，并能應(yīng)用它們求球的表面積及體積. 2.會求解組合體的體積與表面積.,,,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),,知識點(diǎn)一球的截面,思考什么叫作球的大圓與小圓？ 答案平面過球心與球面形成的截線是大圓. 平面不過球心與球面形成的截線是小圓.,梳理用一個平面去截半徑為R的球O的球面得到的是 ，有以下性質(zhì)： (1)若平面過球心O，則截線是以 為圓心的球的大圓. (2)若平面不過球心O，如圖，設(shè)OO，垂足為O，記OOd，對于平面與球面的任意一個公共點(diǎn)P，都滿足OOOP，則有OP ，即此時(shí)

2、截線是以 為圓心，以r 為半徑的球的小圓.,O,圓,O,,知識點(diǎn)二球的切線,(1)定義：與球只有 公共點(diǎn)的直線叫作球的切線.如圖，l為球O的切線，M為切點(diǎn). (2)性質(zhì)：球的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑； 過球外一點(diǎn)的所有切線的長度都 .,相等,唯一,,知識點(diǎn)三球的表面積與體積公式,R3,4R2,思考辨析 判斷正誤 1.球的表面積等于它的大圓面積的2倍.( ) 2.兩個球的半徑之比為12，則其體積之比為14.( ) 3.球心與其截面圓的圓心的連線垂直于截面.( ),,,,,題型探究,例1(1)某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_____.,,類型一球的表面積與體積,答案,3,解析

3、,解析由三視圖知該幾何體為半球，,(2)已知球的表面積為64，求它的體積.,解答,解設(shè)球的半徑為R，則4R264，解得R4，,反思與感悟(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解. (2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩點(diǎn)，計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了. (3)由三視圖計(jì)算球或球與其他幾何體的組合體的表面積或體積，最重要的是還原組合體，并弄清組合體的結(jié)構(gòu)特征和三視圖中數(shù)據(jù)的含義.根據(jù)球與球的組合體的結(jié)構(gòu)特征及數(shù)據(jù)計(jì)算其表面積或體積.此時(shí)要特別注意球的三視圖都是直徑相同的圓.,跟蹤訓(xùn)練1(1)已知球的體積為 ，則其表

4、面積為______.,解析,答案,100,解得R5， 所以球的表面積S4R2452100.,(2)某器物的三視圖如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知該器物的體積是,解析,,答案,解析由三視圖可知，此幾何體上部是直徑為2的球，下部是底面直徑為2，高為 的圓錐，,,類型二球的截面,例2在半徑為R的球面上有A，B，C三點(diǎn)，且ABBCCA3，球心到ABC所在截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積.,解答,解依題意知，ABC是正三角形， 所以球的表面積S4R216.,反思與感悟(1)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題. (2)解題時(shí)要注意借助球半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d

5、構(gòu)成的直角三角形，即R2d2r2.,跟蹤訓(xùn)練2如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為,解析,,答案,解析利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解. 如圖，作出球的一個截面，則MC862(cm)， 設(shè)球的半徑為R cm，則R2OM2MB2(R2)242， R5，,解析長方體外接球直徑長等于長方體體對角線長， 所以球的表面積S4R214.,,類型三與球有關(guān)的組合體,命題角度1球的內(nèi)接或外切柱體問題 例3(1)一個長方體的各個頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱的長分別

6、為1,2,3，則此球的表面積為_____.,14,解析,答案,解析由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的， 故可得球的直徑為2，故半徑為1，,(2)將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為____.,解析,答案,反思與感悟(1)正方體的內(nèi)切球 球與正方體的六個面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，若正方體的棱長為a，此時(shí)球的半徑為r1 . (2)長方體的外接球 長方體的八個頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r2

7、 .,,答案,解析,解如圖所示，將正四面體補(bǔ)形成一個正方體.設(shè)正四面體的棱長為a. 又球的直徑是正方體的體對角線，設(shè)球的半徑是R，,命題角度2球的內(nèi)接錐體問題 例4若棱長為a的正四面體的各個頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，求球的表面積.,解答,解把正四面體放在正方體中，,跟蹤訓(xùn)練4球的一個內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為________.,解析,答案,解析設(shè)球的半徑為R， 當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心兩側(cè)時(shí)，過球心及內(nèi)接圓錐的軸作軸截面如圖，,達(dá)標(biāo)檢測,解析設(shè)圓柱的高為h， 得h4R.,1.把3個半徑為R的鐵球熔成一個底面半徑為R的圓柱，則圓柱

8、的高為 A.R B.2R C.3R D.4R,,1,2,3,4,5,答案,解析,答案,解析,解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為O， M為截面圓上任一點(diǎn)，,1,2,3,4,5,,2,3,3.如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是 A.9 B.10 C.11 D.12,4,5,1,答案,,解析,解析由三視圖可知，該幾何體的上部分是半徑為1的球，下部分是底面半徑為1，高為3 的圓柱. 由面積公式可得該幾何體的表面積S41221221312.,4.兩個球的表面積之差為48，它們的大圓周長之和為12，則這兩個球的半徑之差為 A.1 B.2 C.3 D.4,解析設(shè)兩球半徑分別為R1，R2，且R1R2， 所以R1R22.,解析,2,3,4,5,1,答案,,表面積為S14R2，半徑增加為2R后， 表面積為S24(2R)216R2. 即體積變?yōu)樵瓉淼?倍，表面積變?yōu)樵瓉淼?倍.,5.若球的半徑由R增加為2R，則這個球的體積變?yōu)樵瓉淼腳__倍，表面積變?yōu)樵瓉淼腳__倍.,2,3,4,5,1,4,答案,8,解析,1.利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. 2.解決球與其他幾何體的切接問題時(shí)，通常先作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)在平面圖形中，再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.,規(guī)律與方法,