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1、7-1 超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù),1,第七章 力 法,7-2 力法基本原理,7-3 力法舉例,7-4 力法簡化計(jì)算,7-5 溫度變化及有彈簧支座結(jié)構(gòu)的計(jì)算,7-6 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算及力法計(jì)算校核,7-1 超靜定結(jié)構(gòu)的組成 和超靜定次數(shù),超靜定結(jié)構(gòu)有如下特征: 1) 從幾何構(gòu)造分析的觀點(diǎn)來看,超靜定結(jié)構(gòu)是有多余約束的幾何不變體系。 2) 若只考慮靜力平衡條件,超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和支座反力不能夠由平衡方程唯一確定,還要補(bǔ)充位移條件。,2,一、超靜定結(jié)構(gòu)的組成,若只滿足平衡條件,超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和支座反力可以有無窮多組解答。,3,如下圖超靜定梁,若只滿足平衡條件,支座B的豎向反力可以是
2、任意值。,二、超靜定次數(shù),4,超靜定次數(shù) n = 結(jié)構(gòu)多余約束數(shù)目。,為了確定超靜定次數(shù),通常使用的方法是拆除多余約束,使原結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu),則n等于拆除的多余約束數(shù)。,規(guī)則: 1)去掉或切斷一根鏈桿,相當(dāng)于去掉一個(gè)約束; 2)去掉一個(gè)簡單鉸,相當(dāng)于去掉兩個(gè)約束;,5,3)去掉一個(gè)固定支座或切斷一根梁式桿,相當(dāng)于去掉三個(gè)約束; 4)在梁式桿上加一個(gè)簡單鉸,相當(dāng)于去掉一個(gè)約束。,例:,a),原結(jié)構(gòu),6,7,c),d),8,e),f),不要把原結(jié)構(gòu)拆成幾何可變體系。此外,要把超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束全部拆除。,原結(jié)構(gòu),7-2 力法基本原理,9,解超靜定結(jié)構(gòu),除應(yīng)滿足平衡條件外,還必須滿足位移協(xié)調(diào)條件。
3、,一、一次超靜定結(jié)構(gòu)的力法計(jì)算,1. 力法的基本體系和基本未知量,如下圖示超靜定梁,去掉支座B的鏈桿,用相應(yīng)的未知力X1代替,X1稱為力法基本未知量。去掉B支座的多余約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)稱為力法基本結(jié)構(gòu)。,10,11,2. 力法方程,力法方程為,基本體系的位移=原結(jié)構(gòu)的位移,原結(jié)構(gòu)B截面豎向位移,因?yàn)?方程可寫為,12,討論:,1)力法方程是位移方程; 2)方程的物理意義:基本結(jié)構(gòu)在荷載FP和未知量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原結(jié)構(gòu)B支座豎向位移; 3)系數(shù)的物理意義:,基本結(jié)構(gòu)在X1=1作用下沿X1方向的位移;,基本結(jié)構(gòu)在FP作用下沿X1方向的位移。,13,3. 力法計(jì)算,1) 求系數(shù)
4、及自由項(xiàng),14,3) 作內(nèi)力圖,M圖,FQ圖,2) 求未知力X1,15,15,二、多次超靜定結(jié)構(gòu)的力法計(jì)算,下面給出多次超靜定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)在荷載和未知力X分別作用下的位移圖。,16,17,力法方程為,根據(jù)前面給出的位移圖討論力法方程和系數(shù)的物理意義。,主系數(shù):11、22、33恒大于零。,副系數(shù):ij (ij)可能大于、等于或小于零。,18,由位移互等定理:ij= ji,即12= 21, 23= 32, 31= 13。作 圖及MP圖,求出力法方程的系數(shù)和自由項(xiàng),解方程求出力法未知量,然后根據(jù)下式求內(nèi)力:,19,三、超靜定結(jié)構(gòu)支座移動時(shí)的力法計(jì)算,超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生支座移動時(shí)的力法計(jì)算對理解力法的
