2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識(shí)點(diǎn) 函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

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1、 函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則 前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。 ⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則 ?? 若已知x→x0(或x→∞)時(shí)，. 則：? ? ???? ?????? ??? 推論：???? 在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)求極限。 例題：求 解答： 例題：求 此題如果像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來(lái)。 解答： 注：通過(guò)此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分

2、母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。 函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則 學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來(lái)學(xué)習(xí)一下左、右的概念。 我們先來(lái)看一個(gè)例子： 例：符號(hào)函數(shù)為 對(duì)于這個(gè)分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時(shí)函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。 定義：如果x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無(wú)限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限.記： 如果x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無(wú)限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限.記： 注：只有當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時(shí)有

3、極限 函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則 ?? 準(zhǔn)則一：對(duì)于點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點(diǎn)本身可以除外(或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的一切x)有≤≤，且， 那末存在，且等于A 注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則. 準(zhǔn)則二：?jiǎn)握{(diào)有界的函數(shù)必有極限. 注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界 兩個(gè)重要的極限 ?? 一： 注：其中e為無(wú)理數(shù)，它的值為：e=2.718281828459045... 二： 注：在此我們對(duì)這兩個(gè)重要極限不加以證明. 注：我們要牢記這兩個(gè)重要極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們. 例題：求 解答：令，則x=-2t，因?yàn)閤→∞，故t→∞， 則 注：解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量

4、的趨向情況，象x→∞時(shí)，若用t代換1/x，則t→0. 無(wú)窮大量和無(wú)窮小量 無(wú)窮大量 我們先來(lái)看一個(gè)例子： 已知函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，可知，我們把這種情況稱為趨向無(wú)窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當(dāng) 時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大量。 記為：（表示為無(wú)窮大量，實(shí)際它是沒有極限的） 同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時(shí)，無(wú)限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng)x充分大時(shí)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)是無(wú)窮大量，記為： 無(wú)窮小量 以零為極限的變量

5、稱為無(wú)窮小量。 定義：設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M)，使得對(duì)于適合不等式(或)的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)當(dāng)(或x→∞)時(shí) 為無(wú)窮小量. 記作：(或) 注意：無(wú)窮大量與無(wú)窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0可作為無(wú)窮小量的唯一常量。無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的區(qū)別是：前者無(wú)界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的. 關(guān)于無(wú)窮小量的兩個(gè)定理 定理一：如果函數(shù)在(或x→∞)時(shí)有極限A，則差是當(dāng)(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮小量，反之亦成立。 定理二：無(wú)窮小量的有利運(yùn)算定理 a)：有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是

6、無(wú)窮小量； b)：有限個(gè)無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小量；c)：常數(shù)與無(wú)窮小量的積也是無(wú)窮小量. 無(wú)窮小量的比較 通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無(wú)窮小量的和、差及乘積仍舊是無(wú)窮小.那么兩個(gè)無(wú)窮小量的商會(huì)是怎樣的呢？好！接下來(lái)我們就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無(wú)窮小量的比較。 定義：設(shè)α，β都是時(shí)的無(wú)窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零， a)：如果，則稱α是β的高階無(wú)窮小或β是α的低階無(wú)窮小； b)：如果，則稱α和β是同階無(wú)窮??； c)：如果，則稱α和β是等價(jià)無(wú)窮小，記作：α∽β(α與β等價(jià)) 例：因?yàn)椋援?dāng)x→0時(shí)，x與3x是同階無(wú)窮??； 因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，x2是3x

7、的高階無(wú)窮小； 因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，sinx與x是等價(jià)無(wú)窮小。 等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì) 設(shè)，且存在，則. 注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化求極限問(wèn)題。 例題：1.求 ??解答：當(dāng)x→0時(shí)，sinax∽ax，tanbx∽bx，故： 例題： 2.求 解答： 注： 注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無(wú)窮小變換時(shí)，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子。 函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性 在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性 在定義函數(shù)的

8、連續(xù)性之前我們先來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念——增量 設(shè)變量x從它的一個(gè)初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：△x=x2-x1 增量△x可正可負(fù). 我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子：函數(shù)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時(shí)，函數(shù)y相應(yīng)地從變到，其對(duì)應(yīng)的增量為： 這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖： 現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)△x趨向于零時(shí)，函數(shù)y對(duì)應(yīng)的增量△y也趨向于零，即：，那末就稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)。 函數(shù)連續(xù)性的定義： 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn). 下面我們結(jié)合著

9、函數(shù)左、右極限的概念再來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)b左連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)a右連續(xù). 一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。 注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù). 注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。 通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在

10、某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)問(wèn)題：函數(shù)的間斷點(diǎn) 函數(shù)的間斷點(diǎn) 定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn). ???? 它包括三種情形： a)：在x0無(wú)定義； b)：在x→x0時(shí)無(wú)極限； c)：在x→x0時(shí)有極限但不等于； 下面我們通過(guò)例題來(lái)學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型： 例1： 正切函數(shù)在處沒有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，因，我們就稱為函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)； 例2：函數(shù)在點(diǎn)x=0處沒有定義；故當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無(wú)限多次，我們就稱點(diǎn)x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)； ? 例3：函數(shù)當(dāng)x→0時(shí)，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=0時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來(lái)如下: 間斷點(diǎn)的分類 我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn). 可去間斷點(diǎn) 若x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但極限存在，那末x0是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但≠。我們令，則可使函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)x0稱為可去間斷點(diǎn)。 - 7 -