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1、7.3.1 線性變換的矩陣,設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，令是V的一個(gè)線性變換，取定V的一個(gè)基 令,7.3 線性變換和矩陣,設(shè),n階矩陣A 叫做線性變換關(guān)于基 的矩陣. 簡(jiǎn)稱的矩陣.,(1),上面的表達(dá)式常常寫出更方便的形式:,例題,7.3.2 坐標(biāo)變換,設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n 維向量空間, 是它的一個(gè)基, 關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)是 而()的坐標(biāo)是 問: 和 之間有什么關(guān)系?,設(shè),因?yàn)槭蔷€性變換，所以,（2）,將（1）代入（2）得,最后，等式表明， 的坐標(biāo)所組成的列是,綜合上面所述, 我們得到坐標(biāo)變換公式：,定理7.3.1 令V是數(shù)域F上一個(gè)n 維向量空間，是V的一個(gè)線性變換，而關(guān)于V的一個(gè)基 的矩
2、陣是,如果V中向量關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)是 ，而()的坐標(biāo)是 ，,那么,例1 在空間 內(nèi)取從原點(diǎn)引出的兩個(gè)彼此正交的單位向量 作為 的基.令是將 的每一向量旋轉(zhuǎn)角的一個(gè)旋轉(zhuǎn). 是 的一個(gè)線性變換.我們有,所以關(guān)于基 的矩陣是,設(shè) ，它關(guān)于基 的坐標(biāo)是 ,而 的坐標(biāo)是 .那么,7.3.3 矩陣唯一確定線性變換,引理7.3.1 設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n 維向量空間， 是V的一個(gè)基，那么對(duì)于V 中任意n個(gè)向量 ，恰有 V 的一個(gè)線性變換，使得:,我們證明，是V的一個(gè)線性變換. 設(shè),那么,于是,設(shè) 那么,這就證明了是V的一個(gè)線性變換. 線性變換顯然滿足定理所要求的條件：,如果是V的一個(gè)線性變換，且,那么對(duì)于任意
3、,從而 ,定理7.3.2 設(shè)V 是數(shù)域 F 上一個(gè)n 維向量空間， 是V 的一個(gè)基，對(duì)于V 的每一個(gè)線性變換，令關(guān)于基 的矩陣A與它對(duì)應(yīng)，這樣就得到V 的全體線性變換所成的集合 L(V)到F上全體n 階矩陣所成的集合 的一個(gè)雙射，并且如果 ,而 ， 則 (3) (4),證 設(shè)線性變換關(guān)于基 的矩陣是A.那么 是 的一個(gè)映射.,是F上任意一個(gè)n階矩陣. 令,由引理7.3.2，存在唯一的 使,反過來，設(shè),顯然關(guān)于基 的矩陣就是A. 這就證明了如上建立的映射是 的雙射.,設(shè) 我們有,由于是線性變換, 所以,因此,所以關(guān)于基 的矩陣就是AB. （4）式成立，至于（3）式成立，是顯然的.,推論7.3.1
4、 設(shè)數(shù)域F上n 維向量空間V 的一個(gè)線性變換關(guān)于V 的一個(gè)取定的基的矩陣是A，那么可逆必要且只要A可逆，并且 關(guān)于這個(gè)基的矩陣就是 .,證 設(shè)可逆. 令 關(guān)于所取定的基的矩陣是B. 由（4），,然而單位變換關(guān)于任意基的矩陣都是單位矩陣 I .,所以AB = I . 同理 BA = I . 所以,我們需要對(duì)上面的定理7.3.1和定理7.3.2的深刻意義加以說明:,1. 取定n 維向量空間V的一個(gè)基之后, 在映射: 之下, (作為向量空間),研究一個(gè)抽象的線性變換, 就可以轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)具體的矩陣. 也就是說, 線性變換就是矩陣.以后,可以通過矩陣來研究線性變換,也可以通過線性變換來研究矩陣.,2
5、. 我們知道, 數(shù)域F上一個(gè)n 維向量空間V 同構(gòu)于 , V上的線性變換,轉(zhuǎn)化為 上一個(gè)具體的變換:,也就是說, 線性變換都具有上述形式.,7.3.4 線性變換在不同基下的矩陣相似矩陣,定義：設(shè) A，B 是數(shù)域 F 上兩個(gè) n 階矩陣. 如果存在F上一個(gè) n 階可逆矩陣 T 使等式成立，那么就說B與A相似，記作： .,n階矩陣的相似關(guān)系具有下列性質(zhì)：,1. 自反性：每一個(gè)n階矩陣A都與它自己相似，因?yàn)?2. 對(duì)稱性：如果 ，那么 ；因?yàn)橛?事實(shí)上，由 得,設(shè)線性變換關(guān)于基 的矩陣是 A , 關(guān)于基 的矩陣是 B , 由基 到基 的過渡矩陣T, 即:,7.3 線性變換和矩陣,7.3.1 線性變換的矩陣 一、內(nèi)容分布 7.3.2 坐標(biāo)變換 7.3.3 矩陣唯一確定線性變換 7.3.4 線性變換在不同基下的矩陣相似矩陣 二、教學(xué)目的: 1熟練地求出線性變換關(guān)于給定基的矩陣，以及給定n 階矩陣和基，求出關(guān)于這個(gè)基矩陣為的線性變換 2由向量關(guān)于給定基的坐標(biāo)，求出()關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo) 3已知線性變換關(guān)于某個(gè)基的矩陣，熟練地求出關(guān)于另一個(gè)基的矩陣。 三、重點(diǎn)難點(diǎn): 線性變換和矩陣之間的相互轉(zhuǎn)換, 坐標(biāo)變換, 相似矩陣。,
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