5、解題思路很有幫助。與靜定結(jié)構(gòu)不同,超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生支座移動時(shí),結(jié)構(gòu)不僅產(chǎn)生變形,而且有內(nèi)力。下面討論超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生支座移動時(shí)力法的解題思路。,原結(jié)構(gòu),(受X1及支座轉(zhuǎn)角共同作用),(只有X1作用,支座轉(zhuǎn)角 對桿端A無影響),,20,(受X1及支座轉(zhuǎn)角共同作用),解:,1)選兩種基本體系如下圖示,2)力法基本方程,位移條件,力法方程,,(只有X1作用,支座轉(zhuǎn)角 對桿端A無影響),21,,3)求系數(shù)和自由項(xiàng),4)求未知力X1,,22,5) 作內(nèi)力圖,在基本體系II中,若X1為逆時(shí)針方向,如下圖示,則力法方程成為:,23,小結(jié):,1)當(dāng)超靜定結(jié)構(gòu)有支座位移時(shí),所取的基本體系上可能保留有支座移動,也可能
6、沒有支座移動。應(yīng)當(dāng)盡量取無支座移動的基本體系。 2)當(dāng)基本體系有支座移動時(shí),自由項(xiàng)按下式求解:,為基本體系由X=1產(chǎn)生的支座反力;,為基本體系的支座位移。,3)當(dāng)超靜定結(jié)構(gòu)有支座移動時(shí),其內(nèi)力與桿件的抗彎剛度EI成正比,EI越大,內(nèi)力越大。,24,例7-2-1 寫出圖示剛架的力法方程并求出系數(shù)iC。,解:,1)取兩種基本體系如下圖示,25,基本體系I,基本體系II,,2) 建立力法方程,,,,,討論方程及系數(shù)的物理意義。,26,3) 求自由項(xiàng),,本例主要討論自由項(xiàng)的求法,其余計(jì)算略去。,27,,7-3 力法舉例,一、連續(xù)梁,28,用力法解連續(xù)梁時(shí),其基本體系是將桿在中間支座處變?yōu)殂q,如下圖所示
7、。,原結(jié)構(gòu) B=0 C=0,29,B=0 B左右截面相對轉(zhuǎn)角等于零。 C=0 C左右截面相對轉(zhuǎn)角等于零。,位移方程,30,1. 力法方程,方程各系數(shù)示于上頁圖中。討論方程和系數(shù)的物理意義。,2. 方程求解,圖、 圖及MP圖見下頁圖示。上述彎矩圖的一個(gè)特征是:彎矩圖局部化。,31,32,將系數(shù)代入力法方程就得到:,解方程得:,3. 作內(nèi)力圖,1) 根據(jù)下式求各截面M值,然后畫M圖。,,,33,2) 根據(jù)M圖求各桿剪力并畫FQ圖。,34,很容易求得CD桿剪力為:,二、超靜定剛架,35,例7-3-1 求圖示剛架M圖。,1. 力法方程,36,2. 方程求解,37,38,將求得的系數(shù)代入力法方程就得到
8、:,解方程得:,,39,3. 討論,1)當(dāng)k=0,即E1I1很小或E2I2很大,則,剛架彎矩圖為:,可見,柱AB相當(dāng)于在橫梁BC的B端提供了固定約束。,,40,2)當(dāng)k=1,剛架彎矩圖如圖a)示。,3)當(dāng)k=,即E1I1很大或E2I2很小。由于柱AB抗彎剛度趨近于零,只提供軸向支撐,故梁BC相當(dāng)于簡支梁,M圖見圖b)。,41,結(jié)論: 在荷載作用下,超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力只與各桿抗彎剛度EI的比值k 相關(guān),而與桿件抗彎剛度EI的絕對值無關(guān)。若荷載不變,只要k 不變,結(jié)構(gòu)內(nèi)力也不變。,三 、超靜定桁架,42,以下圖示桁架為例討論兩種基本體系的處理方法。除注明者外,其余各桿剛度為EA。,43,基本體系I
9、:,力法方程:,力法方程的物理意義是:基本結(jié)構(gòu)在荷載和X1共同作用下,桿AB切口左右截面相對于水平位移等于零?;窘Y(jié)構(gòu)中包括AB桿。,基本體系I,44,基本體系II:,力法方程:,力法方程的物理意義是:基本結(jié)構(gòu)在荷載和X1共同作用下,結(jié)點(diǎn)A、B相對水平位移等于桿AB的伸長,但符號相反?;窘Y(jié)構(gòu)中不包括AB桿。,45,例7-3-2 求上圖示桁架各桿軸力,各桿EA相同。,根據(jù)上述基本體系I求得各桿FNP及 標(biāo)于圖中。,解:,46,47,求得未知量后,桁架各桿軸力按下式計(jì)算:,四 、排架,48,,49,例7-3-3 求圖示排架M圖。,排架結(jié)構(gòu)求解時(shí),通常切斷鏈桿以得到力法基本結(jié)構(gòu)。這樣,MP圖和
10、 圖局部化,求解力法方程系數(shù)比較簡單。,50,解:,1)基本體系和力法方程,2)求系數(shù)和自由項(xiàng),方程物理意義:橫梁切口左右截面相對水平位移等于零。,51,52,4)作M圖,M圖(kN.m),3)求多余未知力,五、單跨超靜定梁有支座移動時(shí)的彎矩圖,53,桿件抗彎剛度EI與桿長l的比值稱為線剛度,用符號i表示。,1),,54,2),55,3),56,4),,57,依據(jù)3),很容易得到右圖示內(nèi)力圖。,5),58,6),,7-4 力法簡化計(jì)算,59,一、力法簡化計(jì)算的思路,若一個(gè)結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)為n,則在荷載作用下其力法方程為:,60,在上列方程中,主系數(shù)ii恒大于零,副系數(shù) ij(ij)則可能大于
11、零、等于零或小于零。,若能使全部副系數(shù)ij等于零,則方程組解耦,力法方程變?yōu)椋?即使不能使全部副系數(shù)等于零,若能使大部分副系數(shù)等于零,則力法計(jì)算也將大大簡化。所以,力法簡化計(jì)算的目的:使盡可能多的副系數(shù)等于零。,二、非對稱結(jié)構(gòu)的簡化計(jì)算,61,對于非對稱結(jié)構(gòu),為簡化計(jì)算,應(yīng)盡量使 圖及MP圖局部化,以簡化方程系數(shù)的計(jì)算。所以,取基本結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)考慮這一因素。,62,排架結(jié)構(gòu) 基本體系,三 、對稱結(jié)構(gòu)的簡化計(jì)算,63,對稱結(jié)構(gòu):結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支承條件、桿件的材料性質(zhì)及桿件的剛度均關(guān)于某軸對稱就稱為對稱結(jié)構(gòu)。用力法解對稱結(jié)構(gòu),應(yīng)取對稱的基本結(jié)構(gòu),只有這樣才能簡化計(jì)算。,1. 對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下
12、的簡化計(jì)算,64,l/2,X1,X2對稱未知力,X3反對稱未知力,根據(jù) ,MP圖的對稱性或反對稱性可知:,于是,原力法方程變?yōu)椋?65,結(jié)論:對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下,其反對稱未知力為零,只有對稱未知力。,2. 對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下的簡化計(jì)算,66,根據(jù) ,MP圖的對稱性或反對稱性可知:,于是,原力法方程變?yōu)椋?67,對于前兩個(gè)方程組成的方程組,因其右端項(xiàng)為零,且系數(shù)行列式的值通常不等于零,即,結(jié)論:對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下,其對稱未知力為零,只有反對稱未知力。,于是,方程組只有零解:X1=0,X2=0。,68,3. 奇數(shù)跨或偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)的處理,若對稱結(jié)構(gòu)是奇數(shù)跨,則有與對稱軸相交之
13、截面。切開該截面,則該截面的未知力分為兩組:對稱未知力和反對稱未知力。若荷載對稱或反對稱,則按前述方法處理。,X1, X2為對稱未知力; X3為反對稱未知力。,69,若對稱結(jié)構(gòu)是偶數(shù)跨,則不存在與對稱軸相交之截面,此時(shí)應(yīng)根據(jù)荷載情況分別處理:,1)對稱荷載。對稱結(jié)構(gòu)在該對稱荷載作用下,其內(nèi)力和位移均對稱。,70,2)反對稱荷載。對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下,其內(nèi)力和位移均反對稱。,71,4. 非對稱荷載的處理,對稱結(jié)構(gòu)通常作用有非對稱荷載,處理方法為:,1)非對稱荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載分別計(jì)算,然后疊加兩種情況的結(jié)果。,72,2)荷載不分解,只取對稱基本體系。,73,根據(jù) ,MP圖的對稱
14、性或反對稱性可知:,于是,原力法方程變?yōu)椋?74,5. 組合未知力(廣義未知力),結(jié)合下圖示剛架進(jìn)行說明。,75,力法方程為:,76,在上題中,X1實(shí)質(zhì)上是對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下產(chǎn)生的未知力,而X2則是反對稱荷載產(chǎn)生的未知力。,四 、舉例,77,例7-4-1 右圖示結(jié)構(gòu),討論用力法簡化計(jì)算。,將荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載。在對稱結(jié)點(diǎn)荷載作用下,由于不考慮桿件的軸向變形,其M等于零。在反對稱結(jié)點(diǎn)荷載作用下,只有一個(gè)未知量X1。,78,79,圖示對稱結(jié)構(gòu),各桿EI相同,討論力法的簡化計(jì)算。,解: 將荷載分為兩組:第一組荷載關(guān)于x和y 軸都對稱,見圖b)。第二組荷載關(guān)于y 軸對稱,關(guān)于x 軸反
15、對稱,見下頁圖c)。,例7-4-2,80,由于不考慮桿件的軸向變形,圖 b) 荷載作用下各桿彎矩等于零。圖c) 荷載關(guān)于x軸反對稱,切開與x軸相交的截面,未知力分為兩組:對稱未知力X1,X2以及反對稱未知力X3。所以對稱未知力X1,X2等于零,只有反對稱未知力X3,如圖d)所示。,7-5 溫度變化及有彈簧支座結(jié)構(gòu)的計(jì)算,81,一 、溫度變化時(shí)的計(jì)算,下面通過例題進(jìn)行說明。,例7-5-1 圖示剛架,混凝土澆筑時(shí)溫度為15。,到冬季時(shí)室外溫度為-35 。,室內(nèi)保持不變,求M圖。各桿EI相同,線膨脹系數(shù)為。,82,X1=1,1) 溫度改變值:,所以,2) 力法方程,解:,3) 求未知力,83,4)
16、作彎矩圖,超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化或支座移動作用下,桿件內(nèi)力與桿件抗彎剛度EI成正比。,二 、具有彈簧支座結(jié)構(gòu)的力法求解,84,彈簧支座分為拉壓彈簧支座和轉(zhuǎn)動彈簧支座兩類,如下圖示。,85,解:,1) 將拉壓彈簧與桿端C分開,取基本體系如圖示。,2) 力法方程,3) 求系數(shù)和自由項(xiàng),例7-5-2 求下圖示剛架M圖。,86,87,4) 求未知量并作彎矩圖,若基本體系保留有彈簧支座,則求方程的系數(shù)比較繁瑣,應(yīng)盡量避免。詳見下面的例。,88,例7-5-3 求下圖示具有彈簧支座梁的M圖。,解:,1) 基本體系見圖 b)。,2) 力法方程:,3) 求系數(shù)和自由項(xiàng):,89,90,4)求未知力并作M圖,,7
17、-6 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算及力法計(jì)算校核,91,一、 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算,用力法求出超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力后,欲求某截面的位移,則單位荷載可以加在任選的基本體系上,即超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算可以在任選的基本體系上進(jìn)行。,對于某超靜定結(jié)構(gòu),所選取的各種基本體系在外因(荷載、溫度變化、支座移動)以及未知力X共同作用下,其內(nèi)力和變形與原結(jié)構(gòu)完全相同。所以求原結(jié)構(gòu)的位移就轉(zhuǎn)化為求基本體系的位移。,92,例7-6-1 求梁中點(diǎn)豎向位移CV,EI為常數(shù)。,解:,1) 單位荷載加在原結(jié)構(gòu)上,93,基本體系I,2) 單位荷載加在基本體系I上,94,基本體系II,3)單位荷載加在基本體系II上,95,例7-6-2 求
18、圖示剛架結(jié)點(diǎn)水平位移DH,各桿EI如圖示。,解:單位荷載分別加在四種基本體系上,顯然基本體系1的計(jì)算最簡單(見下頁圖)。,96,97,二、 超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖的校核,98,超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖的校核,除了校核求得的M、FQ、FN是否滿足平衡條件外,最主要的是變形條件的校核。只有既滿足平衡條件又滿足變形協(xié)調(diào)條件的解答才是超靜定結(jié)構(gòu)正確的解答。 在進(jìn)行變形條件的校核時(shí),通常選擇原結(jié)構(gòu)位移等于零的截面進(jìn)行校核,也就是進(jìn)行超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算。,如下圖連續(xù)梁,可以校核BV 、 CV、 DV是否等于零,也可以校核A、 B、 C是否等于零。,校核A,99,圖,圖,校核DV,圖,校核 B,100,100,對于如
19、下圖示封閉型剛架,可以得到位移校核的簡單公式。梁、柱長均為6m。,圖,上圖封閉剛架已求得彎矩圖,為驗(yàn)算E左右截面相對轉(zhuǎn)角E是否等于零,切開E截面,加上一對單位集中力偶,得到 圖,則,101,由上式得出結(jié)論,當(dāng)結(jié)構(gòu)只受荷載作用時(shí),沿封閉剛架M/EI圖形的面積之和等于零。,在計(jì)算M/EI的面積之和時(shí),規(guī)定剛架外側(cè)的面積為正,剛架內(nèi)側(cè)的面積為負(fù),或者相反。,102,103,例7-6-3 判斷如下圖a)所示彎矩圖是否正確。,顯然, ,可知M圖有錯(cuò)誤。,104,例7-6-4 判斷如下圖a)所示結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)D水平位移的方向。,解:取圖b)所示基本體系,在結(jié)點(diǎn)D加單位水平荷載,作 圖。,可見,結(jié)點(diǎn)D水平位移方向向右。,